第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 第七七章 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量/二、空间直线的对称式方程二、空间直线的对称式方程 与参数方程与参数方程直线的对称式方程直线的对称式方程令令直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为方向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方向余弦.直线的参数式方程直线的参数式方程例例1求求经过经过两点的两点的直线方程直线方程解解因为直线过因为直线过两点两点因此可取因此可取作为直线的方向向量作为直线的方向向量由由点向式即得所求直线的方程为点向式即得所求直线的方程为直线的两点式方程直线的两点式方程例例2 2 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线解一解一用用点向式点向式在直线上任取一点在直线上任取一点取取解得解得点坐标点坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取对称式方程对称式方程参数方程参数方程令令得得解得解得点坐标点坐标所求直线方程为所求直线方程为参数方程参数方程解二解二用用两点式两点式已已求出一点求出一点再再求出一点求出一点两式相加得两式相加得代入方程组得代入方程组得即即对称式方程对称式方程解三解三由由解解所以交点为所以交点为取取所求直线方程所求直线方程由由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤：以上几例可见，求直线方程的思路、步骤：两定两定定点、定向定点、定向例例4求过点求过点A(1,2,2),且通过直线且通过直线 L的的平面方程。
平面方程解解设设所求平面的法向量为所求平面的法向量为由由题设知点题设知点为为直线直线L上一点上一点其其方向向量方向向量由于所求平面通过点由于所求平面通过点A及及L由由点法式得所求平面方程为点法式得所求平面方程为即即解解所给直线的参数方程为所给直线的参数方程为代入平面方程，得代入平面方程，得解得解得将将代入直线的参数方程，即得代入直线的参数方程，即得所求交点的坐标为所求交点的坐标为即即交点为交点为例例5求求直线直线与与平面平面的交点定义定义直线直线直线直线两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的夹角两直线的位置关系：两直线的位置关系：/直线直线直线直线例如，例如，解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为根据题意知根据题意知取取所求直线的方程所求直线的方程解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令代入平面方程得代入平面方程得 ,交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为例例 求过点 M0(3,3,0)且与直线 l1:垂直相交的直线 l 的方程.解解：M0M1 l1 设所求直线 l 与 l1 的交点为M1(x1,y1,z1).则 M0M1 s1=(1,1,2).令 t+t+22t 6=0.t=1,得(x1,y1,z1)=(1,1,2).故直线方程为定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：/解解为所求夹角为所求夹角五、平面束五、平面束设有直线设有直线考虑考虑其中其中因因不成比例不成比例故故不全不全为为 0从而从而表示一个平面表示一个平面若若一点一点在在上，上，满足满足 和和 的方程的方程则点则点的的坐标必同时坐标必同时则点则点的的坐标也满足坐标也满足因而因而表示过表示过 的平面的平面对于对于 的不同值的不同值表示过表示过 的所有平面的所有平面过过 的平面束的平面束一般在具体应用时，常取一般在具体应用时，常取而而考虑缺考虑缺 或或 的平面束的平面束例例9求求直线直线在在平面平面上的上的投影直线的方程投影直线的方程分析分析过过所给直线作一平面与已知平面垂直，所给直线作一平面与已知平面垂直，两平面的交线即为所求。
两平面的交线即为所求解解 过所给直线的过所给直线的平面束平面束方程为方程为即即这这平面与已知平面垂直的条件是平面与已知平面垂直的条件是所求平面方程为所求平面方程为这这就是过已知直线且垂直于平面就是过已知直线且垂直于平面的的平面的方程平面的方程它与它与已知平面已知平面 的交线：的交线：即为即为所求的投影直线的方程所求的投影直线的方程空间直线的一般方程空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角两直线的夹角.直线与平面的夹角直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）六、小结六、小结 作作 业业 P335 3，4，5，7，9。