河南省郑州市2024届高三数学下学期考前全真模拟考试

2024届高三考前全真模拟考试数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在复平面内，复数z对应的点的坐标是-1,3，则z的共轭复数z=（）A．1+3i B．1-3i C．-1+3i D．-1-3i2．若xy≠0，则“x+y=0”是“xy+yx=-2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知sinα-β=13,cosαsinβ=16，则cos2α+2β=（）A．79 B．19 C．-19 D．-794．若fx=x+aln2x-12x+1为偶函数，则a=（）A．-1 B．0 C．12 D．15．对三组数据进行统计，获得以下散点图关于其相关系数依次是r1,r2,r3，则它们的大小关系是（）A．r1>r3>r2 B．r1>r2>r3 C．r2>r1>r3 D．r3>r1>r26．已知函数fx=aex-lnx在区间1,2上单调递增，则a的最小值为（）A．e2 B．e C．e​-1 D．e​-27．已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0，过实轴所在直线上任意一点Nt,0的弦的端点A,B与点Gm,0的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠NGA=∠NGB，则m的值为（）A．a​2t B．ta2 C．t2 D．at28．已知y=fx+1+1为奇函数，则f-2+f-1+f0+f1+f2+f3+f4=（）A．-14 B．14 C．-7 D．7二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中，错误的为  .A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥.10．已知M={afa=0},N={βgβ=0}，若存在α∈M,β∈N，使得α-β

12．设a>0,b>0，记M为1a,b,a+3b三个数中最大的数，则M的最小值  .13．已知双曲线C:x​2a​2-y​2b​2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1,F2. 点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B,F2A=-23F2B，则C的离心率为  .14．如图，在三棱锥P-ABC中，点O为AB的中点，点P在平面ABC内的射影恰为OB的中点E，已知AB=2PO=2，点C到OP的距离为3，则当∠ACB最大时，直线PC与平面PAB所成角的大小为  .四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚15．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD=1.（1）若∠ADC=π3，求tanB；（2）若b​2+c​2=8，求b,c.16．已知函数fx=ae​x+a-x.（1）讨论fx的单调性；（2）证明：当a>0时，fx>2lna+32.17．如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60​∘，E为BC中点.（1）证明BC⊥DA;（2）点F满足EF=DA，求二面角D-AB-F的正弦值.18．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组9010（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，PB∣APB∣A与PB∣APB∣A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.（ⅰ）证明：R=PA|BPA|B⋅PA|BPA|B；（ⅱ）用该数据，给出PA∣B,PA∣B的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值.附：K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d.PK2≥k0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q,P的距离之比MQMP=λλ>0,λ≠1，λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上. 已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x​2+y​2=4，定点分别为椭圆C:x​2a​2+y​2b​2=1a>b>0的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离心率为e=12.（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过右焦点F斜率为kk>0的直线l与椭圆C相交于B,D（点B在x轴上方），点S,T是椭圆C上异于B,D的两点，SF平分∠BSD,TF平分∠BTD.（ⅰ）求BSDS的取值范围；（ⅱ）将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为81π8，求直线l的方程.【参考答案】2024届高三考前全真模拟考试第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．D 2．C 3．B 4．B 5．A 6．C 7．A 8．C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．ABC 10．BC 11．BCD第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．213．35514．π3四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚15．（1） 【解答】解：D为BC中点，S△ABC=3，则S△ACD=32，过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：△ADE中，DE=12,AE=32,S△ACD=12⋅32CD=32，解得CD=2,∴BD=2,BE=52，故tanB=AEBE=3252=35；（2） 法一：AD=12AB+AC，AD​2=14c​2+b​2+2bccosA，AD=1,b​2+c​2=8，则1=148+2bccosA，∴bccosA=-2①，S△ABC=12bcsinA=3，即bcsinA=23②，由①②解得tanA=-3，∴A=2π3,∴bc=4，又b​2+c​2=8,∴b=c=2.法二，设∠ADC=α,cosα=1+a24-b22⋅1⋅a2，cosπ-α=a2+1-c22⋅1⋅c2，两式化简整理可得，2+a​22-b​2-c​2=0,b​2+c​2=8,则a=23，△ABC面积为3，D为BC的中点，则S△ACD=12×1×3×sinα=32，解得sinα=1，即α=π2，故b=c=2.16．（1） 【解答】解：fx=ae​x+a-x,则f​'x=ae​x-1,①当a≤0时，f​'x<0恒成立，fx在R上单调递减，②当a>0时，令f​'x=0得，x=ln1a,当x∈-∞,ln1a时，f​'x<0,fx单调递减；当x∈ln1a,+∞时，f​'x>0,fx单调递增，综上所述，当a≤0时，fx在R上单调递减；当a>0时，fx在-∞,ln1a上单调递减，在ln1a,+∞上单调递增.（2） 证明：由（1）可知，当a>0时，fxmin=fln1a=a1a+a-ln1a=1+a2+lna,要证fx>2lna+32，只需证1+a2+lna>2lna+32,只需证a2-lna-12>0,设ga=a2-lna-12,a>0,则g​'a=2a-1a=2a​2-1a令g​'a=0得，a=22,当a∈0,22时，g​'a<0,ga单调递减，当a∈22,+∞时，g​'a>0,ga单调递增，所以ga≥g22=12-ln22-12=-ln22>0,即ga>0,所以a2-lna-12>0得证，即fx>2lna+32得证.17．（1） 【解答】证明：连接AE,DE,∵DB=DC,E为BC中点.∴DE⊥BC,又∵DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60​∘，∴△ACD与△ABD均为等边三角形，∴AC=AB,∴AE⊥BC,AE∩DE=E,∴BC⊥平面ADE,∵AD⊂平面ADE,∴BC⊥DA.（2） 解：设DA=DB=DC=2,∴BC=22，∵DE=AE=2,AD=2,∴AE​2+DE​2=4=AD​2,∴AE⊥DE,又∵AE⊥BC,DE∩BC=E,∴AE⊥平面BCD,以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系，D2,0,0,A0,0,2,B0,2,0,E0,0,0,∵EF=DA,∴F-2,0,2，∴DA=-2,0,2,AB=0,2,-2,AF=-2,0,0,设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为n1=x1,y1,z1,n2=x2,y2,z2,则{-2x1+2z1=02y1-2z1=0，令x1=1，解得y1=z1=1,{2y2-2z2=0-2x2=0，令y2=1，解得x2=0,x2=1,故n1=1,1,1,n2=0,1,1,设二面角D-AB-F的平面角为θ，则∣cosθ∣=∣n1⋅n2∣∣n1∣∣n2∣=23×2=63，故sinθ=33,所以二面角D-AB-F的正弦值为33.18．（1） 【解答】解：补充列联表为：不够良好良好合计病例组4060100对照组1090100合计50150200计算K2=200×40×90-10×602100×100×50×150=24>6.635,所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2） （ⅰ） 证明：R=PB∣APB∣A:PB∣APB∣A=PB∣APB∣A⋅PB∣APB∣A=PABPAPABPA⋅PABPAPABPA=PAB⋅PABPAB⋅PAB=PABPBPABPB⋅PABPBPABPB=PA∣BPA∣B⋅PA∣BPA∣B；（ⅱ） 利用调查数据，PA|B=40100=25,PA|B=10100=110,PA|B=1-PA|B=35，PA|B=1-PA|B=910,所以R=2535×910110=6.19．（1） 【解答】解：设Mx,y，由题意MFMA=x-c2+y2x-a2+y2=λ（常数），整理得x2+y2+2x-2aλ2λ2-1x+λ2a2-c2λ2-1=0,故{2c-2aλ2λ2-1=0λ2a2-c2λ2-1=-4，又ca=12，解得a=22,c=2.∴b​2=a​2-c​2=6，椭圆C的方程为x​28+y​26=1.（2） （ⅰ） 由S△SBFS△SDF=12SB⋅SF⋅sin∠BSF12SD⋅SF⋅sin∠DSF=SBSD，又S△SBFS△SDF=∣BF∣∣DF∣，∴∣BS∣∣DS∣=∣BF∣∣DF∣,（或由角平分线定理得）令BFDF=λ，则BF=λFD，设Dx0,y0，则有3x0​2+4y0​2=24,又直线l的斜率k>0，则x0∈-22,2，{xB=2λ+1-λx0yB=-λy0，代入3x​2+4y​2-24=0，得3[21+λ-λx0]2+4λ2y02-24=0,即λ+15λ-3-2λx0=0，∵λ>0,∴λ=35-2x0∈13,1.（ⅱ） 由（ⅰ）知，∣SB∣∣SD∣=∣TB∣∣TD∣=∣BF∣∣DF∣，由阿波罗尼斯圆定义知，S,T,F在以B,D为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为C1，半径为r，与直线l的另一个交点为N，则有∣BF∣∣DF∣=∣NB∣∣ND∣，即∣BF∣∣DF∣=2r-∣BF∣2r+∣DF∣，解得r=11BF-1DF.又S圆C1=πr2=818π，故r=922,∴1BF-1DF=229，又|DF∣=x0-22+y02=x0-22+6-34x02=22-12x0，∴1∣BF∣-1∣DF∣=1λ∣DF∣-1∣DF∣=5-2x0322-12x0-122-12x0=2-2x0322-12x0=229，解得x0=-22,y0=-6-34x02=-3104，∴k=-y02-x0=52，∴直线l的方程为y=52x-102.。