一、参数曲线曲面概述,第七讲 计算机辅助几何设计,主要内容,二、参数曲线曲面基本知识,三、参数曲线,四、参数曲面,五、,CATIA,曲线曲面造型技术,一、参数曲线曲面概述第七讲 计算机辅助几何设计主要内容二,一、参数曲线曲面概述,如何表示象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必须解决的问题？,1963,年美国波音（,Boeing,）飞机公司的佛格森（,Ferguson,）最早引入参数三次曲线，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式第七讲 计算机辅助几何设计,概述,一、参数曲线曲面概述如何表示象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形,一、参数曲线曲面概述（续）,1964,年，美国麻省理工学院（,MIT,）的孔斯（,Coons,）用封闭曲线的四条边界定义一张曲面1964,年，舍恩伯格（,Schoenberg,）提出了参数样条曲线、曲面的形式1971,年，法国雷诺（,Renault,）汽车公司的贝塞尔（,Bezier,）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法第七讲 计算机辅助几何设计,概述,一、参数曲线曲面概述（续）1964年，美国麻省理工学院（MI,一、参数曲线曲面概述（续）,1974,年，美国通用汽车公司的戈登（,Gorden,）和里森费尔德（,Riesenfeld,）提出了,B,样条曲线和曲面。
1975,年，美国锡拉丘兹（,Syracuse,）大学的佛斯普里尔（,Versprill,）提出了有理,B,样条方法80,年代后期皮格尔（,Piegl,）和蒂勒（,Tiller,）将有理,B,样条发展成非均匀有理,B,样条方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术第七讲 计算机辅助几何设计,概述,一、参数曲线曲面概述（续）1974年，美国通用汽车公司的戈登,二、参数曲线曲面基本知识,曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示显式表示,一般形式是：,y,=,f,(,x,),说明：在此方程中，一个,x,值与一个,y,值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆第七讲 计算机辅助几何设计,基本知识,二、参数曲线曲面基本知识曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示,二、参数曲线曲面基本知识（续）,隐式表示,一般形式是：,f,(,x,，,y,)=0,说明：隐式表示的优点是易于判断函数,f(x,y),是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧显式表示和隐式表示为非参数化表示形式第七讲 计算机辅助几何设计,基本知识,二、参数曲线曲面基本知识（续）隐式表示显式表示和隐式表示为非,二、参数曲线曲面基本知识（续）,非参数表示形式的缺点,与坐标轴相关；,会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）；,不便于计算机编程。
第七讲 计算机辅助几何设计,基本知识,二、参数曲线曲面基本知识（续）非参数表示形式的缺点 与坐标轴,二、参数曲线曲面基本知识（续）,参数表示,曲线上任一点的坐标均表示成给定参数,t,的函数P,(,t,)=,x,(,t,),y,(,t,),z,(,t,),曲面上任一点的坐标均表示成给定参数,u,和,w,的函数P,(,t,)=,x,(u,，,w,),y,(u,，,w,),z,(u,，,w,),第七讲 计算机辅助几何设计,基本知识,二、参数曲线曲面基本知识（续）参数表示 曲线上任一点的坐标均,二、参数曲线曲面基本知识（续）,参数表示,端点为,P,0,、,P,1,的直线段参数方程可表示为：,P,(,t,)=,P,0+(,P,1-,P,0),t,t,0,1;,第七讲 计算机辅助几何设计,基本知识,P,0,P,1,t,=,t,0,t,=,t,1,二、参数曲线曲面基本知识（续）参数表示 端点为P0、P1的直,二、参数曲线曲面基本知识（续）,参数表示优越性,与坐标系无关；,有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状；,便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算；,坐标点各分量的表示是分离的；,规格化的参数变量,t,0,1,，使得界定曲线、曲面的范围十分简单；,易于用矢量和矩阵运算，从而大大简化了计算。
第七讲 计算机辅助几何设计,基本知识,！这里教材中有错,二、参数曲线曲面基本知识（续）参数表示优越性 与坐标系无关；,二、参数曲线曲面基本知识（续）,构造曲线曲面的方法,插值,给定一组有序的数据点,Pi,，,i,=0,1,n,，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线逼近,构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线拟合,插值和逼近则统称为拟合第七讲 计算机辅助几何设计,基本知识,二、参数曲线曲面基本知识（续）构造曲线曲面的方法 插值 逼近,三、参数曲线,参数曲线的代数和几何形式,以三次参数曲线为例，讨论参数曲线的代数和几何形式代数形式,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线参数曲线的代数和几何形式 以三次参数曲线为例，讨,三、参数曲线,参数曲线的代数和几何形式,几何形式,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线参数曲线的代数和几何形式 几何形式 第七讲,三、参数曲线,参数曲线的代数和几何形式,几何形式（续）,令,:,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线参数曲线的代数和几何形式 几何形式（续）令:,三、参数曲线,参数曲线的代数和几何形式,几何形式（续）,令,:,对于,则,:,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线参数曲线的代数和几何形式 几何形式（续）令:,三、参数曲线,参数曲线的代数和几何形式,几何形式（续）,令,:,对于,则,:,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线参数曲线的代数和几何形式 几何形式（续）令:,三、参数曲线,参数曲线的代数和几何形式,几何形式（续）,得,:,由,记为,:,所以,:,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线参数曲线的代数和几何形式 几何形式（续）得:,三、参数曲线,四点式曲线,已知四点,:,求,:,过四点曲线的几何和代数形式,令,因为,所以,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,解,:,三、参数曲线四点式曲线已知四点:求:过四点曲线的几何,三、参数曲线,四点式曲线,几何表达式,代数表达式,作业：,u,等距分布式，求几何和代数表达式,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线四点式曲线几何表达式 代数表达式 作业：u等距分,三、参数曲线,贝赛尔,Bezier,曲线,由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满足用户的需求。
1962,年，法国雷诺汽车公司的,P.E.Bezier,构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法背景,定义,用一组折线集定义，第一个点和最后一个点在曲线上，且第一条折线和最后一条折线是曲线在起点和终点的切线，曲线形状趋于折线集得形状第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线贝赛尔Bezier曲线 由于几何外形设计,三、参数曲线,贝赛尔,Bezier,曲线（续）,表达式,其中,称为伯恩斯坦,(Bernstain),基函数第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,！此公式教材中有错,三、参数曲线贝赛尔Bezier曲线（续）表达式 其中称为伯,三、参数曲线,贝赛尔,Bezier,曲线（续）,讨论,那么,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线贝赛尔Bezier曲线（续）讨论 那么第七讲,三、参数曲线,贝赛尔,Bezier,曲线（续）,讨论,于是：,于是：,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线贝赛尔Bezier曲线（续）讨论 于是：于是：,三、参数曲线,贝赛尔,Bezier,曲线（续）,讨论,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线贝赛尔Bezier曲线（续）讨论 第七讲,三、参数曲线,贝赛尔,Bezier,曲线（续）,低阶,Bezier,曲线,n,1,时：,表示连接,P,0,和,P,1,得直线段,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线贝赛尔Bezier曲线（续）低阶Bezier曲线,三、参数曲线,贝赛尔,Bezier,曲线（续）,低阶,Bezier,曲线,n,2,时：,写成矩阵的形式为：,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线贝赛尔Bezier曲线（续）低阶Bezier曲线,三、参数曲线,贝赛尔,Bezier,曲线（续）,低阶,Bezier,曲线,n,3,时：,写成矩阵的形式为：,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线贝赛尔Bezier曲线（续）低阶Bezier曲线,三、参数曲线,贝赛尔,Bezier,曲线（续）,Bezier,曲线特点,过特征多边形得起点和终点；,第一条折线和最后一条折线是曲线在起点和终点得切线；,起点的二阶导数由前三点确定，某一点的底,r,阶导数由该点相邻的,r,点确定；,调和函数具有对称性；,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线贝赛尔Bezier曲线（续）Bezier曲线特点,三、参数曲线,贝赛尔,Bezier,曲线（续）,Bezier,曲线的局限性,不能作局部修改，改变某一控制点对整个曲线都有影响；,特征多边形边数较多时，多边形对曲线的控制减弱；,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线贝赛尔Bezier曲线（续）Bezier曲线的局,三、参数曲线,B,样条曲线,B,样条曲线的一般表达式,已知控制顶点和一组基函数，定义,B,样条曲线为：,式中：,称为,n,次,B,样条基函数。
第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线B样条曲线B样条曲线的一般表达式 已知控制,三、参数曲线,B,样条曲线（续）,二次,B,样条曲线,式中：,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线B样条曲线（续）二次B样条曲线式中：第七讲,三、参数曲线,B,样条曲线（续）,二次,B,样条曲线矩阵形式,二次,B,样条可以写成如下形式：,可以得到：,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,！这里教材中有错,三、参数曲线B样条曲线（续）二次B样条曲线矩阵形式 二次B,三、参数曲线,B,样条曲线（续）,三次,B,样条曲线,可以得到：,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线B样条曲线（续）三次B样条曲线可以得到：第七讲,三、参数曲线,B,样条曲线（续）,设已知型值点列,Q,i,(i=1,2,n-1),要求一条三次,B,样条曲线经过这些点,求出这条曲线的控制顶点,P,i,(i=0,1,n).,由曲线的端点性质可得下列线性方程组,:,P,i-1,+4P,i,+P,i+1,=6Q,i,(i=1,2,n-1),再补充两个边界条件可得唯一解如,已知,Q,1,和,Q,i-1,处的切矢,三次,B,样条曲线的反算,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线B样条曲线（续）设已知型值点列Qi(i=1,2,三、参数曲线,B,样条曲线（续）,把它们写成矩阵形式为,三次,B,样条曲线的反算,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线B样条曲线（续）把它们写成矩阵形式为三次B样条曲,三、参数曲线,非均匀有理,B,样条（,NURBS,）曲线,NURBS,曲线的定义:,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,！这里教材中有错,三、参数曲线非均匀有理B样条（NURBS）曲线NURBS曲线,0,1,1,u,w,(,u,w,),四、参数曲面,参数曲面的概念,P(u,w)=,x,(,u,w,),y,(,u,w,),z,(,u,w,),0=,u,w,=1,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲面,011uw(u,w)四、参数曲面参数曲面的概念P(u,w)=,四、参数曲面,参数曲面的概念,u,和,w,向切矢：,四个角点的,u,向和,w,向切矢为：,P,u,(0,0),、,P,u,(1,0),、,P,u,(0,1),、,P,u,(1,1),、,P,w,(0,0),、,P,w,(1,0),、,P。