第十五章 圆锥曲线15.1曲线和方程基础练习1．如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确，那么以下正确的命题是（ ）．（A）曲线上的点的坐标都满足方程（B）坐标满足方程的点有些在上，有些不在上（C）坐标满足方程的点都不在曲线上（D）一定有不在曲线上的点，其坐标满足方程解：原命题不正确说明坐标满足方程的点不都在曲线上，故正确．2．若曲线与有两个公共点，求实数的取值范围．解：数形结合法，可得：．3．判断并画出方程所表示的曲线．解：由原方程可得，即方程的曲线是两条射线，如解析图所示．4．若曲线与直线恰有三个公共点，则的值为__________．解：数形结合，可知：无解．5．过（2，4）点作两条互相垂直的直线，，若交轴于，交轴于，求线段中点的轨迹方程．解：设的方程为，则的方程为（若两直线的斜率均存在），则，．由中点坐标公式知，的坐标为．所以的轨迹方程为．若两直线有一条无斜率，则的坐标为（1，2）．所以的轨迹方程为．能力提高6．如题6解析图，已知两点以及一直线，设长为的线段在直线上移动．求直线和的交点的轨迹方程．解：由于、在直线，且线段长为，设，.则方程为，方程为．联立两方程得．所以的轨迹方程为．7．如题7解析图，的两条直角边长分别为和，与两点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上滑动，求直角顶点的轨迹方程．解：设点的坐标为，连接，由，所以、、、四点共圆．从而．由，，有，即．注意到方程表示的是过原点、斜率为的一条直线，而题目中的与均在两坐标轴的正半轴上滑动，由于、为常数，故点的轨迹不会是一条直线，而是直线的一部分．我们可考查与两点在坐标轴上的极端位置，确定点坐标的范围．如图，当点与原点重合时，，所以．如图，当点与原点重合时，点的横坐标．由射影定理，，即，有．由已知，所以．故点的轨迹方程为：．8．已知常数，在矩形中，，，为的中点，点、、分别在、、上移动，且，为与的交点（如解析图）．求点的轨迹方程．解：根据题设条件可知，点的轨迹即直线与的交点．据题意有，，，．设，，由此有，，直线的方程为， ①直线的方程为． ②从①②消去参数，得点的轨迹方程是：．1 5.2 圆的方程基础练习1．求过两点（1，4）、（3，2）且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点（2，4）与圆的关系．解：圆心坐标为中垂线与直线的交点，半径为圆心到的距离，继而得，计算点到圆心的距离为5，圆半径为，其大于半径，故点在圆外．2．圆上到直线的距离为的点共几个．解：圆方程为，圆心坐标（，），其到直线的距离为，又圆的半径为，故圆上到直线距离为的点有3个．3．自点发出的光线射到轴上，被轴反射，反射光线所在的直线与圆相切.（1）求光线和反射光线所在的直线方程．（2）光线自到切点所经过的路程多长？解：（1）根据对称性可知，入射光线与圆关于轴对称的圆相切．设入射光线的方程为，则，．所以入射光所在直线方程为或．根据对称性可知，反射光线是通过点关于轴对称的点与圆相切的直线．设入射光线的方程为，则，．所以反射光线所在的直线的方程为或．（2）根据对称性可知，光线自到切点所经过的路程等于点与圆相切的切线的长度，即答案为．4．求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．解：依题意，所求圆与直线相切且半径为4，则圆心的坐标为或，又已知圆的圆心坐标为，半径，若两圆相切，则或．（1）当圆心为时，有，解得，或，无解．故所求圆的方程为或．（2）当圆心为时，有，解得，或，无解．故所求的圆的方程为或．综合（1）（2）可知所求圆的方程为或或或．5．求经过点（0，5），且与直线和都相切的圆的方程．解：设圆心坐标为，半径为，则，解得：或，所以圆的方程为：或．6．设点是圆上的任一点，求的取值范围．解：由得：，此直线与圆有公共点，故点到直线的距离．解得：．能力提高7．在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程．（2）圆与轴相交于，两点，圆内的动点使，，成等比数列，求的取值范围．解：（1）点到直线的距离为，故圆方程为．（2），设，故为．因点在圆内，所以，得．8．矩形的两条对角线相交于点（2，0），边所在直线的方程为，点（1，1）在边所在直线上．（1）求边所在直线的方程．（2）求矩形外接圆的方程．（3）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．解：（1）因为，因为，又过．故直线方程为．（2）由题知，点坐标为，圆心为点（2，0），所以矩形外接圆的方程为．（3）由题知，，由双曲线的定义知：．9．在平面直角坐标系中，给定两点和，点在轴上移动，当取最大值时，试求点的横坐标．解：经过，两点的圆的圆心在线段的垂直平分线，设圆心为，则圆的方程为：．对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当取最大值时，经过，，三点的圆必与轴相切于点，即圆的方程中的值必须满足，解得或．即对应的切点分别为（1，0）和，而过点，，的圆的半径大于过点，，的圆的半径，所以，故点（1，0）为所求，所以点的横坐标为l．10．已知，是轴上的动点，，分别切于，两点．（1）如果，求直线的方程．（2）求动弦的中点的轨迹方程．解：（1）如解析图所示，由，可得．由射影定理，得，得，在中，，故或，所以直线方程是或．（2）连接，．设，，由点，，在一直线上，得由射影定理得， ①即 ②在①及②中消去，并注意到，可得．11．在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切，且动圆与轴相切，求：（1）动圆的圆心轨迹方程．（2）若直线与曲线有且仅有一个公共点，求，之值．解：（1）由可得，由，，以及两圆在轴同侧，可知动圆圆心在轴上方，设动圆圆心坐标为，则有，整理得到动圆圆心轨迹方程．（2）联立方程组 ① ②消去得，由，整理得 ③从③可知．故令，代入③可得，．再令，代入上式得．同理可得，．可令，，代入③可得 ④对④进行配方，得，对此式进行奇偶分析，可知，均为偶数．所以为8的倍数，令，则．所以0，1，2，3，4，5，6．仅当时，为完全平方数。
于是解得．15.3椭圆的标准方程和性质基础练习1．设是椭圆上异于长轴端点的任意一点，、分别是其左、右焦点，为中心，求的值．解：设的坐标由焦半径公式．2．设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，求的面积．解：，则为直角三角形，故的面积为4．3．已知椭圆的左右焦点分别为与，点在直线上．当取最大值时，求的值．解：由平面几何知，要使最大，则过，，三点的圆必定和直线相切于点．设直线交轴于，则，即， 即 ①又由圆幂定理， ②而，，从而有．代入①②．4．已知椭圆，长轴的两个端点为、，若椭圆上存在点，使，求该椭圆的离心率的取值范围．解：，，将代入，得，解得．5．等腰直角中，斜边，一个椭圆以为其焦点，另一个焦点在线段上，且椭圆经过，两点，求该椭圆的标准方程．解：由题可知，椭圆的另一焦点与点的连线平分三角形的周长，三角形的周长为．所以椭圆的半长轴长为，同时解得长为，所以椭圆方程为．6．椭圆的右焦点为，，，…，，为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中是椭圆的右顶点，并且…．若这24个点到右准线的距离的倒数和为，求的值．解：椭圆中，，，故．所以．设与轴正向的夹角为，为点到右准线的距离．则．即．同理．所以．从而，于是．7．过椭圆上任一点，作椭圆的右准线的垂线（为垂足），延长到点，使．当点在椭圆上运动时，求点的轨迹的离心率的取值范围．解：设，，因为右准线方程为，所以点的坐标为．又由于，所以，所以由定比分点公式，可得：，代入椭圆方程，得点轨迹为，所以离心率．8．设椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为，求．解：记内切圆在，，上的三个切点为，，则，，．则，，，．能力提高9．设椭圆的方程为，线段是过左焦点且不与轴垂直的焦点弦．若在左准线上存在点，使为正三角形，求椭圆的离心率的取值范围，并用表示直线的斜率．解：如下页解析图，设线段的中点为．过点、、分别作准线的垂线，垂足分别为、、，则． 假设存在点，则，且，即，所以．于是，．则．若（如解析图）则．当时，过点作斜率为的焦点弦，它的中垂线交左准线于，由上述运算知，．故为正三角形．若，则由对称性得．又，所以，椭圆的离心率的取值范围是，直线的斜率为．10．如图15—16，已知，，是长轴为4的椭圆上三点，点是长轴的一个顶点，过椭圆中心，且，．（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程．（2）如果椭圆上两点，使直线，与轴围成底边在轴上的等腰三角形，是否总存在实数，使？请给出证明．解：（1）以为原点，所在的直线为轴建立如解析图直角坐标系，则（2，0），椭圆方程可设为．如解析图所示，为椭圆中心，南对称性知又．则，又，所以，则为等腰直角三角形，所以点坐标为（1，1）．将（1，1）代入椭圆方程得．则椭圆方程为．（2）由直线、与轴围成底边在轴上的等腰三角形，设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，直线的方程为．由椭圆方程与直线的方程联立，消去得 ①因为（1，1）在椭圆上，所以是方程①的一个根，于是．同理，．这样，，又，所以，即．所以，存在实数使．11．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图1 5—1 7．航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为（8，0）．观测点（4，0）、（6，0）同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程．（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令．解：（1）设曲线方程为，由题意可知，．则．则曲线方程为．（2）设变轨点为，根据题意可知得，即或（不合题意，舍去）．则．得或（不合题意，舍去）．则点的坐标为（6，4），．即当观测点、测得、距离分别为、时，应向航天器发出指令．12．如图15—18，为椭圆上的一个动点，弦、分别过焦点、．当垂直于轴时，恰好．（1）求该椭圆的离心率．（2）设，，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）当垂直于轴时，，由，得．在中，，解得．（2）由，则．焦点坐标为，，则椭圆方程为，化简有．设，，．①若直线斜率存在，则直线方程为，代入椭圆—方程有．由韦达定理得，则．所以，同理可得．故．②若直线轴，，，．则．综上所述：是定值6．1 5.4 双曲线的标准方程和性质基础练习1．已知点为双曲线的左顶点，点和点在双曲线的右分支上，是等边三角形，则的面积是（ ）．（A） （B） （C） （D）解：设点和点，则，因为点和点在双曲线的右分支上，所以，．所以直线方程为，联立，得，故选．2．已知一条直线与双曲线的两支分别相交于、两点，为原点，当时，求双曲线的中心到直线的距离．解：设，则，则①+②得．记到的距离为，则，则．3．方程表示的曲线是（ ）．（A）焦点在轴上的椭圆（B）焦点在轴上的双曲线（C）焦点在轴上的椭圆（D）焦点在轴上的双曲线解：，，，所以选．4．如图15—25，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为．延长交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，试判断与的大小关系，并予以证明．解：记双曲线右焦点为，连接，则．．又由于，则，则，．（利用双曲线的定义）5．已知双曲线，抛物线的顶点在原点，的焦点是的左焦点．（1）求证：，总有两个不同的交点．（2）问：是否存在过的焦点的弦，使的面积有最大值或最小值？若存在，求直线的方程与的最值，若不存在，说明理由．解：（1），所以，总有两个不同的交点．（2），存在过的直线使面积有最小值．6．在正中，、分别是、的中点，试求以、为焦点且过点、的双曲线的离心率．解：．能力提高7．已知曲线，，为正常数．直线与曲线的实轴不垂直，且依次交直线、曲线、直线于、、、四个点，为坐标原点．若，求证：的面积为定值．解：设直线代入得．得．设，，则有．设，，易得，．由得．故．代入得．整理得：．又．则为定值．8．过双曲线的右焦点作轴，交双曲线于，两点，与左焦点连线交双曲线于点，联结交轴于点．求证：的横坐标为定值．证明：设点，，的坐标分别为，，，则，，的坐标分别为，，，因为，分别是直线，与轴的交点，所以 ①所以．由①得，代入上式得，即（定值）．9．已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．（1）求动点的轨迹方程．（2）若已知（0，3），、在动点的轨迹上且，求实数的取值范围．解：（1）由题意．设，由余弦定理，得．又，当且仅当时，取最大值，此时取最小值，令，解得．由于，则，故所求的轨迹方程为．（2）设，，则由，可得，故，．由于，在动点的轨迹上，则且，消去可得，解得．又，，解得．故实数的取值范围是．10．在双曲线的一支上有三个点、、与焦点（0，5）的距离成等差数列．（1）求．（2）求证线段的垂直平分线经过某个定点，并求出定点的坐标．解：（1）双曲线方程可以化为：，由题意可知，，三点在双曲线的一支上，即得由于，，成等差数列由于，则，得．（2）设的中点坐标，由于，在双曲线上，故，两式相减得：，整理得：，则中垂线斜率为，则的中垂线方程为：，即，则当时，即的中垂线经过定点．11．直线与双曲线的左支相交于，两点，设过点和中点的直线在轴上的截距为，求的取值范围．解：由得．令，直线与双曲线左支交于两点，等价于方程在上有两个不等实根．因此．解得，又中点为，则直线的方程为，令，得，由于，则．则故的取值范围是．12．已知双曲线的两条渐近线过坐标原点，且与以为圆心，为半径的圆相切，双曲线的一个顶点和关于直线对称，设直线过点，斜率为．（1）求双曲线的方程．（2）当时，在双曲线的上支求点，使其与直线的距离为．（3）当时，若双曲线的上支上有且只有一个点到直线的距离为，求斜率的值及相应的点的坐标．解：（1）由已知得双曲线的渐近线为．因而为等轴双曲线，其中一个顶点为，所以双曲线的方程为．（2）若是双曲线的上支上到直线的距离为的点，则，解得，．故点坐标为．（3）因为当时，双曲线的上支在直线的上方，所以点在直线的上方．设直线与直线平行，两线间的距离为，直线在直线的上方，双曲线的上支上有且只有一个点到直线的距离为，等价于直线与双曲线的上支有且只有一个公共点．设的方程是，由上的点到距离为，可知，解得，其中舍去．由方程及，消去得，．由于，则．令．由于，解得，．当时，，解得，，则点的坐标为．当时，，解得，，而，则点的坐标为．1 5.5 抛物线的标准方程和性质基础练习1．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，若此直线与抛物线交于，两点，弦的中垂线与轴交于点，求线段的长．解：易知此抛物线焦点与坐标原点重合，故直线的方程为，因此，，两点的横坐标满足方程，由此求得中点的横坐标，纵坐标进而求得其中垂线方程为，令，得点的横坐标，即．2．抛物线顶点在原点，对称轴为轴，焦点在直线上，求此抛物线的方程．解：焦点为（4，0），则抛物线方程为．3．已知抛物线，是坐标原点，为轴上一动点，过作直线交于，两点，设，求的最小值．解：．．设方程为，设，点坐标分别为，，联立得：．．则的最小值为．4．正方形的两顶点，在抛物线上，，两点在直线上，求正方形的边长．解：设，两点坐标分别为、，显然．由于，则，即．一方面，，则 ①另一方面，，则 ②将①代入②，得，即．故或．5．如图15—30，抛物线顶点在原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，且斜率为2，直线交抛物线与圆依次为、、、四点，求的值．解：由圆的方程，即可知，圆心为（2，0），半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为（2，0），设抛物线方程为，．由于为已知圆的直径，则，则．设、，由于，而、在抛物线上，由已知可知，直线方程为，于是，由方程组消去，得，则．则，因此，．能力提高6．已知，为抛物线上异于原点的两点，，点坐标为．（1）求证：，，三点共线．（2）若且，试求点的轨迹方程．解:（1）证明：设，，由得，则，又由于，，且，则，即，，三点共线．（2）由（1）知直线过定点，又由及知，垂足为，所以点的轨迹为以为直径的圆，除去坐标原点．即点的轨迹方程为．7．已知为抛物线的焦点，点的坐标为（4，0），过点作斜率为，的直线与抛物线交于，两点，延长，交抛物线于，两点，设直线的斜率为．（1）求的值．（2）求直线与直线夹角的取值范围．解：（1）由条件知，设、、、，不妨设．直线的方程为，与联立得．所以．①当时，则，故，即．直线的方程为，从而；直线的方程为：，与联立得，得，，即．于是，．所以．②当时，直线方程为与抛物线方程．联立得，又由，化简上述方程得．此方程有一根为，所以另一根，．即，同理，．所以，，即．由①、②可知．（2）故．所以，直线与直线夹角的取值范围是．8．如图15—31，已知与轴的交点．如果．试求函数的值域．解：设，不妨设，则的方程是取得：，因，所以，，，．因，所以．当时，，所以，．因在区间上是减函数，所以，．即函数的值域为．9．已知动点到定点（1，0）的距离比到定直线的距离小．（1）求证：点轨迹为抛物线，并求出其轨迹方程．（2）大家知道，过圆上任意一点，任意作相互垂直的弦，，则弦必过圆心（定点），受此启发，研究下面的问题：①过（1）中的抛物线的顶点任作相互垂直的弦，，则弦是否经过一个定点？若经过定点（设为），请求出点的坐标，否则说明理由．②研究：对于抛物线上顶点以外的定点是否也有这样的性质？请提出一个一般的结论，并予以证明．解：（1）到定点（1，0）的距离等于到定直线的距离，则轨迹为抛物线；轨迹方程为．（2）①设．由得，同理．因此，方程为．即，令，得．则直线必过定点（4，0）．②设点为上一定点，则．过作互相垂直的弦，，设，，则，．则，则．化简得，即 ①假设过定点，则有，即化简得 ②比较①②得，，则过定点．10．已知抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5．（1）求抛物线的方程．（2）设直线与抛物线交于两点，，且，是弦的中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，得到；再分别过弦、的中点作平行于轴的直线依次交抛物线于点，，得到和；按此方法继续下去（见图15—32）．解决下列问题：①求证：．②计算的面积．③根据的面积的计算结果，写出，的面积；请设计一种求抛物与线段所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．解：（1）由抛物线定义，抛物线，上点到焦点的距离等于它到准线的距离，得，，所以抛物线的方程为．（2）由，得（或），当，即且时，．①由即，得，所以．②由①知，中点的坐标为，点，．③由问题②知，的面积值仅与有关，由于，所以与的面积．设．由题设当中构造三角形的方法，可以将抛物线与线段所围成的封闭图形的面积看成无穷多个三角形的面积的和，即数列的无穷项和，所以……，即……，因此，所求封闭图形的面积为．15.6直线与圆锥曲线的位置关系基础练习1．若，，成等差数列，则直线被椭圆截得线段的中点的轨迹方程为__________．解：由知过定点．又点在椭圆，所以为所截线段的一个端点，设另一个端点为，线段的中点为，则，即，因为点在椭圆上，所以．故得中点的轨迹方程为：．2．过原点引抛物线的切线，当变化时，两个切点分别在抛物线（ ）上．（A） （B）（C）， （D），解：设切线方程为（显然直线的斜率存在）．联立，得．由于切线与抛物线有且仅有一个交点，所以上述方程．所以或．分别代入方程中可得切点坐标为或．所以两个切点分别在抛物线，上．故正确选项为．3．若在抛物线的上方可作一个半径为的圆与抛物线相切于原点，且该圆与抛物线没有别的公共点，求的最大值．解：，，．4．在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．（1）求的取值范围．（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．解：（1）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得．整理得 ①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或．即是的取值范围为．（2）设，，则，由方程① ． ②又 ． ③而，，．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（1）知或，故没有符合题意的常数．5．若抛物线上存在关于直线成轴对称的两点，试求的取值范围．解：抛物线的顶点为，对称轴为轴，存在关于直线对称两点的条件是存在一对点，，满足且相减得，因为不在直线上，所以，所以，即．所以．此方程有不等实根，所以，求得，即为所求．6．若直线与椭圆相交．（1）求的范围．（2）当截得弦长最大时，求的值．解：联立．（1）．（2），显然当时，最大．能力提高7．设双曲线与直线相交于两个不同的点，．（1）求双曲线的离心率的取值范围．（2）设直线与轴的交点为，且．求的值．解：（1）由与相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解．消去并整理得．①且．双曲线的离心率．且，则．离心率的取值范围为．（2）设由于，则．由于，都是方程①的根，且，，．消去得．8．过椭圆上一动点引圆的两条切线、，、为切点，直线与轴，轴分别交于、两点（如图15—38）．（1）已知点坐标为且，试求直线的方程．（2）若椭圆的短轴长为8，且，求椭圆的方程．（3）椭圆上是否存在点，由向圆所引的两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由．解：（1）设，切线，．由于点在切线，上，，，则直线的方程为．（2）在直线方程中，令，则；令，则，则．由于则．则椭圆方程：．（3）假设存在点满足，连接，由知，四边形为正方形，则 ①又由于点在椭圆上，则 ②由①②知，．由于，则．当，即，时，椭圆上存在点，由点向圆所引两切线互相垂直．当，即时，椭圆上不存在满足条件的点．9．设、是椭圆上的两点，点（1，3）是线段的中点，线段的垂直平分线与椭圆相交于、两点．（1）确定的取值范围，并求直线的方程．（2）试判断是否存在这样的，使得，，，四点在同一个圆上？并说明理由．解：（1）依题意，可设直线的方程为，代入，整理得 ①解法一：设，，则，是方程①的两个不同的根则 ② 且，由（1，3）是线段的中点，得，则．解得，代入②得，，即的取值范围是．于是，直线的方程为．解法二：设，则有．依题意，，则．由于（1，3）是的中点，则，，从而．又由（1，3）在椭圆内，则．则的取值范围是．直线的方程为．（2）由于垂直平分，则直线的方程为，即，代入椭圆方程，整理得 ③又设，，的中点为，则，是方程③的两根，则，且，，即．于是由弦长公式可得 ④将直线的方程，代入椭圆方程得 ⑤同理可得 ⑥由于当时，，．假设存在，使得，，，四点共圆，则必为圆的直径，点为圆心．点到直线的距离为 ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得．故当时，，，，四点均在以为圆心，为半径的圆上．10．如图15—39，已知抛物线和直线，点在直线上移动，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，线段的中点为．（1）求点的轨迹．（2）求的最小值．（3）求证：直线的倾斜角为定值，并求的值．解：（1）由得，则．设，，则，，则即．同理，有．则，为方程的两根，则，．设，则 ① ②由①②消去得点的轨迹方程为．（2），又则当时，．（3）由于坐标为，则对任意，恒有轴，则的倾斜角为定值．则又由（2）得．则．15.7 圆锥曲线的应用能力提高1．在周长为定值的中，已知，且当顶点位于定点时，有最小值为．（1）建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程．（2）过点作直线与（1）中的曲线交于、两点，求的最小值的集合．解：（1）以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，设为定值，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以焦距．由于又，所以，由题意得，．此时，点坐标为．故点的轨迹方程为．（2）不妨设点坐标为，，．当直线的倾斜角不为时，设其方程为代入椭圆方程化简，得．显然有，所以，．而由椭圆第二定义可得只要考虑为最小值，即考虑为最小值，则时，得最小值16．当直线的倾斜角为时，，得，但，故，这样的，不存在，即的最小值的集合为空集．2．已知椭圆，动圆，其中．若是椭圆上的点，是动圆上的点，且使直线与椭圆和动圆均相切，求，两点的距离的最大值．解：设，，直线的方程为，因为既在椭圆上又在直线上，从而有将①代入②得由于直线与椭圆相切，故从而可得， ③同理，由既在动圆上又在直线上，可得， ④由③、④得，．．即，当且仅当时取等号，所以，两点的距离的最大值为．3．在平面直角坐标系中，给定三点，，，点到直线的距离是该点到直线，距离的等比中项．（1）求点的轨迹方程．（2）若直线经过的内心（设为）．且与点的轨迹恰好有3个公共点，求的斜率的取值范围．解：（1）直线，，的方程依次为，，．点到，，的距离依次为，，．依设，，得，即，或，化简，得点的轨迹方程为圆与双曲线．（2）由前知，点的轨迹包含两部分圆 ①与双曲线 ②因为和是适合题设条件的点，所以点和点在点的轨迹上，且点的轨迹曲线与的公共点只有，两点．的内心也是适合题目设条件的点，由解得，且知它在圆上．直线经过，且与点的轨迹有3个公共点，所以，的斜率存在，设的方程为 ③（ⅰ）当时，与圆相切，有唯一的公共点；此时，直线平行于轴，表明与双曲线有不同于的两个公共点，所以恰好与点的轨迹有3个公共点．（ⅱ）当时，与圆有两个不同的交点．这时，与点的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：情况1：直线经过点或点，此时的斜率，直线的方程为．代入方程②得，解得或．表明直线与曲线有2个交点，，直线与曲线有个交点，故当时，恰好与点的轨迹有3个公共点．情况2：直线不经过点和点（即），因为与有两个不同的交点，所以与双曲线有且只有一个公共点．即方程组有且只有一组实数解，消去并化简得，该方程有唯一实数解的充要条件是 ④或 ⑤解方程④得．解方程⑤得．综合得直线的斜率的取值范围是有限集．4．过点作一条直线和轴、轴分别相交于，两点，试求的最大值（其中为坐标原点）．解：过点作一圆与轴、轴分别相切于点、，且使点在优弧上，则圆的方程为．于是，过点作圆的切线和轴、轴分别相交于，两点，圆为的内切圆，故．若过点的直线不和圆相切，则作圆的平行于的切线和轴、轴分别相交于，两点，则．由折线的长大于的长及切线长定理，得．所以，的最大值为6．5．设椭圆的两个焦点是和，且椭圆与圆有公共点（见图15—41）．（1）求的取值范围．（2）若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程．（3）对（2）中的椭圆，直线与交于不同的两点、，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围．解：（1）由已知，，则方程组有实数解，从而，故，所以，即的取值范围是．（2）设椭圆上的点到一个焦点的距离为，则．由于，则当时，，于是，，解得．．则所求椭圆方程为．（3）由得（*）由于直线与椭圆交于不同两点，则，即 ①设、，则、是方程（*）的两个实数解．则，则线段的中点为，又由于线段的垂直平分线恒过点，，即，即 ②由①②得，，又由②得，则实数的取值范围是．6．设斜率为的直线交椭圆于、两点，点为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设、都存在）．（1）求的值．（2）把上述椭圆一般化为，其他条件不变，试猜想与关系（不需要证明）．请你给出在双曲线中相类似的结论，并证明你的结论．（3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．如果概括后的命题中的直线过原点，为概括后命题中曲线上一动点，借助直线及动点，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．解：（1）设直线方程为，代入椭圆方程并整理，得，，又中点在直线上，所以，从而可得弦中点的坐标为，，所以．（2）对于椭圆，，已知斜率为的直线交双曲线于、两点，点为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设是、都存在）．则的值为．设直线方程为，代入方程并整理，得，所以，即．（3）对（2）的概括：设斜率为的直线交二次曲线于、两点，点为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设、都存在），则．提出的问题如：直线过原点，为二次曲线上一动点，设直线交曲线于、两点，当异于、两点时。
如果直线、的斜率都存在，则它们斜率的积为与点无关的定值．设直线方程为，、两点坐标分别为、，则．把代入得，，所以．7．已知点，一动圆过点且与圆内切． （1）求动圆圆心的轨迹的方程．（2）设点，点为曲线上任一点，求点到点距离的最大值．（3）在的条件下，设的面积为 （是坐标原点，是曲线上横坐标为的点），以为边长的正方形的面积为．若正数满足，问是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．解：（1）设动圆圆心为，半径为，已知动圆圆心为，由题意知，，于是，所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，其方程为．（2）设，则，令，，所以，当，即时在上是减函数，；当，即时，在上是增函数，在上是减函数，则；当，即时，在上是增函数，．所以， （3）当时，，于是，若正数满足条件，则，即，，令，设，则，于是．所以，当，即时，，即，．所以，存在最小值．8．已知点，，，，动点满足，动点满足． （1）求动点的轨迹方程和动点的轨迹方程． （2）是否存在与曲线外切且与曲线内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由．（3）固定曲线，在（2）的基础上提出一个一般性问题，使（2）成为（3）的特例，探究能得出相应结论（或加强结论）需满足的条件，并说明理由．解：（1）．（2）连椭圆四端点可得．（3）问题：已知和，试问，当、满足什么条件时，对上任意一点均存在以为顶点，与外切，与内接的平行四边形．解得．9．已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知的一个焦点与关于直线对称．（1）求双曲线的方程．（2）若是双曲线上的任一点，、为双曲线的左、右两个焦点，从引的平分线的垂线，垂足为，试求点的轨迹方程．（3）设直线与双曲线的左支交于、两点，另一直线经过及的中点，求亘线在轴上的截距的取值范围．解：(1)设双曲线的渐近线方程为，即．由于该直线与圆相切，则双曲线的两条渐近线方程为，故设双曲线的方程为．又由于双曲线的一个焦点为，则，，则双曲线的方程为． (2)若在双曲线的右支上，则延长到，使，若在双曲线的左支上，则在上取一点，使，根据双曲线的定义，所以点在以为圆心，2为半径的圆上，即点的轨迹方程是 ①由于点是线段的中点，设，，则，即．代入①并整理得点的轨迹方程为，． (3)由得，令，直线与双曲线左支交于两点，等价于方程在上有两个不等实根．因此，解得，又中点为，则直线的方程为．令，得，由于，则．则故的取值范围是．。
