单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,*,人教,A,版高中数学,必修 章节复习,(,必修,2),第三章 直线与方程,第,15,讲,两直线的位置关系与对称问题,掌握两直线平行与垂直的条件、点到直线的距离公式、中心对称和轴对称的概念，能根据直线的方程判断两直线的位置关系，能把握对称的实质，并能应用对称性解题,.,1.,如果直线,l,1,:a,x,+2,y,+1=0,与直线,l,2,:,x,+,y,-2=0,互相垂直，那么,a,的值等于,(,),A.1 B.,C.D.-2,(,一,),由,l,1,l,2,A,1,A,2,+,B,1,B,2,=0,求得,a,=-2.,（二）若两直线垂直且斜率存在，则,k,1,k,2,=-1,即,()(-1)=-1,得,a,=-2.,D,由点到直线的距离公式得,所以,cos,2,=,得,=,或,.,2.,已知,0,，若点,A,(,sin,-,cos,),到直线,l,:,xsin,+,ycos,=0,的距离为,则,=,.,3,p,或,3.,若点,P,(3,4),、点,Q,（,a,b,),关于直线,x,-,y,-1=0,对称，则,(),A.,a,=1,b,=2 B.,a,=2,b,=-1,C.,a,=4,b,=3 D.,a,=5,b,=2,由已知，解得 ，,故选,D.,D,a,=5,b,=2,4.,点,P,（,2,，,-3,）到直线,l,:5,x,-12,y,+6=0,的距离是,；两条平行直线,4,x,-3,y,+,m,=0,和,8,x,-6,y,+,n,=0,间的距离是,.,点,P,（,2,，,-3,）到直线,l,的距离,d,=,两平行直线方程可化为,8,x,-6,y,+2,m,=0,8,x,-6,y,+,n,=0,，所以两直线间的距离,d,=.,4,1.,平面内的两条直线的位置关系,若直线,l,1,:,y,=,k,1,x,+,b,1,或,A,1,x,+,B,1,y,+,C,1,=0;,直线,l,2,:,y,=,k,2,x,+,b,2,或,A,2,x,+,B,2,y,+,C,2,=0.,(1),l,1,l,2,且,b,1,b,2,或,_,且,A,2,C,1,-,A,1,C,2,0(,或,B,1,C,2,-,B,2,C,1,0).,(2),l,1,l,2,_,或,_,.,(4),l,1,与,l,2,重合,k,1,=,k,2,且,b,1,=,b,2,或,A,1,B,2,-,A,2,B,1,=0,且,A,1,C,2,-,A,2,C,1,=0(,或,B,1,C,2,-,B,2,C,1,=0).,(3),l,1,与,l,2,相交,A,1,B,2,-,A,2,B,1,0.,2.,点与直线的位置关系,设点,P,(x,0,y,0,),，直线,l:A,x,+,B,y,+,C=,0,则,(1),点在直线上：,+C=0.,(2),点在直线外：,+C0.,(3),点到直线的距离,d=,_.,特别地，若,l,1,:,A,x,+,B,y,+,C,1,=0,l,2:,A,x,+,B,y,+,C,2,=0,则,l,1,与,l,2,间的距离,d,=,_,.,3.,中心对称与轴对称,(1),中心对称：求,P,(,x,0,y,0,),关于点,M,(,a,b,),对称的点,P,的基本方法是转化为,M,是线段,PP,的中点求，即,P,(2,a,-,x,0,2,b,-,y,0,).,特例：当,a,=0,b,=0,时，,P,(,x,0,y,0,),关于原点的对称点为,P,(-,x,0,-,y,0,).,_,.,(2),轴对称：求已知点,P,(,x,0,y,0,),关于已知直线,l,:,y,=,kx,+,b,的对称点,P,(,x,y,),的基本方法是转化为求方程组的解,即由,PP,l,线段,PP,的中点,p,0,l,_,.,特例,:,当,k,=0,1,或,b,=0,时，分别有以下规律：,（,）,P,(,x,y,),关于,x,轴、,y,轴对称的点分别为,P,1,(,x,-,y,),P,2,(-,x,y,).,（,）,P,(,x,y,),关于直线,y,=,x,y,=-,x,对称的点分别为,_,（,）,P(x,y,),关于直线,y,=,x,+,b,y,=-,x,+,b,对称的点分别为,P,5,(,y,-,b,x,+,b,),P,6,(-,y,+,b,-,x,+,b,).,（,）,P,(,x,y,),关于直线,x,=,a,y,=,b,对称的点分别为,P,7,(2,a,-,x,y,),P,8,(,x,2,b,-,y,).,注意：当,k,1,，,0,时，不具有上述规律,.,P,3,(x,y),P,4,(-x,-y).,4.,对称变换,(1),曲线,C,:,F,(,x,y,)=0,经过上述规律进行变换,f,得曲线,C,则,C,为,C,关于,f,对称的曲线,.,(2),若,C,的方程与,C,的方程相同，则证明曲线,C,自身具有对称性,.,特例：曲线,C,：,F,(,x,y,)=0,关于,x,轴、,y,轴、原点对称的曲线,C,的方程分别为,F,(,x,-,y,)=0,F,(-,x,y,)=0,F,(-,x,-,y,)=0;,关于直线,y,=,x,y,=-,x,y,=,x,+,b,y,=-,x,+,b,对称的曲线,C,的方程分别是,F,(,y,x)=0,F,(-,y,-,x,)=0,F,(,y,-,b,x,+,b,)=0,F,(-,y,+,b,-,x,+,b,)=0;,关于直线,x,=,a,y,=,b,点,M,(,a,b,),对称的曲线,C,的方程分别为,F,(2,a,-,x,y,)=0,F,(,x,2,b,-,y,)=0,F,(2,a,-,x,2,b,-,y,)=0.,题型一,两条直线位置关系的判定与运用,例,1,已知两条直线,l,1,:,ax,-,by,+4=0,和,l,2,:(,a,-1),x,+,y,+,b,=0,求满足下列条件的,a,、,b,的值,.,(1),l,l,2,，且,l,1,过点,(-3,-1);,(2),l,1,l,2,，且坐标原点到这两条直线的距离相等,.,(1),由已知可得,l,2,的斜率必存在,所以,k,2,=1-,a,.,若,k,2,=0,，则,1-,a,=0,a,=1.,因为,l,1,l,2,直线,l,1,的斜率,k,1,必不存在，即,b,=0.,又因为,l,1,过点,(-3,-1),，所以,-3,a,+,b,+4=0,即,b,=3,a,-4=-10,（不合题意），,所以此种情况不存在，即,k,2,0.,若,k,2,0,，即,k,1,、,k,2,都存在,.,因为,k,2,=1-,a,k,l,1,l,2,所以,k,1,k,2,=-1,即,(1-,a,)=-1.,又因为,l,1,过点,(-3,-1),，所以,-3,a,+,b,+4=0.,由联立，解得,a,=2,b,=2.,(2),因为,l,2,的斜率存在，,l,1,l,2,所以直线,l,1,的斜率存在，所以,k,1,=,k,2,即,=(1-,a,).,又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且,l,1,l,2,所以,l,1,、,l,2,在,y,轴上的截距互为相反数,即,=,b,则联立解得 或,所以,a,、,b,的值分别为,2,和,-2,或 和,2.,a,=2,a,=,b,=-2,b,=2,在运用直线的斜截式,y,=,kx,+,b,时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况,.,运用直线的一般式,Ax,+,By,+,C,=0,时，要特别注意,A,、,B,为零时的特殊情况,.,另外求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两直线平行或垂直的充要条件；若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究,.,1,已知两直线,l,1,：,mx,+8,y,+,n,=0,和,l,2,：,2,x,+,my,-1=0,，试确定,m,、,n,的值，使,(1),l,1,与,l,2,相交于点,P,(,m,-1),；,(2),l,1,l,2,;,(3),l,1,l,2,且,l,1,在,y,轴上的截距为,-1.,(1),因为,m,2,-8+,n,=0,且,2,m,-,m,-1=0,所以,m,=1,n,=7.,(2),由,m,m,-82=0,得,m,=4.,由,8(-1)-,n,m,0,，得 或 ，,即,m,=4,n,-2,时，或,m,=-4,n,2,时，,l,1,l,2,.,(3),当且仅当,m,2+8,m,=0,即,m,=0,时，,l,1,l,2,.,又,=-1,所以,n,=8,即,m,=0,n,=8,时，,l,1,l,2,且,l,1,在,y,轴上的截距为,-1.,m,=4,m,=-4,n,-2,n,2,题型二,点到直线的距离及平行线间的距离,例,2,已知三条直线,l,1,:2,x,-,y,+,a,=0,（,a,0,），,l,2,:,-4,x,+2,y,+1=0,和,l,3,:,x,+,y,-1=0,且,l,1,与,l,2,的距离是,.,（,1,）,求,a,的值；,（,2,）,试求一点,P,，使得,P,点同时满足下列三个条件：,P,是第一象限的点；,P,点到,l,1,的距离是,P,点到,l,2,的距离的 ；,P,点到,l,1,的距离与,P,点到,l,3,的距离之比是,.,(1),由已知,l,1,:4,x,-2,y,+2,a,=0,l,2,:4x-2y-1=0,，,所以,l,1,与,l,2,的距离,d=,即,|2,a,+1|=7,，又,a,0,，所以,a,=3.,(2),设点,P,（,x,0,y,0,),，若,P,满足条件,则,P,点在与,l,1,、,l,2,平行的直线,l,：,4,x,-2,y,+,c,=0,上，,且 ，解得,c=13,或,.,所以,4,x,0,-2,y,0,+13=0,或,4,x,0,-2,y,0,+=0.,若,P,满足条件，由点到直线的距离公式，,有 ，,所以,|2,x,0,-,y,0,+3|=|,x,0,+,y,0,-1|,，,所以,x,0,-2,y,0,+4=0,或,3,x,0,+2=0.,又点,P,在第一象限，所以,3,x,0,+2=0,不成立,.,故点,P,(,x,0,y,0,),满足 ，,解得,(,舍去,),或 ，,解得,所以点,P,(,，,),为同时满足三个条件的点,求解本题的必需工具是两个公式：平行线间的距离公式，点到直线的距离公式，与直线,Ax,+,By,+,C,=0,平行的所有直线总能设为,Ax,+,By,+,C,1,=0,的形式；而两平行线间的距离除用公式外，总能看成是其中一条上的任意一点到另一条直线的距离，最终化归为点到直线的距离,.,已知直线,l,:,x,-,y,+3=0,，一束光线从点,A,(1,2),处射向,x,轴上一点,B,又从,B,点反射到,l,上的一点,C,，最后从点,C,反射回点,A,.,(1),试判断由此得到的,ABC,是有限个还是无限个？,(2),依你的判断,认为是无限个时,请求出所有这样的,ABC,的面积的最小值；认为是有限个时，请求出这样的线段,BC,的方程,.,题型三 有关对称的确定与应用,例,3,根据光学性质，点,C,在直线,A,B,上，点,C,又在直线,B,A,上,则,A,B,的方程为为,.,由,解得,.,(1),设,B,(,m,0),，点,A,关于,x,轴的对称点为,A,(1,-2),点,B,关于直线,x,-,y,+3=0,的对称点为,B,(-3,m,+3).,又,B,A,的方程为,y,-2=,由,解得,.,则,即,3,m,2,+8,m,-3=0,解得,m,=,或,m,=-3.,而当,m,=-3,时，点,B,在直线,x,-,y,+3=0,上，不能构成三角形，,因此这样的,ABC,只有一个,.,本例是探究性问题，探究的切入点是充分应用对称的几何性质及方程思想,.,(2),当,m,=,时，,B,(,0),C(-,),则线段,BC,的方程为,3,x,+,y,-1=0(-,x,).,1.,判断两条直线平行或垂直时，既要灵活准确应用等价条件，又要注意与坐。