诸暨市2024年5月高三适应性考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知抛物线：，则其焦点到准线的距离为（ ）A． B． C．1 D．42．若关于的不等式的解集为，则（ ）A．， B．， C．， D．，3．有一组样本数据：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ）A．第75百分位数 B．平均数 C．极差 D．众数4．在的展开式中，含项的系数是10，则（ ）A．0 B．1 C．2 D．45．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）A． B． C． D．6．已知，为曲线：的焦点，则下列说法错误的是（ ）A．若，则曲线的离心率B．若，则曲线的离心率C．若曲线上恰有两个不同的点，使得，则D．若，则曲线上存在四个不同的点，使得7．已知函数满足：对任意实数，，都有成立，且，则（ ）A．为奇函数 B．为奇函数C．为偶函数 D．为偶函数8．设，已知，若恒成立，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．若，则（ ）A． B． C． D．10．已知，为圆上的两个动点，点，且，则（ ）A．B．C．外接圆圆心的轨迹方程为D．重心的轨迹方程为11．已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是（ ）A．的值可以取 B．的值可以取C．的值关于单调递减 D．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分12．若复数满足：，则复数的虚部为_________．13．记为正项数列的前项积，已知，则_________；_________．14．若正四面体的棱长为1，以三个侧面为底面向外作三个正四面体，，，则外接圆的半径是_________．四、解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）已知函数的所有正零点构成递增数列．（1）求函数的周期和最大值；（2）求数列的通项公式及前项和．16．（15分）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点是的中点，．（1）求证：为三棱锥外接球的球心；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值最大时的值．17．（15分）已知双曲线：与直线：交于、两点（在左侧），过点的两条关于对称的直线、分别交双曲线于、两点（在右支，在左支）．（1）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；（2）若直线与双曲线在点处的切线交于点，求的面积．18．（17分）如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点出发，再次回到顶点时停止爬行。
1）求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点的概率；（2）在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为，求的分布列及其数学期望；（3）设电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到顶点）的概率记为，求（用表示）19．（17分）若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”．（1）已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合；（2）已知函数，设集合．（i）求集合中元素的个数；（ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．诸暨市2024年5月高三适应性考试数学参考答案一、单项选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案BBACBCDC二、多项选择题（每小题6分，共18分；部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ADABCACD三、填空题（每小题5分，13题2分+3分；共15分）12．1 13．2；2025 14．四、解答题（共77分；13分+15分+15分+17分+17分）15．（13分）解：（1）由题可得，因此函数的周期，最大值．（2）由得，因此函数的所有正零点为，，，因此是首项为，公差为1的等差数列；，16．（15分）解：（1）为的中线，且，则为正的中心，又中，，，即为三棱锥外接球的球心（2）是正三角形，点是的中点，．又平面平面，平面平面，平面，平面为直线与平面所成的角又，，即直线与平面所成角的正弦值为（3）坐标法：在平面中，过点作，垂足为，，设，则，，．建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设，则，，，．设平面的法向量为，由，得，令，故，设平面的法向量为，则，即，令，则．设平面与平面所成锐二面角的平面角为，，当时，，此时最大，即当时，平面与平面所成锐二面角的余弦值最大．（3）几何法：锐二面角要最小，由最大角定理可知，与面所成线面角为平面与平面所成锐二面角时，锐二面角最小（3分）；而为线面角（为的中点），当要为面面角时（2分），由垂面法求面面角知，面面，即（2分）．（实质上：本小题条件是多余的；用传统法求解给相应步骤分）17．（15分）解：（1）由题意知直线斜率为1，直线的倾斜角，设直线、的倾斜角分别为、（、），直线、关于直线对称，，．（2）联立可得，双曲线在点处的切线方程为．不妨设直线为，，，联立得，整理得，将等式看作关于的方程：两根之和，两根之积，而其中，由（1）得，直线为，过定点，又双曲线在点处的切线方程为，过点，，．18．（17分）解：（1）记事件“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行”，则（2）记事件“电子蛐蛐停止爬行时，爬行长度不超过4米”的可能取值为2，3，4，根据条件概率的知识，可得的分布列为，，，用表格表示的分布列为：234．（3）（，）①②②－①得：，19．（17分）解：（1）由题意，，，恒成立，在上单调递增，的值域为，因此只需，，即，则的取值集合为．（2）（i）记函数，则，由得或；由得；所以函数在和单调递增，在单调递减．其中，因此当时，，不存在零点；，而，在单调递减，由零点存在定理可知存在唯一的使得；当时，，不存在零点．综上所述，函数有0和两个零点，即集合中元素的个数为2．（ii）由（i）得，假设长度为的闭区间是的一个“封闭区间”，则对，，当时，由（i）得在单调递增，，即，不满足要求；当时，由（i）得在单调递增，，即，也不满足要求；当时，闭区间，而显然在单调递增，，由（i）可得，，，满足要求．综上，存在唯一的长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．。