课时分层作业 四十三 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当m∥β时,可能α∥β,也可能α与β相交.当α∥β时,由m⊂α可知,m∥β.因此,“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.2.(2018惠州模拟)PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B两点的任一点,则下列关系不正确的是 ( )A.PA⊥BC B.BC⊥平面PACC.AC⊥PB D.PC⊥BC【解析】选C.由PA⊥平面ACB⇒PA⊥BC,故A不符合题意;由BC⊥PA,BC⊥AC,PA∩AC=A,可得BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,故B,D不符合题意;无法判断AC⊥PB,故C符合题意.3.(2018石家庄模拟)已知平面α,β,直线l,若α⊥β,α∩β=l,则 ( )A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直【解析】选D.垂直于平面β的平面与平面α重合、平行或相交,故A不正确;垂直于直线l的直线若在平面β内,则一定垂直于平面α,否则不一定,故B不正确;垂直于平面β的平面可能垂直于直线l,故C不正确;由面面垂直的判定定理知,垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直,故D正确.【变式备选】已知三条不重合的直线m,n,l和两个不重合的平面α,β,则下列命题正确的是 ( )A.若m∥n,n⊂α,则m∥αB.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥αC.若l⊥n,m⊥n,则l∥mD.若l⊥α,m⊥β且l⊥m,则α⊥β【解析】选D.若m∥n,n⊂α,则m∥α或m⊂α,故A不正确;若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n与α相交或n∥α或n⊂α,故B不正确;若l⊥n,m⊥n,则l与m相交、平行或异面,故C不正确;若l⊥α,m⊥β且l⊥m,则由直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β.4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF相交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为( )A. B.1 C. D.2【解析】选A.设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1=,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.又2=h,所以h=,DE=.在Rt△DB1E中,B1E==.由面积相等得=x,得x=.【变式备选】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,AA1=AC=BC=1,∠ACB=90,D是A1B1的中点,F是BB1上的点,AB1,DF相交于点E,且AB1⊥DF,则下列结论中不正确的是 ( )A.CE与BC1异面且垂直B.AB1⊥C1FC.△C1DF是直角三角形D.DF的长为【解析】选D.对于A,因为BC1⊂平面B1C1CB,CE⊄平面B1C1CB,且C∈平面B1C1CB,所以CE与BC1是异面直线.因为AA1∥CC1,AA1⊥平面ABC,所以CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AC.又AC⊥BC,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面B1C1CB,又BC1⊂平面B1C1CB,所以AC⊥BC1.又四边形B1C1CB是正方形,连接B1C,所以BC1⊥B1C,又B1C∩AC=C,所以BC1⊥平面AB1C,因为CE⊂平面AB1C,所以BC1⊥CE,故A正确;对于B,因为C1A1=C1B1,D是A1B1的中点,所以C1D⊥A1B1,由AA1⊥底面A1B1C1可得AA1⊥C1D,又A1B1∩AA1=A1,所以C1D⊥平面ABB1A1,所以C1D⊥AB1,又DF⊥AB1,C1D∩DF=D,所以AB1⊥平面C1DF,所以AB1⊥C1F,故B正确;对于C,由C1D⊥平面ABB1A1可得C1D⊥DF,故△C1DF是直角三角形,故C正确;对于D,因为AC=BC=AA1=1,∠ACB=90,所以A1B1=AB=,AB1=,所以DB1=,因为AB1⊥DF,所以∠FDB1=∠AB1F=∠A1AB1,所以cos∠FDB1=cos∠A1AB1,即=,所以=,解得DF=,故D错误.5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F,G分别是线段DC,D1D和D1B上的动点,给出下列结论①对于任意给定的点E,存在点F,使得AF⊥A1E;②对于任意给定的点F,存在点E,使得AF⊥A1E;③对于任意给定的点G,存在点F,使得AF⊥B1G;④对于任意给定的点F,存在点G,使得AF⊥B1G.其中正确结论的个数是 ( )A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.由DE⊥平面A1D,根据三垂线定理,①对于任意给定的点E,A1E在平面A1D的射影为A1D,所以存在点F,使得AF⊥A1E,所以①正确;②如果对于任意给定的点F,存在点E,使得AF⊥A1E,那么,又A1D⊥AD1,可知过A有两条直线与A1D垂直,故②错误;③只有AF垂直B1G在平面AD1的射影时,AF⊥B1G,故③错误;④只有AF⊥平面BB1D1D时,④才正确,AF与平面BB1D1D不垂直,故④错误.【变式备选】对于四面体A-BCD,有以下命题:①若AB=AC=AD,则点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心;②若AB⊥CD,AC⊥BD,则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心;③四面体A-BCD的四个面中最多有四个直角三角形;④若四面体A-BCD的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为.其中正确的命题是( )A.①③ B.③④C.①②③ D.①③④【解析】选D.由题设AB=AC=AD,故顶点A在底面内的射影是底面外心,故命题①是正确的;四面体中的四个面中最多有四个直角三角形,如图1,正方体中的四面体A-BCD中有四个直角三角形,故命题③是正确的;对于命题②,如图2,尽管AB⊥CD,AC⊥BD,点A在底面BCD内的射影不一定是△BCD的内心,即命题②是错误的;若四面体的6条棱都为1,则它的体积为V=12=,又设内切球的半径为r,则V=4r=⇒r=,则S=4πr2=4π=,即命题④也是正确的.二、填空题(每小题5分,共15分)6.α,β是两个平面,AB,CD是两条线段,已知α∩β=EF,AB⊥α于B,CD⊥α于D,若增加一个条件,就能得出BD⊥EF,现有下列条件:①AC⊥β;②AC与α,β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________.【解析】由题意得,AB∥CD,所以A,B,C,D四点共面,①:因为AC⊥β,EF⊂β,所以AC⊥EF,又因为AB⊥α,EF⊂α,所以AB⊥EF,因为AB∩AC=A,所以EF⊥面ABDC,又因为BD⊂面ABDC,所以BD⊥EF,故①正确;②:由①可知,若BD⊥EF成立,则有EF⊥面ABDC,则有EF⊥AC成立,而AC与α,β所成角相等是无法得到EF⊥AC的,故②错误;③:由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知EF⊥AC,由①可知③正确;④:仿照②的分析过程可知④错误.答案:①③7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面夹角的余弦值为__________.【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由题意πrl=3πr2,即l=3r,母线与底面夹角为θ,则cos θ==.答案:8.如图,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________.【解析】由题意知PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.又AC⊥BC,且PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥AF.因为AF⊥PC,且BC∩PC=C,所以AF⊥平面PBC,所以AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩AF=A,所以PB⊥平面AEF,所以PB⊥EF.故①②③正确.答案:①②③三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在三棱锥A BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD. (1)求证:CD⊥平面ABD. (2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.【解析】(1)因为AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,所以AB⊥CD.又因为CD⊥BD,AB∩BD=B,AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,所以CD⊥平面ABD.(2)由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD.又AB=BD=1,所以S△ABD=12=.因为M是AD的中点,所以S△ABM=S△ABD=.根据(1)知,CD⊥平面ABD,则三棱锥C-ABM的高h=CD=1,故VA-MBC=VC-ABM=S△ABMh=.10.(2018长沙模拟)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别为BB1,AC的中点. (1)求证:BF∥平面A1EC.(2)求证:平面A1EC⊥ 平面ACC1A1.【证明】(1)连接AC1交A1C于点O,连接OE,OF,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形,所以OA=OC1,又因为点F为AC中点,所以OF∥CC1且OF=CC1,因为点E为BB1中点,所以BE∥CC1且BE=CC1,所以BE∥OF且BE=OF,所以四边形BEOF是平行四边形,所以BF∥OE,又因为BF⊄平面A1EC,OE⊂平面A1EC,所以BF∥平面A1EC.(2)由(1)知BF∥OE,因为AB=CB,点F为AC中点,所以BF⊥AC,所以OE⊥AC.又因为AA1⊥底面ABC,而BF⊂底面ABC,所以AA1⊥BF.由BF∥OE,得OE⊥AA1,而AA1,AC⊂平面ACC1A1,且AA1∩AC=A,所以OE⊥平面ACC1A1.因为OE⊂平面A1EC,所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.1.(5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α【解析】选B.选项A.若m∥α,n∥α则m与n可能平行、相交、异面,故A错误;B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,显然成立;C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故C错误;D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α或n∥α或n与α相交.2.(5分)如图,在三棱锥D -ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是 ( )A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE【解析】选C.因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.3.(5分)(2018郴州模拟)如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE(A1∉平面ABCD).若M,O分别为线段A1C,DE的中点,则在△ADE翻转过程中,下列说法错误的是 ( )A.与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直B.异面直线BM与A1E所成角是定值C.一定存在某个位置,使DE⊥MOD.三棱锥A1-ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值【解析】选C.取CD的中点F,连接BF,MF,如图1,可知平面MBF∥平面A1DE,所以BM∥平面A1DE,所以A正确.取A1D中点G,可得EG∥BM,如图2,所以B正确.由题意可得点A关于直线DE的对称点为F,则DE⊥平面A1AF,即过O与DE垂直的直线在平面A1AF内,而M不在平面A1AF内,故C错误.三棱锥A1-ADE外接球的球心即为O点,所以外接球半径为AD,故D正确.4.(12分)如图,菱形ABCD与四边形BDEF相交于BD,∠ABC=120,BF⊥平面ABCD,DE∥BF,BF=2DE,AF⊥FC,M为CF的中点,AC∩BD=G. (1)求证:GM∥平面CDE.(2)求证:平面ACE⊥平面ACF.【证明】(1)取BC的中点N,连接GN,MN.因为G为菱形对角线的交点,所以G为BD的中点,所以GN∥CD,又因为M,N分别为FC,BC的中点,所以MN∥FB,又因为DE∥BF,所以DE∥MN,又MN∩GN=N,DE∩CD=D,所以平面GMN∥平面CDE,又GM⊂平面GMN,所以GM∥平面CDE.(2)连接GE,GF,因为四边形ABCD为菱形,所以AB=BC,又BF⊥平面ABCD,所以AF=CF,因为AF=FC,所以FG⊥AC.设菱形的边长为2,∠ABC=120,则GB=GD=1,GA=GC=,又因为AF⊥FC,所以FG=GA=,则BF=,DE=,且BF⊥平面ABCD,DE∥BF,得DE⊥平面ABCD,在直角三角形GED中,GE==,又在直角梯形BDEF中,得EF==,从而EF2=GF2+GE2,所以FG⊥GE,又AC∩GE=G,所以FG⊥平面ACE,又FG⊂平面ACF,所以平面ACE⊥平面ACF.5.(13分)(2018温州模拟)如图,在正三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E分别是A1C,AB的中点.(1)求证:ED∥平面BB1C1C.(2)若AB=BB1,求证:A1B⊥平面B1CE.【证明】(1)连接AC1,BC1,因为四边形AA1C1C是矩形,D是A1C的中点,所以D是AC1的中点.在△ABC1中,因为D,E分别是AC1,AB的中点,所以DE∥BC1.又DE⊄平面BB1C1C,BC1⊂平面BB1C1C,所以ED∥平面BB1C1C.(2)因为△ABC是正三角形,E是AB的中点,所以CE⊥AB.又因为在正三棱柱A1B1C1-ABC中,平面ABC⊥平面ABB1A1,平面ABC∩平面ABB1A1=AB,CE⊂平面ABC,所以CE⊥平面ABB1A1.又A1B⊂平面ABB1A1,所以CE⊥A1B.在矩形ABB1A1中,因为==,所以Rt△A1B1B∽Rt△B1BE,所以∠B1A1B=∠BB1E,所以∠B1A1B+∠A1B1E=∠BB1E+∠A1B1E=90,所以A1B⊥B1E.又因为CE⊂平面B1CE,B1E⊂平面B1CE,CE∩B1E=E,所以A1B⊥平面B1CE.。