高三考前适应性测试数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合M={x|x=k+12,k∈Z}，N={x|x=k2+1,k∈Z}，则A．M⊆N B．N⊆M C．M=N D．M∩N=⌀2．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点Psinπ3,cosπ3，则cosα+π6=A．0 B．12 C．22 D．323．等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=t⋅2n-1-1，则t=A．2 B．-2 C．1 D．-14．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的35，则该组数据的第45百分位数是A．4 B．6 C．8 D．125．已知△ABC是边长为1的正三角形，AN=13NC，P是BN上一点，且AP=mAB+29AC，则AP⋅AB=A．29 B．19 C．23 D．16．已知复数z满足z=1，且z-1=z+i，则z2=A．1 B．-1 C．i D．-i7．已知双曲线C:x2a2-y24=1a>0的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上运动（不与顶点重合），设PF1与双曲线的左支交于点Q，△PQF2的内切圆与QF2相切于点M.若QM=4，则双曲线C的离心率为A．2 B．3 C．2 D．58．定义min{a,b}=a,a
在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则下列命题为真命题的是A．若a3+a4=9，a7+a8=18，则a1+a2=5 B．若a2+a13=4，则S14=28C．若S15<0，则S7>S8 D．若{an}和{an⋅an+1}均为递增数列，则an>010．存在函数fx满足：对于任意的x∈R，都有A．fsinx=cos2x B．fcos2x=sinx C．fx2+2x=x+1 D．fx2+1=x+111．如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球为球O，E，F分别是棱AD，BB1的中点，G在棱AB上移动，则A．对于任意点G，OD//平面EFGB．直线EF被球O截得的弦长为2C．过直线EF的平面截球O所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为π2D．当G为AB的中点时，过E，F，G的平面截该正方体所得截面的面积为23三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2asinB，bc=4，则△ABC的面积为 .13．已知随机事件A，B，若PA=13，PB|A=35，PA|B=47，则PB= .14．已知函数fx=e2x-1-e1-2x+sinπ2x-π4+1，则不等式f2x+1+f2-x≥2的解集为 .四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）已知函数fx=ex-ax-1.（1）讨论fx的单调性；（2）若对任意的x≥0，fx≥0恒成立，求实数a的取值范围.16．（15分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，AB⊥BC，CC1=23，BE=λBB10<λ<1.（1）当λ=13时，求证：CE⊥平面ABC1；（2）设二面角B-AE-C的大小为θ，求cosθ的取值范围.17．（15分）一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目.（1）若N=5000，求X的数学期望；（2）已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得PX=15最大的N的值作为N的估计值）.18．（17分）已知A-2,0，B2,0，F1-1,0，F21,0，动点P满足kPA⋅kPB=-34，动点P的轨迹为曲线C.PF1交曲线C与另一点Q，PF2交曲线C与另一点R.（1）求曲线C的标准方程；（2）已知PF1QF1+PF2RF2是定值，求该定值；（3）求△PQR面积的范围.19．（17分）定义：若对∀k∈N*，k≥2，ak-1+ak+1≤2ak恒成立，则称数列{an}为“上凸数列”.（1）若an=n2-1，判断{an}是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由.（2）若{an}为“上凸数列”，则当m≥n+2m,n∈N*时，am+an≤am-1+an+1.（ⅰ）若数列Sn为{an}的前n项和，证明：Sn≥n2a1+an；（ⅱ）对于任意正整数序列x1,x2,x3,⋯,xi,⋯,xn（n∈N*且n≥2），若∑ni=1xi2-1≥∑ni=1xi-λ2-1恒成立，求λ的最小值.【参考答案】山东师大附中高三考前适应性测试数学试题 2024.6一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．A 2．B 3．A 4．D 5．A 6．D 7．A 8．A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．BC 10．AC 11．BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．113．71514．[-2,+∞)四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（1） 函数fx=ex-ax-1,x∈R，则f'x=ex-a，①当a≤0时，ex>0，∴f'x>0，fx是定义域R上的单调增函数；②当a>0时，由f'x>0，得x>lna，由f'x<0，得x1时，fx在0,lna上单调递减，在lna,+∞上单调递增，而f0=0，所以fx≥0不恒成立；当0N2-683N-684，当且仅当N<499×199+68415≈6665.7，则可知当685≤N≤6665时，aN+1>aN；当N≥6666时，aN+10，于是S△PQRS△PF1F2=12PQ⋅PRsin∠QPR12PF1⋅PF2sin∠QPR=PQ⋅PRPF1⋅∣PF2|=λ⋅μ，因为S△PQR=λμ⋅12⋅F1F2⋅y0=y0⋅2x0+82x0+5⋅2x0-82x0-5=y0⋅x02-16x02-254，又因为x02=41-y023，所以S△PQR=y0⋅4-43y02-164-43y02-254=y0⋅y02+9y02+2716.设fy0=y0⋅y02+9y02+2716，y0∈(0,3]，可得fy0=y01+11716y02+27=y0+11716y0+27y0，y0∈(0,3]，令gy0=16y0+27y0，令16y0=27y0，可得y0=334∈(0,3]，可得gy0>0在(0,3]上单调递减，所以fy0在(0,3]上单调递增，所以S△PQR∈(0,33+93+2716]，即S△PQR∈(0,64253].19．（1） {an}是“上凸数列”，理由如下：因为an=n2-1，an+1-an=n+12-1-n2-1，令fx=x+12-1-x2-1,x≥1，则f'x=x+1x+12-1-xx2-1=x+13x-1-x3x+2x+12-1⋅x2-1.当x≥1时，x+13x-1-x3x+2=-2x-1<0，所以x+13x-1fn+1，an+1-an>an+2-an+1，所以an+2+an≤2an-1，所以{an}是“上凸数列”.（2） （ⅰ） 证明：因为{an}是“上凸数列”，由题意可得对任意1≤i≤ni∈N*，ai+an-i+1≥ai-1+an-i+2≥ai-2+an-i+3……≥a2+an-1≥a1+an，所以2Sn=a1+an+a2+an-1+……+an-1+a2+an+a1≥na1+an，所以Sn>n2a1+an.（ⅱ） 令an=n2-1，由（1）可得当an=n2-1时，{an}是“上凸数列”，由题意可知，当m≥n+2m,n∈N*时，am+an≤am-1+an+1.因为∑ni=1xi2-1=x12-1+x22-1+x32-1+……+xn2-1，即为∑ni=1xi2-1=x12-1+x22-1+x32-1+……+∑ni=1xi-x1-x2-……-xn-12-1.所以∑ni=1xi2-1≥x1-x1+12-1+x22-1+……+∑ni=1xi-x1-x2-……-xn-1+x1-12-1≥12-1+x2-x2+12-1+……+∑ni=1xi-1-x2-……-xn-1+x2-12-1.≥0+0+0+……+∑ni=1xi-n+12-1≥∑ni=1xi-λ2-1，当且仅当x1=x2=……=xn-1时等号成立，所以λ≥n-1.综上所述，λ的最小值为n-1.。