2025届内蒙古自治区赤峰市翁牛特旗中考一模数学试卷一、选择题 1.计算3×3×⋯×3n个=（ ）A.3n B.3+n C.n3 D.3n 2.DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2025年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破33700000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示33700000下列正确的是（ ）A.3.37×105 B.3.37×106 C.3.37×107 D.3.37×108 3.当x=−1时，下列式子有意义的是（ ）A.xx+1 B.x−1x C.x−1 D.xx−1 4.神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.黄金分割 5.若点Pa+2,2−2a在第一象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ）A. B. C. D. 6.如图，在平面直角坐标系中，点A0,2处有一激光发射器，激光照射到点B1,0处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点C处的接收器上，若入射角α=45∘，AB=BC，则点C处的接收器到y轴的距离为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）A.13 B.14 C.16 D.18 8.如图，反比例函数y=k1xx>0的图象与正比例函数y=k2x的图象交于点A2,2，将正比例函数y=k2x的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数y=k1x的图象交于点C1,m，与y轴交于点B0,n，连接AC，则四边形OACB的面积为（ ）A.5 B.92 C.72 D.3二、填空题 9.若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以是________________（写出一个即可）． 10.如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC=12，∠A=60∘，则DE⌢的长为____________． 11.我们给出定义：如果两个锐角的和为45∘，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且BCAC=22，则cosA=__________． 12.如图，在▱ABCD中，∠ABC=120∘，AD=2AB=4，连接AC，过点B作BE垂直于AC，垂足为O，交AD于点E，则AE=____________．三、解答题 13.计算（1）20−616+12×12．（2）先化简，再求值：a+2a−2−1−a2，其中a=2025． 14.生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶500mL的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：A．全部喝完；B．剩约14；C．剩约一半；D．开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）参加这次会议的有___________人；图②中D所在扇形的圆心角是___________．（2）补全条形统计图；（3）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算估计这次会议平均每人浪费矿泉水多少毫升？ 15.某物流公司派遣甲、乙两辆快递车从仓库沿同一路线向某小区运输快件，甲车先从仓库出发，乙车随后也从该仓库出发，已知甲车在途中因故障停留1小时，修复后保持原来的速度继续行驶．甲、乙两车距仓库的距离y（千米）与甲车出发的时间x（小时）之间的函数图象如图所示．（1）图中的a为多少小时？；（2）甲车故障修复后，求甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式；（3）若两车相距不超过20千米时可通过内部系统联络，直接写出乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为多少小时？． 16.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，在△ABC外侧作∠CAD=∠CAB，过点C作CD⊥AD于点D，交AB延长线于点 P．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）用无刻度的直尺和圆规作出∠ACB所对弧的中点F．(不写作法，保留作图痕迹)；（3）在2基础上连接CF，交AB于点E，连接BF=52,tan∠PCB=12，求线段PB的长． 17.综合与探究问题情境：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是线段BC上一点，连接AE，以AE为一边作正方形AEFG，连接DG．探索发现：（1）猜想BE与DG的数量关系，并说明理由；猜想证明：（2）如图2，连接AF交CD于点H，连接EH，请探究EH、BE、DH三条线段之间的数量关系，并说明理由．拓展延伸：（3）如图3，在图1的基础上连接BD,EG交于点M，连接AM，猜想△AMG的形状，并说明理由． 18.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A−2,0和点B6,0两点，与y轴交于点C0,6．点D为线段BC上的一动点．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，求△AOD周长的最小值；（3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．参考答案与试题解析2025届内蒙古自治区赤峰市翁牛特旗中考一模数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】有理数的乘方运算【解析】本题考查了乘方的运算，根据题干n个3相乘，即为3n，即可作答．【解答】解：依题意，3×3×⋯×3n个=3n，故选：D．2.【答案】C【考点】用科学记数法表示绝对值大于1的数【解析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤a<10，n为正整数，确定a与n的值是解题的关键．【解答】解：依题意，33700000用科学记数法表示为3.37×107．故选：C．3.【答案】B【考点】分式有意义的条件二次根式有意义的条件【解析】本题考查了分式有意义的条件“分式的分母不等于0”和二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题关键．根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数是非负的逐项判断即可得．【解答】解：A、当x=−1时，分式xx+1的分母x+1=0，分式无意义，则此项不符合题意；B、当x=−1时，分式x−1x的分母x=−1≠0，分式有意义，则此项符合题意；C、当x=−1时，二次根式x−1的被开方数x−1=−2<0，二次根式无意义，则此项不符合题意；D、当x=−1时，分式xx−1的分子x的被开方数x=−1<0，无意义，则此项不符合题意；故选：B．4.【答案】D【考点】黄金分割【解析】根据黄金分割的定义即可求解．【解答】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．故选：D5.【答案】D【考点】求不等式组的解集已知点所在的象限求参数在数轴上表示不等式的解集【解析】本题考查根据点所在的象限，求参数的范围，在数轴上表示不等式的解集，先根据第一象限内点的符号特征，列出不等式组，求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可．【解答】解：∵点Pa+2,2−2a在第一象限，∴a+2>02−2a>0 ，解得：a>−2a<1 ，数轴表示如图：故选：D．6.【答案】C【考点】坐标与图形性质全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【解析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，过点C作CM⊥x轴于点M，证明△ABO≅△BCM得出BM=OA=2，进一步得出OM=3即可【解答】解：过点C作CM⊥x轴于点M，如图，则∠CBM+∠BCM=90∘,根据题意得∠ABC=90∘,∴∠ABO+∠CBM=90∘,∴∠ABO=∠BCM,又AB=BC,∠AOB=∠BMC=90∘,∴△AOB≅△BMC,∴BVM=AB=2,∴OM=OB+BM=1+2=3,即点C处的接收器到y轴的距离为3，故选：C7.【答案】B【考点】几何概率【解析】连接菱形对角线，设大矩形的长=2a，大矩形的宽=2b，可得大矩形的面积，根据题意可得菱形的对角线长，从而求出菱形的面积，根据“顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形”，可得小矩形的长，宽分别是菱形对角线的一半，可求出小矩形的面积，根据阴影部分的面积=菱形的面积-小矩形的面积可求出阴影部分的面积，再求出阴影部分与大矩形面积之比即可得到飞镖落在阴影区域的概率．【解答】解：如图，连接EG，FH，设AD=BC=2a，AB=DC=2b，则FH=AD=2a，EG=AB=2b，∵四边形EFGH是菱形，∴S菱形EFGH=12FH⋅EG=12⋅2a⋅2b=2ab，∵M，O，P，N点分别是各边的中点，∴OP=MN=12FH=a，MO=NP=12EG=b，∵四边形MOPN是矩形，∴S矩形MOPN=OP⋅MO=ab，∴S阴影= S菱形EFGH−S矩形MOPN=2ab−ab=ab，∵S矩形ABCD=AB⋅BC=2a⋅2b=4ab，∴飞镖落在阴影区域的概率是ab4ab=14，故选B．8.【答案】B【考点】一次函数图象平移问题已知比例系数求特殊图形的面积一次函数与反比例函数的交点问题【解析】本题考查的是一次函数的平移，反比例函数的图象与性质，反比例函数比例系数k的几何意义；先求解反比例函数为：y=4x，正比例函数为y=x，直线BC为y=x+3，B0,3，再进一步求解即可．【解答】解：∵反比例函数y=k1xx>0的图象与正比例函数y=k2x的图象交于点A2,2，∴k1=2×2=4，2k2=2，解得：k2=1，∴反比例函数为：y=4x，正比例函数为y=x，∵将正比例函数y=x的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数y=4x的图象交于点C1,m，∴m=41=4，即C1,4，一次函数为y=x+n，∴1+n=4，解得：n=3，∴直线BC为y=x+3，当x=0时，y=3，∴B0,3，如图，过C作CH⊥y轴于H，作CQ⊥x轴于Q，过A作AT⊥x轴于T，∴五边形HOTAC的面积为4+12×2+4×1=4+3=7，∴四边形OACB的面积为7−12×4−12×1×4−3=7−2−12=92；故选：B．二、填空题9.【答案】0（答案不唯一）【考点】根据一元二次方程根的情况求参数【解析】先利用判别式的意义得到22−4k>0，再解不等式确定k的范围，然后在此范围内取一个值即可．【解答】根据题意得△=22−4k>0，解得k<故答案为k<1的实数均可．可填010.【答案】2π【考点】求弧长三角形内角和定理【解析】本题考查了弧长公式，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键．找出半圆圆心O，连接OD、OE，根据三角形的内角和定理得∠B+∠C=120∘， 又OB=OD，OE=OC，则∠ODB=∠B，∠OEC=∠C，求出∠BOD+∠EOC=120∘，则∠DOE=60∘，最后通过弧长公式即可求解．【解答】解：如图，找出半圆圆心O，连接OD、OE，∵∠A=60∘，∠A+∠B+∠C=180∘，∴∠B+∠C=120∘，∵OB=OD，OE=OC，∴∠ODB=∠B，∠OEC=∠C，∴∠BOD+∠EOC=360∘−120∘×2=120∘，∴∠DOE=60∘，∴DE⌢的长为：60×π×122180=2π，故答案为：2π．11.【答案】31010/31010【考点】解直角三角形的相关计算三角形的外角的定义及性质勾股定理的应用【解析】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形外角的定义及性质，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D．设BC=2a，AC=2a．由三角形外角的定义及性质得出∠DCB=∠A+∠ABC=45∘，再解直角三角形求出BD=a，CD=a，再求出AD=3a，由勾股定理得出AB=a2+3a2=10a，即可得解．【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D．∵BCAC=22，∴设BC=2a，AC=2a．∵∠A，∠ABC互为半余角，∴∠DCB=∠A+∠ABC=45∘．在Rt△CDB中，BD=BC⋅sin45∘=2a×22=a，CD=BC⋅cos45∘=2a×22=a．∵AC=2a，∴AD=AC+CD=2a+a=3a，∴AB=a2+3a2=10a．在Rt△ABD中，cosA=ADAB=3a10a=31010，故答案为：31010．12.【答案】1.6【考点】利用平行四边形的判定与性质求解相似三角形的性质与判定含30度角的直角三角形勾股定理的应用【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．过C作CF⊥AC，交AD延长线于点F，过C作CH⊥AD，交AD延长线于点H，由四边形ABCD是平行四边形，得AB=CD=2，∠ADC=∠ABC=120∘，AD=BC=4，BC // AD，从而可证明四边形BEFC是平行四边形，然后由直角三角形的性质和勾股定理求出由勾股定理得CH=3，AC=27，再证明△ACH∽△AFC，通过相似三角形的性质求出AF=285，最后由线段和差即可求解．【解答】解：如图，过C作CF⊥AC，交AD延长线于点F，过C作CH⊥AD，交AD延长线于点H，∴∠ACF=∠CHF=∠AHC=90∘，∵BE⊥AC，∴∠BOC=90∘，∴∠BOC=∠ACF=90∘，∴BE // CF，∵AD=2AB=4，∴AB=2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=2，∠ADC=∠ABC=120∘，AD=BC=4，BC∥AD，∴∠CDH=60∘，四边形BEFC是平行四边形，∴∠DCH=30∘，EF=BC=4，∴DH=12CD=1，∴AH=AD+DH=4+1=5，由勾股定理得CH=CD2−DH2=22−12=3，∴AC=AH2+CH2=52+32=28=27，∵∠CAH=∠FAC，∠ACF=∠AHC=90∘，∴△ACH∽△AFC，∴ACAF=AHAC，∴27AF=527，∴AF=285，∴AE=AF−EF=285−4=85=1.6，故答案为：1.6．三、解答题13.【答案】（1）25（2）2a−5,4045【考点】二次根式的乘法二次根式的加减混合运算运用平方差公式进行运算运用完全平方公式进行运算【解析】（1）分别进行化简二次根式，二次根式的乘法运算，再进行加减运算；（2）先由平方差公式和完全平方公式进行展开，再合并，最后代入求值．【解答】（1）解：20−616+12×12=25−6+6=25；（2）解：a+2a−2−1−a2=a2−4−1+2a−a2=2a−5,．当a=2025时，原式=2×2025−5=4045．14.【答案】50，36∘（2）见解析（3）162.5毫升【考点】画条形统计图求扇形统计图的圆心角条形统计图和扇形统计图信息关联加权平均数【解析】（1）根据扇形统计图和条形统计图中B所对应的人数和所占的百分比，即可求出总人数，再根据D所对应的人数占总人数的百分比即可求出圆心角的度数；（2）根据总人数求出C种情况的人数，即可补全条形统计图；（3）用总的浪费量除以总人数就能得到平均每人的浪费量．【解答】（1）解：参加这次会议的有25÷50%=50（人），图②中D所在扇形的圆心角是360∘×550=36∘，故答案为：50，36∘；（2）解：C的人数为50−10−25−5=10（人），补全条形统计图如下： ；（3）解：500×14×25+500×12×10+500×5÷50=162.5（毫升），答：估计这次会议平均每人浪费矿泉水162.5毫升．15.【答案】（1）5.5（2）y=60x−603≤x≤5.5（3）12小时【考点】一次函数的实际应用——行程问题从函数的图象获取信息【解析】（1）结合函数图像求解即可；（2）设甲车故障修复后，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，结合1得出点3,120，5.5,270在函数图像上，利用待定系数法求解即可．（3）结合函数图像分段讨论即可．【解答】（1）解：由题意可知，乙车的行驶速度为120÷2.5−1=80（千米/时），甲车速度为120÷3−1=60（千米/时），∴a=270÷60+1=5.5，故答案为：5.5；（2）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，把3,120，5.5,270代入得：3k+b=1205.5k+b=270 ，解得：k=60b=−60 ，∴y=60x−603≤x≤5.5；（3）当甲车修车，乙车在甲车后面20千米时，80x−1=120−20，解得：x=94，当甲车修车，乙车在甲车前面20千米时，80x−1=120+20，解得：x=114，∵114−94=12（小时），∴乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为12小时．16.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）103【考点】证明某直线是圆的切线相似三角形的性质与判定圆周角定理解直角三角形的相关计算【解析】（1）利用等边对等角得到∠OCA=∠CAB，结合∠CAD=∠CAB，推出∠CAD=∠OCA，证明AD // OC，由CD⊥AD，得到OC⊥DP，即可证明；（2）作直径AB的垂直平分线交∠ACB所对弧于点F即可；（3）连接OF，利用圆周角定理证明△OFB是等腰直角三角形，可求出半径，然后通过相似三角形的性质列方程求解即可．【解答】解：（1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB，∵∠CAD=∠CAB，∴∠CAD=∠OCA，∴AD // OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥DP，∵OC是圆半径，∴PC是⊙O的切线；（2）解：如图所示为所求：（3）解：连接OF， ∵∠ACB=90∘，CF平分∠ACB，∴∠BCF=45∘，∴∠BOF=90∘，∵OF=OB，BF=52，∴在Rt△OBF中，OB=BF2=5，∵ ∠ACO+∠OCB=∠PCB+∠OCB，∴∠ACO=∠PCB，∴∠CAO=∠PCB=∠CAD，∵tan∠PCB=12，∴tan∠CAO=12，tan∠CAD=12，∴cos∠CAO=25=255，cos∠CAD=255，∵AB=10，∴AC=ABcos∠CAO=10×255=45，AD=ACcos∠CAO=45×255=8，∵AD // OC，∴△OCP∽△ADP，∴OCAD=OPAP，设BP=x，则OP=5+x,AP=10+x，∴58=5+x10+x，解得x=103，∴BP=103．17.【答案】（1）猜想BE=DG，见解析2BE+DH=HE，理由见解析3△AMG是等腰直角三角形，理由见解析（2）（3）【考点】全等的性质和SAS综合（SAS）根据正方形的性质证明全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）等腰三角形的判定与性质【解析】（1）先由正方形的性质得AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90∘，再证明△BAE≅△DAGSAS，即可作答．（2）先由△BAE≅△DAG得BE=DG,AE=AG,∠ADG=∠ABC=90∘，则C,D,G三点共线，再结合正方形的性质，证明△EAH≅△GAHSAS，即可作答．（3）先由正方形的性质，得∠ABC=∠C=90∘,∠ABD=∠CBD=45∘，结合由1知BE=DG，得NE=DG，因为EN∥CG，则△EMN≅△GMDAAS，最后由EM=GM，得AM=EM=GM，即可作答．【解答】解：（1）猜想BE=DG．证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，则AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90∘，∴∠EAD+∠DAG=90,∠BAE+∠EAD=90∘，∴∠BAE=∠DAG，在△BAE和△DAG中，AE=AG∠BAE=∠DAGAB=AD ，∴△BAE≅△DAGSAS，∴BE=DG；（2）解：BE+DH=HE，理由如下：∵△BAE≅△DAG，∴BE=DG,AE=AG,∠ADG=∠ABC=90∘，∵∠ADC=90∘，∠ADG+∠ADC=180∘，∴C,D,G三点共线，∵四边形AEFG是正方形，∴∠EAH=∠GAH=45∘，在△EAH和△GAH中，AE=AG∠EAH=∠GAHAH=AH ∴△EAH≅△GAHSAS，∴EH=GH，∵DG+DH=GH，∴BE+DH=EH．（3）△AMG是等腰直角三角形．理由如下：如图，过点E作EN∥CG交BD于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C=90∘，∠ABD=∠CBD=45∘，∵EN∥DC，∴∠NEB=∠C=90∘，∴BE=NE，由1知BE=DG，∴NE=DG，又∵EN∥CG，∴∠NEM=∠DGM，又∵∠NME=∠DMG，∴△EMN≅△GMDAAS，因此EM=GM，∵四边形AEFG是正方形，∴∠EAG=90∘，又∵EM=GM，∴AM=EM=GM，因此△AMG是等腰直角三角形．18.【答案】（1）y=−12x2+2x+6（2）12（3）3,152，S最大值=272【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数综合——线段周长问题二次函数综合——面积问题【解析】（1）根据题意设抛物线的表达式为y=ax+2x−6，将0,6代入求解即可；（2）作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形OBEC为正方形，E6,6，连接AE，交BC于点D，由对称性DE=DO，此时DO+DA有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可；（3）由待定系数法确定直线BC的表达式为y=−x+6，直线AC的表达式为y=3x+6，设Pm,−12m2+2m+6，然后结合图形及面积之间的关系求解即可．【解答】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为y=ax+2x−6，将0,6代入上式得：6=a0+20−6，a=−12所以抛物线的表达式为y=−12x2+2x+6；（2）作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB，∵B6,0，C0,6，∠BOC=90∘，∴OB=OC=6，∵O、E关于直线BC对称，∴四边形OBEC为正方形，∴E6,6，连接AE，交BC于点D，由对称性DE=DO，此时DO+DA有最小值为AE的长，AE=AB2+BE2=82+62=10∵△AOD的周长为DA+DO+AO，AO=2，DA+DO的最小值为10，∴△AOD的周长的最小值为10+2=12；（3）由已知点A−2,0，B6,0，C0,6，设直线BC的表达式为y=kx+n，将B6,0，C0,6代入y=kx+n中，6k+n=0n=0 ，解得k=−1n=6 ，∴直线BC的表达式为y=−x+6，同理可得：直线AC的表达式为y=3x+6，∵PD∥AC，∴设直线PD表达式为y=3x+h，由1设Pm,−12m2+2m+6，代入直线PD的表达式得：h=−12m2−m+6，∴直线PD的表达式为：y=3x−12m2−m+6，由y=−x+6y=3x−12m2−m+6 ，得x=18m2+14my=−18m2−14m+6 ，∴D18m2+14m,−18m2−14m+6，∵P，D都在第一象限，∴S=S△PAD+S△PBD=S△PAB−S△DAB=12AB−12m2+2m+6−−18m2−14m+6=12×8−38m2+94m=−32m2+9m=−32m2−6m=−32m−32+272，∴当m=3时，此时P点为3,152.S最大值=272．试卷第23页，总23页。