试卷类型:A2024年高考适应性训练数 学 试 题 （三）本试卷共19题，满分150分，共6页．考试用时120分钟．注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的1.已知集合，集合，则集合子集的个数为A. B. C. D. 2.小王夫妇开设了一家早餐店，经统计，发现每天茶叶蛋的销量（单位：个），估计天内每天茶叶蛋的销量约在到个的天数大约为（附：若随机变量，则，，）A． B． C． D．3. 已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为A. B. C. D. 4. 青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为和，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则的取值范围是A. B.C. D. 5.已知为定义在上的偶函数，则函数的解析式可以为A. B. C. D. 6. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则A． B．在上单调递增C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴7. 设，，，则A. B. C. D. 8．已知圆与抛物线相交于两点，分别以为切点作的切线. 若都经过的焦点，则A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 下列结论正确的是A. 回归直线至少经过其样本数据中的一个点B. 已知命题，，则命题的否定为，C. 若为取有限个值的离散型随机变量，则D.若一组样本数据、、、的平均数为，另一组样本数据、、、的方差为，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为和10. 已知函数，则A. 是上的增函数 B. 函数有且仅有一个零点C．函数的最小值为－1D. 存在唯一个极值点11. 在正方体中，点满足，，，则A. 当时，B. 当时，三棱锥的体积为定值C．当时，正方体的棱长为时，的最小值为D．当时，存在唯一的点P，使得P到的距离等于P到的距离三、填空题：本题共 3小题，每小题5分，共15 分12. 某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生 ▲ 人．13. 已知分别是椭圆的左，右焦点，是上两点，且，，则的离心率为 ▲ .14. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是 ▲ .四、解答题：本题共5小题，共 77 分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（13分）记为数列的前n项和．已知.（1）求的通项公式；（2）令，求.16.（15分）如图，在直角梯形中，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．（1）证明：平面平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．OAEDBCA1(A)BOCDE图1 图217.（15分）平面内点到点与到直线的距离之比为3.（1）求点的轨迹的方程;（2）为的左右顶点，过的直线与交于（异于）两点，与交点为，求证：点在定直线上.18.（17分）为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了下面的频率分布表（不完整），并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为（同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.学生与最近食堂间的距离合计在食堂就餐0.150.100.000.50点外卖0.200.000.50合计0.200.150.001.00（1）求出的值并补全频率分布表； （2）根据频率分布表补全样本容量为的列联表（如下表），并根据小概率值的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过时，认为较近，否则认为较远）；根据频率分布表列出如下的列联表：学生距最近食堂较近学生距最近食堂较远合计在食堂就餐点外卖合计（3）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐. 该校距李明较近的有甲、乙两家食堂，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.记他选择去甲食堂就餐为事件A，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件D，且D、A均为随机事件，证明：.附：，其中.0.100.0100.0012.7066.63510.82819.（17分）定义：设和均为定义在上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为“相伴函数”.（1）给出两组函数，①和；②和，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”；（2）若是定义在上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，问是否存在使得和为“相伴函数”？若存在写出的一个值，若不存在说明理由；（3），写出“和为相伴函数”的充要条件，证明你的结论. 2024年高考适应性训练数学（三）参考答案及评分意见一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案DBADCDBC解析：1. 联立可得方程组的解为或，所以，所以集合的子集个数为.故选：D.2. 由题意可知：，，则，， ，则天内每天茶叶蛋的销量约在到个的天数大约为．故选：B．3. 因为是单位向量，所以，由得，则，得，设与的夹角为，则在方向上的投影向量为.故选：A.4. 依题意：，两式相减可得，故，而. 故选：D．5. 因为是偶函数，所以，即，所以是偶函数. 对于选项A，因为， 所以定义域为，所以不满足题意；对于选项B，定义域为且关于原点对称，，不符合题意；对于选项C，定义域为且关于原点对称，当时，，当时，，且，所以为偶函数，符合题意；对于选项D，定义域为且关于原点对称，为奇函数，不符合题意；故选：C.6. 对于选项A，由题意，将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，可得，故A错误；对于选项B，令，可得，所以在上单调递增，所以 B错误；对于选项C，令，可得，所以在上单调递减， 又在上单调递增，因为在上的最小值为0，C错误；对于选项D，函数的对称轴方程为，化简可得，取，可得，所以是图象的一条对称轴，故D正确.故选D.7. 由单调递减可知：.由单调递增可知：，所以，即，且.由单调递减可知：，所以. 故选：B.8. 由题得设，联立圆和抛物线得：，代入点得,又为圆的切线，故，由抛物线得定义可知：，故化简得：，将点代入圆得： 所以，而，故 ，所以，故选C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分题号91011答案BDBDABD解析：9. 对于选项A，回归直线可以不经过其样本数据中的一个点，则A错误；对于选项B，命题，的否定为“”.所以B正确.对于选项C，为取有限个值的离散型随机变量，则，故C错误．对于选项D，由题意可知，数据、、、的平均数为，则，则，所以，数据、、、的平均数为，方差为，所以，将两组数据合并后，新数据、、、、、、、的平均数为，方差为. 故D正确；故选：BD.10. 对于选项A，，，当时，则， ，即，不是上的增函数，故A错误；对于选项B，当时，，，当时，；当时，，，，从而函数有且仅有一个零点，故B正确；对于选项C，当时，，当时，，当时，，，，不是函数的最小值，故C错误；对于选项D，因为，所以的符号决定于，显然是上的增函数，又因为当时，；当时，，所以，使，所以在上为减函数，在上为增函数.所以有唯一极小值点. 故D正确. 故选 ：BD.11. 对于选项A，当时，的轨迹为线段，连接，则.又平面，，∴平面，，同理可得，故平面，平面，所以，故A正确；对于选项B，当时，点的轨迹为线段（为的中点），直线平面，故三棱锥的体积为定值，故B正确；对于选项C，当时，点轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，可知，由余弦定理可得，故C错误；对于选项D，当时，点轨迹为以为圆心，为半径的四分之一圆弧，由点到的距离等于到的距离，即点到点的距离等于到的距离，则点轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线上，故存在唯一的点，使得点到的距离等于到的距离，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共 3小题，每小题5分，共15 分。
12. 13. 14. 解析：12. 利用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人，可得高三年级共有120人，又由高三年级共有720名学生，则每个学生被抽到的概率为，设该校共有名学生，可得，解得人，即该校共有1800名学生.故答案为：1800.13. 连接，设，则，，， 在中，即，，，，，在中，，即，，，又，.14. ∵∴两边加上得设，则在上单调递增∴，即令，则∵的定义域是∴当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴当时，取得极大值即为最大值，且，∴，∴即为所求.四、解答题：本题共5小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（13分）解：（1）∵，即 ①，当时， ②，………………………………2分①②得，，即， ……………………………………………4分即，所以，且，…………………………………………………………6分∴是以1为公差的等差数列， ，. 即的通项公式为………………………………………………………………7分（2）由（1）知：，∴当时， ……………………………………………9分又，∴是以为首项，为公比的等比数列， ………………11分∴. ……………………13分16.（15分）解：（1）在图1中，因为，是的中点，，所以．…………………………………………………………2分即在图2中，，．从而平面．……………………………4分又∥，所以平面．因为平面， zAEDBCA1 (A)BOCDE图1 Oxy所以平面平面 …………………………………………………6分（2）由已知，平面平面，又由（1）知，，．所以为二面角的平面角，所以． ……………………8分如图，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ………………………………9分设，所以，因为，所以，，，．得，，. ……11分设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取. …………………………………12分同理：，得，取. ……………………………13分从而， …………………………………………14分即平面与平面夹角的余弦值为． ………………………………………15分17.（15分）解：（1）设，由题意可得， …………………………3分整理得:，所以轨迹的方程为. …………………………………………………5分（2）由（1）知，由题可设直线，.联立 得：，易知. …………7分所以 ① 又，， ……………………………………9分两式相除得: ② …………………11分由①式可得， …………………………………………………13分带入②式，得，所以点在定直线上. …………………………………………………15分18.（17分）解：（1）组的频率为，估计学生与最近食堂间的平均距离，解得， ……………………………………………………3分故可补全频率分布表如下：学生与最近食堂间的距离合计在食堂就餐0.150.200.100.050.000.50点外卖0.050.200.150.100.000.50合计0.200.400.250.150.001.00……………………………………………………7分（2）结合样本容量为的频率分布表可列出列联表如下：学生距最近食堂较近学生距最近食较堂远合计在食堂就餐7003001000点外卖5005001000合计12008002000……………………………………………………9分零假设：学生中午的用餐情况与学生距最近食堂的远近无关.注意到. …………11分根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即可以认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关. ………………………12分（3）由题意得，，结合，.结合条件概率公式知，即. ……………………………………………………14分，即成立. ……………………………………………………17分19.（17分）解：（1）第①组是，第②组不是.①和，，所以，所以这两组函数是“相伴函数”. ……………………………………………………2分②和，，不一定为非正数，所以这两组函数不是 “相伴函数”. ……………………………………………………4分（2）存在，使得和为“相伴函数”. 证明如下：，所以， ……………………………………………………5分.若和为“相伴函数”则成立，即.若 ……………………………………………………7分由①知， 则可取，也满足②式.若∴若，则③式无解；若，则④式无解； ……………………………………9分综上存在，使得和为“相伴函数”. …………………………10分（3）“和为相伴函数”的充要条件是. ………11分因为若和为相伴函数即对恒成立，即，，即，由于取遍内的所有实数，因此当且仅当时成立，所以； ………………………………………………………………14分故必要性得证.下面证明充分性：已知，则，，此时，所以，即成立，和为相伴函数. …16分所以“和为相伴函数”的充要条件是. ………17分。