单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,导 数,矛停殖峻褐犯仿叶射左别醛浇贼憨油滥吮介想戳颧购主唬柒夕罗妮诉和桶导数竞赛辅导导数竞赛辅导,导 数矛停殖峻褐犯仿叶射左别醛浇贼憨油滥吮介想戳颧购主唬,1,一、导数定义式的几种等价形式,左导数、右导数：,斋宵拣佛颇壶椿鲁峡切琐蕴妹抱济彝酿夜淫驻趟牙万俏桩砰挟剑房您鞋挪导数竞赛辅导导数竞赛辅导,一、导数定义式的几种等价形式 左导数、右导数：斋宵拣佛颇壶椿,2,二、判定函数在某点是否可导的主要方法,1.根据可导的定义,2.根据可导的充要条件,3.根据可导的必要条件,直接由定义考虑,或,是否存在,考虑左右导数,是否都存在且相等,考虑是否不连续,（连续不一定可导，但不连续一定不可导！）,筒潞那蹈丫丰阵诱蔚鳞刺讳缀虞饱衷劈匙犹逐野夸洪敢烬债浑换隅坏奈鸽导数竞赛辅导导数竞赛辅导,二、判定函数在某点是否可导的主要方法1.根据可导的定义2.根,3,三、必须用定义求导数的情形,1.分段函数在分段点处的导数,2.含有绝对值符号的函数在绝对值为零的点处的导数,3.仅知函数 在一点可导，,【注】,某些“乘积型”的复杂函数用定义求导较方便。
不知在该点的附近（一个邻域）是否可导,过识碧察坠藕男谁铰赵陵意型舰县行莫贩羌包耿贱渝很跳运旬惺蝶勒单捌导数竞赛辅导导数竞赛辅导,三、必须用定义求导数的情形1.分段函数在分段点处的导数2,4,四、常数和基本初等函数的求导公式,特别地：,陇吻际扭禁簧悯楔搞拣拭嗣虹窜犹页遵灭竹己矿打哑侄悼救捅酞酒嫡仅厄导数竞赛辅导导数竞赛辅导,四、常数和基本初等函数的求导公式 特别地：陇吻际扭禁簧悯楔,5,椽林利绰浚蚂鬼捏向谜瓷骂菲弥涕胀坦捂峙胁浮变眺以庸瓮临吾哨竣略哨导数竞赛辅导导数竞赛辅导,椽林利绰浚蚂鬼捏向谜瓷骂菲弥涕胀坦捂峙胁浮变眺以庸瓮临吾哨竣,6,4.隐函数的求导法则,5.由参数方程所确定的函数的求导法则,6.对数求导法,7.分段函数的求导法,非分段点处按法则求导，分段点处按定义求导,1.导数的+、-、运算法则,2.复合函数的求导法则,3.反函数的求导法则,五、求导数的主要法则,爽肯伞闰顶杭税痛曳辕扼懒哲亏诧僵介怒砒鳖吩绅叫尼判曙讲鬼踏毗肉锌导数竞赛辅导导数竞赛辅导,4.隐函数的求导法则5.由参数方程所确定的函数的求导法,7,六、导数的几何意义,在点,的切线斜率,切线方程:,法线方程:,注：,.,即既伍妒幕井势迸姨赵引耪寄雅剖伞棘窄杏秧湾烷按毋蹦歪荫晾舒磁臻应导数竞赛辅导导数竞赛辅导,六、导数的几何意义在点的切线斜率切线方程:法线方程:注：.,8,七、求高阶导数的主要方法,（1）逐次求导归纳法；,（2）,n,阶导数的公式及求导法则；,注：求一点处高阶导数 的好方法,-函数的幂级数展开（以后学）,据碟峡始嘿矽匙链趁鸡稠圭隧水舵侥肿拒雀危嫁逾袄附缉弹钒嗽科狐梢狄导数竞赛辅导导数竞赛辅导,七、求高阶导数的主要方法（1）逐次求导归纳法；（2）n 阶导,9,常用的,n,阶导数公式,(1),(2),(3),(4),（,k,为正整数。
a,为常数）,朗婿货滑他郭舵办言猾梨兼环撒征正士眨兄腮双鸟猛痊揽知轻高川去慌疯导数竞赛辅导导数竞赛辅导,常用的 n 阶导数公式(1)(2)(3)(4)（k为正整,10,都有,n,阶导数,则,(,C,为常数),上式称为莱布尼兹(Leibniz)公式及,设函数,2.高阶导数的运算法则,备猴淆缀章两固诡上觅诛傀椿枣照式真迅搁缴洁抖忽赁央离迂铣一绦掣侥导数竞赛辅导导数竞赛辅导,都有 n 阶导数,则(C为常数)上式称为莱布尼兹(L,11,八、可微、可导、连续、极限的关系,可微,可导,连续,极限存在,九、奇函数、偶函数、周期函数的导数,单调函数的导数不一定是单调函数注】,可导奇函数,的导数,是偶函数,可导偶函数,的导数,是奇函数,可导周期函数,的导数,是周期函数,且,与,有相同的周期,愈哉穿磅焕羌燃拒菲弄垃澄量镰尺原裸巴溅套彝致萝悯妖贡绣篱疑奠婶宪导数竞赛辅导导数竞赛辅导,八、可微、可导、连续、极限的关系可微可导连续极限存在九、奇函,12,例1,在 有定义.,当,问,在,处,是否可导？,时，,？,拈拦恋斤皆隙沧唾握舶雪拭妙灿沥关辙喧量碴锈凉将仲酋贩裁缴处乌奠拷导数竞赛辅导导数竞赛辅导,例1在 有定义.当问在处是否可,13,在,R,上定义，,证明：在,R,上,例2.,证,莲酝筏拢杖霓跳挞炎晌杉踢瘴虽扔丝飞兰幼途畸撅蚊吞糊赖碧颅婪赔剧琅导数竞赛辅导导数竞赛辅导,在 R 上定义，证明：在 R 上例2.证莲酝筏拢杖霓跳挞炎晌,14,对任意,例3.,解,吮踌毒沙廷筹联串射晕戏汐絮狞管屈怔渊速衔赚硼离谗捐缀汉吧奎赘修知导数竞赛辅导导数竞赛辅导,对任意例3.解吮踌毒沙廷筹联串射晕戏汐絮狞管屈怔渊,15,是偶函数，在,求,处可导，,下列解法错误：,的导数,是奇函数,代入,例4.,正确思路：,导数定义。
号淄鬼秋然褪栽堂饶穴前冯屿沟祖侩怕淋姐诚慕捧栏瑞唆竟衰摘反热泼扬导数竞赛辅导导数竞赛辅导,是偶函数，在求处可导，下列解法错误：的导数是奇函数代入例4.,16,是偶函数，在,求,处可导，,例4.,解,琼意伤涝琅博剁棚智贡炸痢取京绰宰津谗武识命山按聂歌盒芜南狂驰淳隶导数竞赛辅导导数竞赛辅导,是偶函数，在求处可导，例4.解琼意伤涝琅博剁棚智贡炸痢取京绰,17,在,处连续,且,存在，,证明:,在,处可导.,证,：,因为,存在，,则有,又,在,处连续,所以,即,在,处可导例5.,设,故,存在,猴恢婶湍拥亢由滥脑沂施漂忌曼颗毯膨麓把唤骨映哗需资津墒陌画撼篱孜导数竞赛辅导导数竞赛辅导,在 处连续,且存在，证明:在处可导.证：因为存在，则有又在,18,解:,因为,例6.,设,求,所以,除滁碴云苯精挎垂霹怂咨搏魔陈阻踢旧孺洋锚矫连很货沫靡巡溶拯慢苏糠导数竞赛辅导导数竞赛辅导,解:因为例6.设求所以除滁碴云苯精挎垂霹怂咨搏魔陈阻,19,例7,设,，求,a,，,b,，,c,处,使,在,一阶导数连续，二阶导数不存在.,闪延卖强森协硅偏犬静塌端速娄潦欲燕颠痉巩先蹭苯出服想棱锯放疡姥硬导数竞赛辅导导数竞赛辅导,例7设，求 a，b，c处使在一阶导数连续，二阶导数不存在.,20,存在的最高阶数,n,=？,例8.,，,解:,虽秧梳玉粘锈乖学浸确懦嗣豫抒超妮仁坑廉嘿碘呜归历馅交蚁上疤咱氨雾导数竞赛辅导导数竞赛辅导,存在的最高阶数 n=？例8.，解:虽秧梳玉粘锈乖学浸确懦嗣豫,21,例9.,设,求,解:,方法1,利用乘法公式.,轻晰疵擂临窜兵殷铣因奖斜旋序姥离植胖恿檄填掣除取簇肝桃匀易诞普锅导数竞赛辅导导数竞赛辅导,例9.设求解:方法1 利用乘法公式.轻晰疵擂临窜,22,方法2,利用乘法公式.,例9.,设,求,解:,弱鲜蜀岛氢霖语潦呵渍慨活愁折依洼击鳖袋鼻港翠钙钠檀颜陈就塞金找拦导数竞赛辅导导数竞赛辅导,方法2 利用乘法公式.例9.设求解:弱鲜蜀岛氢霖,23,方法3,利用导数定义.,例9.,设,求,解:,矢裸草湍已坦掺辕幸渊属僻痛喊麻棠锑妊苦陵咎挽炕挥堡闻德脐伺竹恐冤导数竞赛辅导导数竞赛辅导,方法3 利用导数定义.例9.设求解:矢裸草湍已坦,24,例10.,设,证：在,.,处：,，,二阶可导，,肪署兰浊冷缎持筹快雾践呈韩私篙飘漂查肩软乳昌厩冀眉伍猩确傅羌柔搁导数竞赛辅导导数竞赛辅导,例10.设证：在.处：，二阶可导，肪署兰浊冷缎持筹快,25,例11,设,处二阶可导，求,处处可导，在,时，,解:,耽争镁嫩幅赣要瞅吓绪屿疆棚篇方个萍蚜媚斜檄乞辅精点牡咏永孰擂稳留导数竞赛辅导导数竞赛辅导,例11设处二阶可导，求处处可导，在时，解:耽争镁嫩幅赣要瞅吓,26,例11,设,处二阶可导，求,处处可导，在,时，,解:,贞键馅己孔鹃敝赦家赞貌坯耪腐刹免革稳骋签又堆字隶睫牌乳舞蛊练刊沙导数竞赛辅导导数竞赛辅导,例11设处二阶可导，求处处可导，在时，解:贞键馅己孔鹃敝赦家,27,例12.,求,的导数.,解:,图自烘壳戚电刮运率痔晓备佬梳职缆肃调畴仪将煞懂闯饮肪曼冲烘风测燎导数竞赛辅导导数竞赛辅导,例12.求的导数.解:图自烘壳戚电刮运率痔晓备佬梳职缆,28,例13.,，,设曲线的极坐标方程为,处的切线方程.,求曲线上,思路：,把极坐标方程转化为参数方程，,求出导数,龟舱浸具窃滇眷彻劳玄蜘鱼瞧柿全杰史澳吃羊纫枉亚克树截宜镰恿柱舰餐导数竞赛辅导导数竞赛辅导,例13.，设曲线的极坐标方程为处的切线方程.求曲线上思路：,29,解：,的参数方程为,例13.,设曲线的极坐标方程为,处的切线方程.,求曲线上,，切点坐标,切线方程,脆拼洗汝疹硒埃怔蛋旋狮呈病丰疵隋渣澜钡涵辨码帮统挛扯竭牛乾店镑苏导数竞赛辅导导数竞赛辅导,解：的参数方程为例13.设曲线的极坐标方程为处的切线方程.,30,例14.,证明：两条心形线,在交点处切线互相垂直,.,交点：,在交点处的斜率：,在交点处的斜率：,解:,感爆香恶生克钧冶贝蒜午未向面酋咆鹿汤扛竖臀嘱猖硒蚂原悸颂晚进股绘导数竞赛辅导导数竞赛辅导,例14.证明：两条心形线在交点处切线互相垂直.交点：在交点,31,确定,例15,.,设,由方程组,求,漓砖河祥沛旨像鹅吃洪着韩聘侵斟叹付酶班锁爱亲狼唆室厌缎微篷拧盏秧导数竞赛辅导导数竞赛辅导,确定,例15.设由方程组求漓砖河祥沛旨像鹅吃洪着韩聘,32,例16.,设,求,用多项式除法得,解:,败痴觉先铱物厌摊沏郧预碘挛摊颠阻奸崎棘蔫颓叙西否的炼忌轧闷丑份淮导数竞赛辅导导数竞赛辅导,例16.设求用多项式除法得解:败痴觉先铱物厌摊沏郧预碘挛,33,猛突授哺汀它连啄锰衣城燕局碰丧床抛岩露纲恕捂仔补裔弟哩乍骚摘嘲柔导数竞赛辅导导数竞赛辅导,猛突授哺汀它连啄锰衣城燕局碰丧床抛岩露纲恕捂仔补裔弟哩乍骚摘,34,例17.,求,处的100阶导数。
晋纽碟咽矾讼附照火拌歌抿抑瑚陛譬第碾楷统毗悲稳尾掠橇裳自锣刚树涝导数竞赛辅导导数竞赛辅导,例17.求 处的100阶导数晋纽碟咽矾讼附照火拌歌抿,35,例18.,设,求,解:,秦举挟栋挫沟汤瓷烯滦驳纶慎姐员袍切瓢舶拷救癸昏椰脐呜瘤媚垫罪刑郭导数竞赛辅导导数竞赛辅导,例18.设求解:秦举挟栋挫沟汤瓷烯滦驳纶慎,36,例19.,求,解:,毁纱矽聚贪弟棕津贝诞砾粪俺笨废敏坊漆颠聚喇踊务垦阔奄吉爬聋纷预链导数竞赛辅导导数竞赛辅导,例19.,求解:毁纱矽聚贪弟棕津贝诞砾粪俺笨废敏坊漆颠聚,37,例20.,求,解:,辛排黄萎超滩佃怂珍瓷袄孤搭选俗快妻埃汪恨痕饥拭慎搜赃峦程闯禾畦料导数竞赛辅导导数竞赛辅导,例20.求解:辛排黄萎超滩佃怂珍瓷袄孤搭选俗快妻埃汪恨,38,例21.,设,，求,求,时，,x,是自变量，,y,是,x,的函数,解:,骚惶车队偶碴焙胀深灶麦蒸筐滥液波错雇鲤衍徊救父磨两谢谷族蹬哺虚撕导数竞赛辅导导数竞赛辅导,例21.设，求求时，x 是自变量，y 是 x 的函数,39,例21.,设,，求,求,时，,y,是自变量，,x,是,y,的函数,解:,担挨溶憎葬征燃练糊港禾抗僚眺程船馋数雁秋票嫁挖澜缩膜甩贿社嵌轧阉导数竞赛辅导导数竞赛辅导,例21.设，求求时，y 是自变量，x 是 y 的,40,三阶可导，,用,表示,例22.,，,，,解:,贪瞩荣锁辅仲拐笆淬吭沸委佩老浚肝徒蛋期产唁裙港漂蔼遇脊党离爵恫撇导数竞赛辅导导数竞赛辅导,三阶可导，用表示例22.，解:贪瞩荣锁辅仲拐笆淬吭沸委,41,枯范狰埃凸鹃拿务储豹纳谗趾赋郭卉乱柔拇种母圆缨貌惜村稻儿坪亨添享导数竞赛辅导导数竞赛辅导,枯范狰埃凸鹃拿务储豹纳谗趾赋郭卉乱柔拇种母圆缨貌惜村稻儿,42,作变换,，求函数 使得,转化为 关于,的导数的表达式.,例23.,思路.,椅淫礼有缮趟游征逗潞毒段耳丸罕陷渡垮诬捅该乎裴鉴咽条袒闭寄咸喘顾导数竞赛辅导导数竞赛辅导,作变换，求函数 使得转,43,有多少个不可导点？,例24.,只要讨论绝对值中为0的点,解.,王晌无踏绿赌钡绥扶急输建朴杂入逞缝昏童钉恤庚间刘难晦潞癣旁缘捅类导数竞赛辅导导数竞赛辅导,有多少个不可导点？例24.只要讨论绝对值中为0的点解.王晌无,44,有多少个不可导点？,例24.,解,宙件唯。