Click to edit Master title style,,Click to edit Master text styles,,Second level,,Third level,,Fourth level,,Fifth level,,*,,*,第 4.3 节 相似矩阵,,,相似矩阵的概念,相似矩阵的性质,,可对角化的条件,则称,矩阵,A,相似于矩阵,B,.,,相似矩阵的概念,,设,A,,,B,为,n,阶矩阵,,P,为,n,阶可,逆矩阵, 且,P,-1,AP,=,B,,,对,A,进行运算,P,-1,AP,称为对,A,进行,相似变换,，,可逆矩阵,P,称,为把,A,变成,B,的相似变换矩阵.,阶矩阵.,相似矩阵具有下列的性质：下设,A,，,B,是同,,,若矩阵,A,与矩阵,B,相似, 则,det,A,,= det,B,,.,,,若矩阵,A,与 矩阵,B,相似, 且矩阵,A,可逆, 则矩阵,B,也可逆, 且,A,-1,与,B,-1,相似.,即,A,与,B,有相同的特征多项式,.,,,若矩阵,A,与矩阵,B,相似, 则,|,A,-,E,| = |,B,-,E,| ,,A,与,B,有相同的特征值,.,,,若矩阵,A,与矩阵,B,相似, 则,其中,tr(,AB,)表示,AB,的迹,.,,设,A,与,B,都是 n 阶矩阵，则,tr(,AB,),=,tr(,BA,),，,,相似矩阵有相同的迹．,题是：,既然相似矩阵具有这么多性质，而形式很简单,的矩阵又是对角矩阵，所以下面要讨论的主要问,对,n,阶矩阵,A,，寻求相似变换矩阵,P,，使,于对角矩阵，则称矩阵,A,可对角化,．,P,–1,AP,,=,,,,为对角矩阵．,如果,n,阶矩阵,A,能相似,,n,阶矩阵,A,相似于对角矩阵,,的充要条件是,A,有,n,个线性无关的特征向量,.,4.3.2 矩阵可对角化的条件,,p,m,线性无关.,,设,,,1,,,,2,, … ,,,m,是方阵,A,的,m,个,特征值,,p,1,,,p,2,, … ,,p,m,依次是与之对应的特征向,如果,,1,,,,2,, … ,,,m,各不相等,,则,p,1,,,p,2,, … ,,量.,,例 1,设有矩阵,(1),问矩阵,A,是否可对角化, 若能, 试求可逆,矩阵,P,和对角矩阵,,,, 使,P,-1,AP,=,,.,,(2),使,P,-1,AP,=,,成立的,P,、,,是否唯一，,举例说明,.,,例 2,,设,问,x,为何值时，矩阵,A,能对角化？,4.3.3 实对称矩阵的相似矩阵,在矩阵中，有一类特殊矩阵－实对称矩阵,是一定可以对角化的，并且对于实对称矩阵,A,，,不仅能找到一般的可逆矩阵,P,，使得,P,-1,AP,为,对角矩阵，而且还能够找到一个正交矩阵,T,，,使得,T,-1,AT,为对角矩阵．,在这里我们不加证明,地给出这些结果．,,实对称矩阵的特征值为实数,.,,设,A,为,n,阶对称矩阵, 则必有正交,矩阵,P,, 使,P,-1,AP,=,,, 其中,,是以,A,的,n,个特征,值为对角元素的对角矩阵.,n,1,+,n,2,+ … +,n,s,=,n,.,对称矩阵对角化的步骤,Step1,：,求出矩阵,A,的所有特征值，设,A,有,s,个不同的特征值,,1,，,,2,，… ，,,s,，它们,的重数分别为,n,1,，,n,2,，…，,n,s,,,,,Step2 :,对,A,的每个特征值,,i,,求(,A,-,,i,E,),x,=0,的基础解系, 设为,i,= 1, 2, … ,,s,.,，以这些向量为列构,并把它们正交化、单位化，仍记,为,造矩阵,上的元素(,A,的特征值 ) 之间的对应关系.,则,P,为正交矩阵，且,P,-1,AP,=,,.,要注意矩阵,P,的列与对角矩 阵,,主对角线,,例 3,,设,求正交矩阵,P,, 使,P,-1,AP,为对角矩阵.,。