单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三节 反函数、复合函数、隐函数的导数,一,.,反函数的导数,定理,3.5,设函数,y=f,(,x,),在点,x,处有不等于零,的导数,并且其反函数,在相应,点处连续,则,存在,并且,或,证明,当函数,y=f,(,x,),的反函数,的自变量的改边量,时,相应的,因变量的改边量,否则,时,由,y=f,(,x,),是一一对应函数 可得,即,与,矛盾,从而,因,故,或,例,1,求指数函数,的导数,.,解,的反函数为,特别地,例,2,求,的导数,.,解,的反函数为,例,3,求,的导数,.,解,基本求导公式,二,.,复合函数的导数,定理,3.6,如果,在点,处有导数,在对应点,处有导数,则复合函数,在点,处的导数也存在,而且,或,证明,即,当,有改变量,时,有相应地改变量,若,则,可以证明,时结论仍成立,例,4,求,的导数,.,解,令,则,解,例,5,求,的导数,.,解,令,则,解,如,例,8,求,的导数,.,解,故,例,6,求,的导数,.,解,三,.,抽象复合函数的导数,例,7,求,的导数,.,解,例,9,已知,可导,求,解,四,.,分段函数的导数,例,10,已知函数,求,解,因,不存在,故,分段函数求导函数时注意,(1),每一段内求导用法则求,(2),分段点处求导用定义求,.,五,.,隐函数的导数,例,11,求由方程,所确定的隐函数,的导数,.,解,方程两边对,x,同时求导,得,即,例,12,求由方程,所确定的隐函数,的导数,.,解,方程两边对,x,同时求导,得,故,例,13,求由方程,所确定的,的导数,.,解,上式两边对,x,同时求导,:,即,隐函数,原方程可化为,:,例,14,求曲线,上点,(2,2),处的,的切线方程,.,解,方程两边对,x,同时求导,得,故,所以切线方程为,即,例,15,设球半径,R,以,2,厘米,/,秒等速度增加,求当球半径,R=,10,厘米时,其体积,V,增加的速度,.,解,例,16,求椭圆,上点,处的,切线方程,.,解,方程两边对,x,同时求导,得,故,当,时,所求切线方程为,即,即,当,时,对应的点为,:,对应切线方程为,它们都满足,:,故,上任一点,处的,切线方程为,:,例,17,设,求,例,17,设,求,解,将等式两边取对数,方程两边作为,x,的函数同时求导,六,.,对数求导法,例,18,设,求,解,将,两边取对数,方程两边作为,x,的函数同时求导,例,19,设,求,解,将等式两边取对数,方程两边作为,x,的函数同时求导,故,练习,1.,设,求,2.,已知,求,3.,设,其中,在,处连续,在,处可导,求,4.,设,在任意的,处满足,且,求,1.,设,求,解,2.,已知,求,解,3.,设,其中,在,处连续,在,处可导,求,解,在,处可导,由,可得,故,4.,设,在任意的,处满足,且,求,解,由,可得,所以,38,可编辑,感谢下载,。