2024届高三综合测试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若，其中为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的（ ）A. 既不充分又不必要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 充要条件3. 一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据的中位数相等，则删除的数为（ ）A. 25 B. 30 C. 35 D. 404. 等边的边长为3，若，，则（ ）A. B. C. D. 5. 某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中，k是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：）A. 3h B. 4h C. 5h D. 6h6. 将一副三角板拼接成平面四边形ABCD（如图），，将其沿BD折起，使得面面BCD，若三棱锥的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）A. B. C. D. 7. 函数和函数的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，则的面积为（ ）A. B. C. D. 8. 为样本空间，随机事件A、B满足，，则有（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 设a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）A. 若，，则 B. 若，，，则C. 若，，，则 D. 若，，则10. 已知函数的零点为，的零点为，则（ ）A. B. C. D. 11. 已知定圆M：，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能为（ ）A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 如图，一系列由正三角形构成的图案称为谢尔宾斯基三角形，图1三角形边长为2，则第n个图中阴影部分的面积为______.13. 已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为______.14. 设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若在区间上单调递减，，求的值.16.（15分）如图，边长为4的两个正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，，直线AB与平面EFG相交于点H.（1）证明：；（2）求直线BD与平面EFG的距离.17.（15分）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为元.（1）①写出X的分布列；②证明：；（2）某公司有意向投资该产品.若，且试验成功则获利5a元，则该公司如何决策投资，并说明理由.18.（17分）已知函数.（1）若在单调递减，求实数a的取值范围；（2）证明：对任意整数a，至多有1个零点.19.（17分）已知抛物线：，过点的直线l交C于P，Q两点，当PQ与x轴平行时，的面积为16，其中O为坐标原点.（1）求的方程；（2）已知点，，（）为抛物线上任意三点，记面积为，分别在点A、B、C处作抛物线的切线、、，与的交点为D，与的交点为E，与的交点为F，记面积为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.华南师范大学附属中学2024届高三综合测试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. A 2. C 3. B 4. D 5. A 6. C 7. D 8. B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. ABC 10. BC 11. ABC三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 13. 80 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 解：因为……2分（每用对一个公式给1分）……3分……4分（Ⅰ）当时，，……5分所以；……6分（Ⅱ）若在区间上单调递减，则，……8分所以，……9分因为，所以，……10分因为，所以，，……11分所以，，……12分故.经检验，满足题意……13分16.（1）证明：因为E，F分别为BC，CD的中点，所以，……1分又平面EFGH，……2分平面EFGH，……3分所以平面EFGH，……4分因为平面ABD，平面平面，……5分所以.……6分（2）解：由（1）知，平面EFGH，知点B到平面EFG的距离即为直线BD与平面EFG的距离，……7分连接EA，ED，因为与均为正三角形，且E是BC的中点，所以，，……8分又平面平面BCD，平面平面，，平面ABC，所以平面BCD，……9分因为平面BCD，所以，故以E为坐标原点，EB，ED，EA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，……10分所以，，，……11分设平面EFG的法向量为，则，……12分令，则，，所以，……13分所以点B到平面EFG的距离为，……14分故直线BD与平面EFG的距离为.……15分17. 解：（1）①由题意可得，，故，，，故X的分布列如下：X12345PpX678910P……6分（第一问共6分，分布列表格1分，即求解了所有概率，但是没有画表格，则扣1分，分布列表格内有错误这一分也扣掉；写对随机变量可能的取值给1分；写错概率扣1分，其余的概率值每写对两个给1分）②证明：，……7分记，……8分，……9分两式作差可得，，……10分故……12分，即得证.……13分（2）当时，由（1）可知，，……14分故试验成本的期望小于4a，又获利5a大于成本的期望，则应该投资.……15分18.【解答】解法一：（1）……1分【当时，显然成立，……无持续求解，只写这个结论给1分，到这一步共2分】在单调递减对，恒有，恒有，……2分令，……3分则，……4分令，解得（或，或）……5分则当时，，单调递减；当时，，单调递增，……6分又，所以当时，，所以……7分（2）令，则，所以单调递减，……8分又因为，所以当时，；当时，，……9分令，则与零点一致……10分当时，，所以在单调递减，，……11分当时，有，……12分令，因为，在递增，……13分所以，……14分故，……15分综上，当时，当时，有唯一的零点，当时，恒大于0，不存在零点；当时，，不存在零点；……16分即对任意整数a，至多有1个零点，所以至多有1个零点……17分解法二：（1）同解法一（2）当时，恒成立，在上单调递减，所以至多有1个零点……8分令，则，所以单调递减，又因为，当时，；当时，，……9分当时，……10分令，当时，……11分当时，，……12分所以在单调递减，此时，……13分所以在单调递增，……14分所以；……15分所以，当时，，所以，故此时无零点；……16分综上所述，对任意的整数a，函数至多1个零点……17分19. 解：（1）当PQ与x轴平行时，，因为P，Q两点均在抛物线C上，所以，即，……1分因为的面积为16，所以，……2分解得，……3分则的方程为；……4分（2）直线AC的斜率为：，则：，……5分直线与的交点为T，则点T为，……6分所以……7分……（∗）……（∗∗）……8分所以：……9分点A处切线方程：，令，则的斜率，……10分则有：，即：，……11分同理：：，：，……12分与相交得：，得：；……13分同理可得：，；……14分将点，，代入（∗∗）得……15分……16分所以，所以存在，使得……17分注：（1）若直接用已知三点求三角形面积公式：……8分点处，则5~8的步骤分没有，用这个公式代入计算，有适当的化简过程，依照后面的步骤给分；（2）若直接用已知三点求三角形面积公式的行列式形式：的绝对值.则不给推导公式的步骤分，若有展示将行列式展开，并代入相关点计算，则按照后续步骤给分；（2）若直接用已知三点求三角形面积公式，强行得到两个三角形面积关系，不管是否得到正确结果，均不给分.。