河南省洛阳市2023-2024学年高一数学下学期5月月考试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ）A.两条相交直线确定一个平面 B.两条平行直线确定一个平面C.四点确定一个平面 D.直线及直线外一点确定一个平面2.已知直线与平面没有公共点，直线，则a与b的位置关系是（ ）A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面3.下列说法中错误的是（ ）A.棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形B.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台C.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥D.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线4.某城市有学校700所，其中大学20所，中学200所，小学480所，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取中学数为（ ）A.70 B.20 C.48 D.25.如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为（ ）A. B. C. D.6.在长方体中，为的中点，在中，，，，则（ ）A.1 B.2 C.3 D.47.某商业集团董事长想了解集团旗下五个超市的销售情况，通知五个超市经理把最近一周每天的销售金额统计上报，要求既要反映一周内每天销售金额的多少，又能反映一周内每天销售金额的变化情况和趋势，则最好选用的统计图表为（ ）A.频率分布直方图 B.统计表C.扇形统计图 D.折线统计图8.图1是唐朝著名的风鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱的组合体（如图2）.设这种酒杯内壁的表面积为，半球的半径为3cm，若半球的体积不小于圆柱体积，则S的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注1~8这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A表示“取出球的编号为奇数”，事件B表示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件D表示“取出球的编号小于5”，则（ ）A.事件A与事件C不互斥 B.事件A与事件B互为对立事件C.事件B与事件C互斥 D.事件C与事件D互为对立事件10.为了研究“同时处理多任务时男女的表现差异”课题，研究组随机抽取男、女志愿者各150名，要求他们同时完成“解题、读地图、接电话”等任务，志愿者完成任务所需时间的分布如图所示，则下列表述正确的是（ ）A.总体上女性处理多任务平均用时较短B.处理多任务的能力存在性别差异C.男性的用时中位数比女性用时中位数大D.女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数11.如图，在直三棱柱中，，，，是边的中点，过点A，B，D作截面交于点E，则（ ）A. B.平面平面C.平面 D.点到截面的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一组数据为47，48，51，54，55，则该组数据的标准差是__________.13.在正方体中，直线与所成角的大小为__________.（用角度表示）14.如图，在中，，为的中点.将沿翻折，使点C移动至点E，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分13分）同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数.（1）写出该试验的样本空间；（2）指出所表示的事件；（3）写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示.16.（本小题满分15分）如图，已知在正四棱锥中，，.（1）求四棱锥的表面积；（2）求四棱锥的体积.17.（本小题满分15分）如图，在三棱锥中，E是线段的中点，F是线段上的一点（1）若平面，试确定F在上的位置，并说明理由（2）若，证明：.18.（本小题满分17分）为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.（1）求图中a的值，并求综合评分的平均数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；（3）已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差.19.（本小题满分17分）如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，点E，F分别是线段，的中点.（1）证明：平面；（2）求点C到平面的距离.洛阳强基联盟高一5月联考·数学参考答案、提示及评分细则1.A如果对“脚”连线相交，则椅子四脚确定一个平面.故选A.2.D依题意可知，而，所以a，b没有公共点，a与b可能异面或平行，所以D选项正确.故选D.3.C易知ABD正确；当以斜边所在直线为旋转轴时，所成几何体不是圆锥，C错误.故选C.4.B由于，即每10所学校抽取1所，又因中学200所，所以抽取200÷10=20（所）.故选B.5.D由题意知，四边形的面积为，所以直观图的面积为.故选D6.B如图，连接，易得，设，则，，，因为，所以，即，解得（负值舍去）.故选B.7.D折线统计图的一个显著特点就是能反映统计量的变化趋势.故选D.8.C设圆柱的高为，因为半球的体积不小于圆柱体积，所以，解得，即.所以.故选C.9.AB由题意可得事件表示，事件B表示，事件C表示，事件D表示，∴事件A与事件C不互斥，事件A与事件B为对立事件，事件B与事件C不互斥，事件C与事件D互斥且不对立，故A，B正确，C，D错误.故选AB.10.ABC对于A，由图可知，女性处理多任务平均用时集中在2~3分钟，男性处理多任务平均用时在3~4分钟，A正确；对于B，由A的分析可知B正确；对于C，根据分布的特点，可知男性的用时中位数比女性用时中位数大，C正确；对于D，女性和男性处理多任务的用时均为正数，D错误.故选ABC.11.ABD 如图，在直三棱柱中，，平面，平面，则有平面，平面，平面平面，可得，A正确；∵是的中点，，，∴，又，∴，∴，则，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴平面平面，B正确；因为，平面，所以与平面不平行，C错误；设与交于点，则平面，又因为为的中点，所以点到截面的距离等于点到截面的距离.在中，，由等面积法可得，所以点到截面的距离为，D正确.故选ABD.12. 数据47，48，51，54，55的平均数为，方差，所以该组数据的标准差.13.60° 连接，，易知，所以即为与所成的角或其补角，易知为等边三角形，故所求角为60°.14. 当时，，因为，，，所以三棱锥的表面积为，设内切球半径为，则由等体积法知，解得，所以内切球的表面积15.解：（1）该试验的样本空间Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}（2）所表示的事件为“掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同”.（3）事件“点数之和不超过5”就是集合.16.解：（1）易知该四棱锥的侧面积为四个全等三角形的面积的和，侧面三角形的高为，所以四棱锥的表面积为.（2）连接、，交于点，连接，则为棱锥的高，所以，，故四棱锥的体积.17.（1）解：是的中点，理由如下：若平面，由平面，平面平面，得.分又是的中点，在上，∴是的中点.（2）证明：取的中点，连接，，∵，为中点，∴，，分∵，平面，∴平面，∵平面，∴.18.解：（1）由频率和为1，得，解得；设综合评分的平均数为，则，所以综合评分的平均数为81.（2）由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个，一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E；从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间，；记事件“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”，则，，所以所求的概率为.（3），.19.（1）证明：∵，，，∴，又为等边三角形，∴，在中，由余弦定理得，解得，∴，即.∵，，平面，∴平面.（2）解：取中点，连接，∵为等边三角形，∴，又由（1）可知平面，平面，∴，又∵，且平面，∴平面.∵为的中点∴点到平面的距离等于点D到平面的距离.在中，可知，在中，可知，∵是的中位线，∴，可得的面积.设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，又的面积，点到平面的距离为，∴三棱锥的体积，由，得，即点到平面的距离为.。
