第1章 解三角形(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．在△ABC中，a＝2，b＝，c＝1，则最小角的大小为________．2．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为________．3.在△ABC中，已知|||＝4，||＝1，S△ABC＝，则·＝________.4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝，b＝，B＝120°，则a＝________.5．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为________．6．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是________．7．下列判断中正确的是________．(填序号)①△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，有两解；②△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，有一解；③△ABC中，a＝6，b＝9，A＝45°，有两解；④△ABC中，b＝9，c＝10，B＝60°，无解．8．在△ABC中，B＝30°，AB＝，AC＝1，则△ABC的面积为________．9．在△ABC中，BC＝2，B＝，若△ABC的面积为，则tan C＝________.10．在△ABC中，如果sin Asin B＋sin Acos B＋cos Asin B＋cos Acos B＝2，则△ABC的形状是________三角形．11．△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C的度数为________．12．在△ABC中，若＝，则B＝________.13．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b－c)cos A＝acos C，则cos A＝________.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)如图，H、G、B三点在同一条直线上，在G、H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测角仪器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB.- 1 - / 1016．(14分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsin A.(1)求B的大小．(2)若a＝3，c＝5，求b.17．(14分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值．18．(16分)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤．19．(16分)在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c＝2，C＝.(1)若△ABC的面积等于，求a，b.(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．20．(16分)如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．第1章 解三角形(B)答案1.解析 ∵a>b>c，∴C最小．∵cos C＝＝＝，又∵090°，a>b，有一解；③：ab>csin B，有两解．8.或解析 由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，∴12＝()2＋BC2－2××BC×.整理得：BC2－3BC＋2＝0.∴BC＝1或2.当BC＝1时，S△ABC＝AB·BCsin B＝××1×＝.当BC＝2时，S△ABC＝AB·BCsin B＝××2×＝.9.解析 由S△ABC＝BC·BAsin B＝得BA＝1，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，∴AC＝，∴△ABC为直角三角形，其中A为直角，∴tan C＝＝.10．等腰直角解析 由已知，得cos(A－B)＋sin(A＋B)＝2，又|cos(A－B)|≤1，|sin(A＋B)|≤1，故cos(A－B)＝1且sin(A＋B)＝1，即A＝B且A＋B＝90°.11．45°或135°解析 由a4＋b4＋c4＝2c2a2＋2b2c2，得cos2C＝＝＝⇒cos C＝±.∴角C为45°或135°.12．45°解析 由正弦定理，＝.∴＝.∴sin B＝cos B.∴B＝45°.13．8解析 如图所示，在△PMN中，＝，∴MN＝＝32，∴v＝＝8(海里/小时)．14.解析 由(b－c)cos A＝acos C，得(b－c)·＝a·，即＝，由余弦定理得cos A＝.15．解 在△ACD中，∠DAC＝α－β，由正弦定理，得＝，∴AC＝，∴AB＝AE＋EB＝ACsin α＋h＝＋h.16．解 (1)∵a＝2bsin A，∴sin A＝2sin B·sin A，∴sin B＝.∵0
