考研数学冲刺模拟卷(数学二）答案与解析一、选择题：1~８小题，每题4分，共3２分，下列每题给出的四个选项中,只有一项符合题目规定的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．（１)若函数在处持续,则( ）(A）ﻩ ﻩ(B)ﻩﻩﻩﻩ(C)ﻩﻩﻩﻩ（D)【答案】Ａ．【解析】在处持续选A．(２)设二阶可导函数满足且,则( ）(A) （Ｂ) (C) (D）【答案】A.【解析】为偶函数时满足题设条件，此时,排除Ｃ,D.取满足条件，则,选A.（3）设数列收敛，则( )(A)当时, (B）当时,（C)当时, (D)当时,【答案】D．【解析】特值法：(A）取,有，A错;取,排除B,C.因此选D.(4）微分方程的特解可设为（ )(Ａ) (B）(C） （D）【答案】C.【解析】特性方程为:，由于，故,选C．(５)设具有一阶偏导数，且对任意的,均有，则（A） （B) (C） (Ｄ)【答案】C.【解析】是有关的单调递减函数,是有关的单调递增函数,因此有,故答案选C.（6）甲乙两人赛跑,计时开始时，甲在乙前方1０（单位:ｍ)处，图中实线表达甲的速度曲线(单位:),虚线表达乙的速度曲线,三块阴影部分面积的数值依次为１０，2０,3,计时开始后乙超过上甲的时刻记为(单位:ｓ),则( ）(A) ﻩﻩ (B） ﻩﻩ(C) ﻩ (Ｄ)【答案】Ｄ.【解析】从０到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要超过甲，则,当时满足,故选D．(7)设为阶矩阵,且,则下列结论对的的是(A)的任意阶子式都不等于零 (B)的任意个列向量线性无关(C)方程组一定有无穷多解 (D）矩阵通过初等行变换可化为【答案】Ｃ． 【解析】对于选项C,因此选项C对的, 对于选项Ａ和B，r（A)=m,由秩的定义可得，存在一种m阶行列式不为零，从而m阶行列式所在的列向量组线性无关,因此选项A和B不对的对于选项Ｄ,矩阵通过初等行变换和列变换才可化为,因此选项D不对的(8)设， ，其中为任意实数,则（Ａ)必线性有关 (Ｂ)必线性无关（C）必线性有关 (D）必线性无关【答案】Ｄ. 【解析】因此,从而选项Ａ和B均不对的,从而选项C不对的运用排除法可得对的答案为Ｄ对于选项D,,从而可得,因此必线性无关二、填空题：９-14小题，每题4分,共2４分,请将答案写在答题纸指定位置上．(９) 曲线的斜渐近线方程为_____＿_【答案】【解析】 （10) 设函数由参数方程拟定,则___＿＿＿【答案】【解析】 (11） ___＿___【答案】－１【解析】（１2） 设函数具有一阶持续偏导数,且，,则.【答案】.【解析】故,因此,即，再由,可得(１3)已知，则．【答案】.【解析】互换积分顺序:．（14)设为四维非零的正交向量，且，则的所有特性值为 ．【答案】0,0,0,０ 【解析】设矩阵的特性值为,则的特性值为由为四维非零的正交向量从而因此的特性值的特性值为因此4阶矩阵的4个特性值均为0.三、解答题:15—23小题,共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节.（１５)（本题满分1０分）求极限【答案】．【解析】,令，则有(１６)(本题满分１0分)设函数在内具有二阶导数,且满足等式,若求函数的体现式．【解析】(I)由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了同理 代入,得 ,即 .则相应的特性方程为,,故.由得,即(17)(本题满分10分)求【答案】．【解析】原式＝.(18）(本题满分10分）设函数持续，且.已知，求的值.【解析】令，则,因此代入得 将等式两边对求导得 化简得 令得，，化简得（1９)（本题满分１0分）设是区间上的任一非负持续函数,在区间内可导,且试证明在内，存在唯一实根.【解析】（1）要证，使;令,要证，使．可以对的原函数使用罗尔定理：，又由在持续在持续，在持续,在可导.根据罗尔定理，，使．(2) 由,知在内单调增,故(1)中的是唯一的.（２0）（本题满分1１分）已知平面区域计算二重积分。
答案】．【解析】(21)(本题满分１1分)设是区间内的可导函数,且，点是曲线L: 上任意一点，L在点P处的切线与ｘ轴相交于点,法线与y轴相交于点，若，求Ｌ上点的坐标满足的方程答案】【解析】设的切线为，令得，法线，令得由得,即令,则,按照齐次微分方程的解法不难解出，故.(22)(本题满分１1分)设均为四维列向量，,非齐次线性方程组的通解为(Ⅰ)求方程组的通解；（Ⅱ)求方程组的通解.【解析】(Ⅰ)由 的通解为可得，即因此可由线性表出,可由线性表出即可由线性表出从而因此方程组只有唯一解②+2①得因此程组的唯一解为;由(Ⅰ）可得可由线性表出， 可由线性表出从而因此因此齐次线性方程组的基本解系中有2个线性无关的解向量，非齐次线性房出租有无穷多解由（Ⅰ)中的即且线性无关因此的基本解系为由可得的一种特解为因此的通解为：．(2３)（本题满分11分)设二次型的矩阵合同于．(Ⅰ）求常数;（Ⅱ)用正交变换法化二次型为原则形.【解析】（Ⅰ）此二次型相应的实对称矩阵由于实对称矩阵与合同因此而,解得 (Ⅱ） 解得矩阵的特性值为当时，解齐次线性方程组解得相应的一种线性无关的特性向量为当时，解解齐次线性方程组解得相应的一种线性无关的特性向量为当时,解解齐次线性方程组解得相应的一种线性无关的特性向量为由于矩阵有三个不同的特性值,因此三个特性值相应的特性向量均正交将单位化得从而正交变换矩阵在正交变换,使得．。