单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第4章 力分析及柔顺控制,学习内容：1 动力学分析,2 静力学分析,3 坐标系间力和力矩的变换,4 柔顺控制,学习重点：1 动力学方程的简化,2 柔顺坐标系,为了使物体加速必须对其施加力，使旋转物体产生角加速度必须对其施加力矩，所施加力、力矩大小为：,为使机器人连杆加速，驱动器必须有足够大的力、力矩驱动机器人连杆和关节，以使他们能以期望的加速度和速度运动为此，必须计算每个驱动器所需的驱动力设计者可根据这些方程并考虑机器人外部载荷计算出驱动器可能承受的最大载荷，并进而设计出能够提供足够力及力矩的驱动器事实上，除最简单情况外，求解全部机器人动力学方程是不可能的一般只需求解用这些方程确定出必要的力、力矩，以便在机器人连杆上产生期望的速度、加速度拉格朗日方程是基于能量对系统变量及时间微分的简单情况比牛顿力学烦琐，随着系统复杂程度的增加，运用该方程将变得简单4.1 拉格朗日方程,式中：L是拉格朗日函数，K是系统动能，P是系统势能。
式中：F是所有线运动外力之和，T是所有转动外力矩之和，x 是系统变量例4.1 分别用拉格朗日方程及牛顿方程推倒如图所示的单自由度系统的力和加速度关系于是，小车的运动方程为：,用牛顿方程：,机械手和环境之间的接触将在接触处产生相互作用的力和力矩每个机械手的关节运动都是由各自的执行装置驱动的相应的关节输入力矩，经手臂的连杆传送到抓具，并在抓具处引起对环境的力和力矩对于象焊接、喷漆、搬运等工作，通常只需要单纯的位姿控制；而如装配、切割、研磨、打毛刺、擦玻璃等作业，机器人的末端工具需要与被操作的物体或环境接触，通过相互之间的作用力完成一定的作业，对于这些工作，只采用位姿控制是不够的，因为微小的误差可能使工具与环境脱离接触或产生很大的相互作用力这时的控制就易采用柔顺方法即在易使工具与环境脱离接触或产生很大作用力的方向采用柔顺控制其方法是：假想在此方向，末端刚度很低，对其采用力控制4.2 力和力矩分析,4.2.1 力和力矩的平衡,这一节推导表示机械手静力学特性的基本方程我们首先考虑在开环运动链上的一个单独连接的自由实体的图形图4-1表示作用在连杆i上的力和力矩连杆i通过关节i+1与连杆i-1和连杆i+1连接起来。
用 表示第i-1连杆作用在第i连杆上的力，也就是作用在 坐标系原点 O,i-1,上的作用力同样，表示连杆i作用在连杆i+1上的作用力，那么连杆i+1对连杆i的作用力就可由 给出表示作用在重心C,i,的重力，m,i,为连杆i的质量，而g是3,1的重力加速度矢量根据力的平衡原理有,其中所有矢量都是表示在基坐标系 中图4-2 作用在连杆i上的力和力矩,下面研究力矩的平衡情况由连杆i-1施加在连杆i上的力矩用N,i-1,i,来表示，因此，由连杆i+1施加给连杆i的力矩是-N,i-1,i,，同时，力f,i-1,i,和-f,i-1,i,也会对重心C,i,产生力矩因而相对于重心C,i,的力矩平衡式为：,这里r,i-1,i,是从O,i-1,到O,i,的3,1位置矢量，而r,i,ci,表示从O,i,到C,i,的位置矢量力f,i-1,i,和力矩N,i-1,i,是相邻连杆i和i-1之间的耦合力和力矩当i=1时，耦合力f,0,1,和力矩N,0,1,和可解释为基座对手臂的作用力和力矩(见图4-2(a),当i=n时，耦合力和力矩为f,n,n+1,和N,n,n+1,，如图4-2(b)所示当抓具(即连杆n)与环境接触时，这个作用力和力矩的反作用力和力矩就作用于最后一个连杆。
为了方便，我们把环境考虑为附加的连杆n+1,而用-f,n,n+1,和N,n,n+1,分别表示连杆n+1对连杆n的作用力和力矩图4-3 基座和环境所施加的力和力矩,上述方程(4.1)和(4.2)适用于除基座外的全部连杆这样总的矢量方程个数为2n，而其中包含的耦合力和力矩是2(n+1)个因此，有两个耦合力和力矩必须给定，否则便不能解出该方程组末端的耦合力f,n,n+1,和耦合力矩N,n,n+1,是机械手对环境施加的力和力矩为了完成一定的作业，机械手必须施加一定的力和力矩因此，我们认为这个耦合力和力矩是给定的，从而可解出以上2n个方程为了方便，我们把f,n,n+1,和N,n,n+1,写成下面一个6维矢量,我们称F为末端力和力矩矢量，简称末端力4.3),4.2.2 等效关节力矩,对于由执行装置施加的力矩与引起的末端力之间的函数关系假定，每个关节由独立的执行装置驱动，执行装置在相邻连杆之间施加一个驱动力矩或者力，设 是驱动关节i的驱动力矩或力对于滑移关节，驱动力 是沿第i关节轴的方向（即i-1坐标系的z,i-1,轴方向），见图4-3假设关节的机械特性是光滑的，即没有摩擦，这样就可以把连杆i-1和连杆i之间的耦合力f,i-1,i,与关节力 联系起来，其关系为,（4.4）,这里b,i-1,表示指向关节轴i方向的单位矢量。
而a,T,b表示矢量a和b的内积方程(4.4)意味着执行装置承受的仅仅是f,i-1,i,沿关节轴方向的分量，而其它方向上的分量都是由关节结构承受，这些耦合力分量是内部的约束力，它们不做功对于旋转关节，表示驱动力矩这个驱动力矩与沿关节轴i方向的耦合力矩N,i-1,i,的分量平衡,其它的耦合力矩N,i-1,i,的分量由关节结构承受，它们是无功的约束力矩4.5,）,图4-4 滑移关节的耦合力和关节力,我们把全部关节力和关节力矩合在一起定义n维向量为,(,4.6,),我们称 为关节力矩或力的矢量，或简称关节力矩关节力矩表示执行装置对手臂连杆的输入力矩下面的定理给出了关节力矩 和末端力矢量F之间的关系定理 假设关节机械无摩擦，那么为产生任意的末端力F所需的关节力矩 为,这里J为6,n雅可比矩阵它联系着关节的微分位移dq和抓具的微分位移ds，即ds=J dq,在上述（4.7）式中，关节力矩中不包括重力矩或任何其它力矩它们是与末端力和力矩平衡的净力矩我们称方程（4.7）的 为与末端力F对应的等效力矩4.7）,4.3.1 柔顺坐标系的建立,为了便于描述柔顺运动的任务及对其进行控制，需要定义一种新的正交坐标系，我们称它为柔顺坐标系(compliance frame)，有时也称之为任务坐标系或作业坐标系(task frame)。
在该坐标系中，任务可以被描述成沿各个坐标轴的位置控制和力的控制对于其中的任何一个方向的自由度(沿三个正交轴的移动和绕三个轴的旋转),或者要求是力的控制，或者是位置的控制，不可能在同一个自由度既进行力的控制，又进行位置的控制，二者必居其一4.3 柔顺运动控制的基本概念和方法,(1)黑板上写字：这时柔顺坐标系的选择如图4-4所示.其中黑板平面即为柔顺坐标系的XcYc平面，Zc轴垂直于黑板平面,坐标原点Oc可以选为黑板上固定的某一点，这时柔顺坐标系相对基坐标是固定的也可以选Oc为粉笔与黑板的接触点，这时柔顺坐标系是时不变的，它与基坐标系及抓手坐标系均无固定的关系图4-4,黑板上写字,当机械手向黑板移动而尚未接触到黑板时，这时6个自由度均为位置控制由于这时机械手末端在空间是自由的，无任何反作用，因此无力的自由度当粉笔接触到黑板时，这时沿Zc轴方向朝黑板的进一步运动受到限制，也即该方向的位置的自由度没有了，而代之以力的自由度，也就是说这时可以控制沿Zc轴方向的压力如果粉笔被完全粘在黑板上,它既不能移动也不能转动，这时只有力和力矩的自由度，而无任何位置的自由度2)销钉插孔，如图4-5所示在例中，柔顺坐标系坐标系固定在销钉上，其原点在销钉轴上，Zc轴与销钉的中心轴相重合。
这里沿着Zc轴方向的移动及绕着Zc轴的转动需要位置控制，而其余的自由度均为力或力矩控制若抓手与销钉之间无相对运动，则柔顺坐标系与抓手坐标系的关系是固定的图4-5,销钉插孔,(3)拧螺钉：如图4-6所示这时柔顺坐标系固定在螺钉上，原点Oc在螺钉的轴线上，Zc轴与螺钉轴重合该柔顺坐标系与基坐标系及抓手坐标系均无固定的关系，而和被操作的物体具有固定的关系在该例中，绕Zc轴的转动及沿Yc方向的移动需要进行位置控制，而其余自由度均需进行力的控制图4-6,拧螺钉,(4)转动曲柄：如图4-7所示这时柔顺坐标系放置在曲柄的摇把上，Zc轴与摇把的轴重合，Xc轴指向曲柄的中心轴这时绕着Zc轴的旋转及沿Yc轴的移动需要进行位置控制，所有其它自由度均需进行力的控制在该例中，柔顺坐标系固定在曲柄上，因而相对基坐标系或抓手坐标系却是不固定的图4-7,转动曲柄,(5)关门：如图4-8所示这时柔顺坐标系的原点放在门的铰链轴上，Zc轴与铰链轴重合，Xc轴与门的法线方向一致，该坐标系随门的转动而转动这时除绕Zc轴的旋转需进行位置控制外，其余自由度均需进行力的控制图4-8,关门,通过以上例子可以看出，柔顺坐标系具有以下几个特点：,(1)柔顺坐标系是正交坐标系，利用它便于描述作业任务；,(2)一般来说，柔顺坐标系是时变的。
但根据作业任务的不同，它可以是下面几种情况的一种：,(a)柔顺坐标系相对基坐标系是固定的如在黑板上写字(图4-4)时将其固定在黑板上的情况；,(b)柔顺坐标系相对于机械手末端的工具是固定的如销钉插孔(图4-5)时将柔顺坐标系固定在销钉上；,(c)柔顺坐标系相对于被操作的物体是固定的如拧螺钉(图4-6)、转动曲柄(图4-7)及关门(图4-8)等情况；,(d)与任何预先定义的坐标系均无固定的关系如在黑板上写字(图4-4)时坐标原点随接触点移动的情况4.3.2 自然约束和人为约束,在建立柔顺坐标系时已经说到，柔顺坐标系的每个自由度或是位置控制，或是力控制，两者必居其一这说明，当某个自由度是位置的自由度时，它必然受到力的约束，因此只能对它进行位置的控制，而不能进行力的控制反之亦然这种位置和力的控制的对偶关系可以通过自然约束（natural constraints）和人为约束（artificial constraits）这两个术语来描述自然约束是由任务的几何结构所确定的约束关系人为约束则是根据任务的要求人为给定的期望的运动和力下面对前面已列举的5个例子给出具体的分析1）黑板上写字（图4-4）：由于黑板的存在，沿轴方向的位置受到限制，这是自然约束。
如果假定粉笔与黑板之间是无摩擦的，那么沿黑板切线方向的力必须为零，从而,f,z=0和,f,y=0也是两个自然约束绕三个轴也存在反抗力矩，因此mx=0、my=0和mz=0是另外三个自然约束认为约束包括沿xc、yc方向的期望的运动最后归纳得到如下的结果：,自然约束：,人为约束：,在上面的约束中，所以关于位置的约束均用速度来表示它比直接用位置表示更加明确，尤其是饶各个轴转动的情况更是如此对于每一个自由度来说，如果其位置是自然约束，那么力必然是人为约束：或者若力是自然约束，则相应的位置必然为人为约束因此，自然约束和人为约束的数目均等于柔顺坐标系的自由度数（一般为6）2）销钉插孔（图4-5）按照与上面相类似的分析，可以列出该例中的自然约束和人为约束为：,自然约束：,人为约束：,（3）拧螺钉（图4-6）,自然约束：,自然约束：,自然约束：,人为约束：,人为约束：,人为约束：,（4）转动曲柄（图4-7,）,（5）关门（图4-8）,4.3.3 被动柔顺和主动柔顺,为了能在黑板上用粉笔写字或将销钉插入孔中，可以在机械手末端安装包括有弹簧和阻尼的机械装置这样可以使机械手具有柔顺功能这样获得的柔顺功能称为被动柔顺（,passive compliance,）。
图4-9所示为一典型的被动柔顺装置，通常称它为RCC(,Remote,Center Compliance,)该装置可以使得销。