2024年高二数学第二次月考试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.是复数为纯虚数的（）A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知集合，则中元素的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.43.已知在上为减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4.已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5.的展开式中的系数是（）A.8 B.-8 C.32 D.-326.人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用对抗，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（）A. B. C. D.7.已知，则（）A. B.C. D.8.设正实数满足，则当取最大值时，的最大值为（）A.0 B.3 C.-1 D.1二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知实数满足，则（）A. B.C. D.10.已知函数，则（）A.的最小值为1 B.C. D.11.已知函数是自然对数的底数，则（）A.B.若，则C.的最大值为D.“”是“”的充分不必要条件三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________.13.春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为__________.14.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足为参数.令，计算得.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为__________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数__________.（参考公式：决定系数）四､解答题（本题共5小题，共77分）15.（13分）为了研究某种疾病的治愈率，某医院从过往病例中随机抽取了100名患者，其中一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如图.（1）根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的列联表：疗法疗效合计未治愈治愈外科疗法化学疗法18合计100（2）依据小概率值的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关.附：16.（15分）投掷一枚均匀的股子，每次掷得的点数为5或6时得2分，掷得的点数为1，2，3，4时得1分，独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.（1）设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；（2）记次抛掷得分恰为分的概率为，求的前项和；17.（15分）如图，在四棱锥，为的中点.（1）证明：直线平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.18.（17分）已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.（1）证明：直线的斜率为定值；（2）求面积的最大值.19.（17）已知曲线在点处的切线为.（1）求直线的方程；（2）证明：除点外，曲线在直线的下方；（3）设，求证：.月考数学答案1-8BCBBCCDD9.AC 10ACD 11ACD12. 13. 14.；15.（1）疗法疗效合计未治愈治愈外科疗法202040化学疗法421860合计6238100（2）假设此种疾病治愈率是否与治疗方法无关，则根据列联表中的数据计算，所以依据小概率值的独立性检验，认为此种疾病治愈与治疗方法有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.16.（1）得2分的概率为，得1分的概率为的可能取值为，234的分布列为数学期望.（2）因为次抛掷得分恰为分，则只有1次抛掷得2分，于是，则，于是，两式相减，得，所以.17.（1）取的中点，连接，因为，所以.因为，所以.又因为平面平面，所以平面因为为的中点，为的中点，所以.又因为平面平面，所以平面又因为I，所以平面平面.而平面，故平面.（2）因为平面平面，连接交于点，连，由对称性知，为中点，且.如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则.设，则，，得.设平面的一个法向量为，由于，则得令，得，故，设直线与平面所成角为，由于，则，故直线与平面所成角的正弦值为.18.（1）依题意椭圆的标准方程为.设直线方程为，由得，，，解得.（2）由（2）得，，的面积，，令，解得，即在上单调递增，令，解得或，即在和上单调递减，所以当时，取到最大值的面积.19.（1）因为，所以，所以直线的方程为：，即（2）令，则，令，则，由，解得，由，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当且仅当等号成立，所以除切点之外，曲线在直线的下方.（3）由，解得，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，，当时，.因为，则，不妨令.因为曲线在点的切线方程为，设点在切线上，有，故，由（1）知时，，则，即，要证：，只要证：，只要证：，又，只要证：，令，则，易证在上单调递增，在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以成立，所以原命题成立.。
