第第2篇篇 构件的强度、刚度和稳定性构件的强度、刚度和稳定性第第5章章 基本知识与构件变形的基本形式基本知识与构件变形的基本形式第第6章章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩第第7章章 剪切与挤压剪切与挤压第第8章章 扭转扭转第第9章章 梁的内力梁的内力第第10章章 截面几何性质截面几何性质第第11章章 梁的应力及强度计算梁的应力及强度计算第第12章章 梁的变形梁的变形第第13章章 组合变形的强度条件组合变形的强度条件第第14章章 压杆稳定压杆稳定1课堂教育第第5章章 基本知识与构件变形的基本形式基本知识与构件变形的基本形式5.1 基本任务基本任务5.2 关于变形固体的概念关于变形固体的概念5.3 基本假设基本假设5.4 构件变形的基本形式构件变形的基本形式小结小结2课堂教育5.1 基本任务基本任务5.1.1 强度要求：强度，强度要求：强度，是指材料或构件抵抗破坏的能力2007年6月，九江大桥约200米桥面坍塌2008年2月，咸宁学院篮球馆被大雪压塌3课堂教育5.1.2 刚度要求：刚度，刚度要求：刚度，是指构件抵抗变形的能力美国Tacoma大桥在风荷载作用下的变形起重臂变形过大影响起重机正常工作4课堂教育5.1.3 稳定性要求：稳定性，稳定性要求：稳定性，是指细长受压构件保持直线平衡形式的能力。
压杆失去直线平衡形式称为失稳失稳18811897年间，世界上有24座较大金属桁架结构桥梁发生整体破坏；1907年，加拿大跨长548米的奎拜克大桥倒塌，研究发现是受压杆件失稳引起的5课堂教育5.2 关于变形固体的概念关于变形固体的概念变形固体变形固体：在外力作用下形状和尺寸发生变化的固体弹性变形弹性变形：指变形固体上的外力去掉后可消失的变形塑性变形塑性变形：指变形固体上的外力去掉后不可消失的变形完全弹性体完全弹性体：指在外力作用下只有弹性变形的固体部分弹性体部分弹性体：指在外力作用下产生的变形由弹性变形和塑性 变形两部分组成的固体小变形小变形：构件在荷载作用下产生的变形与构件本身尺寸相比 是很微小的反之，称为大变形本章研究内容限于小变形范围6课堂教育5.3 基本假设基本假设连续、均匀假设连续、均匀假设 ：假设物体在其整个体积内毫无空隙地充满了物质，且物体的性质各处都一样各向同性假设：各向同性假设：假设材料沿不同方向具有相同的力学性能若材料沿不 同方向具有不同力学性能，则称为各向异性材料弹性假设弹性假设：假设作用于物体上的外力不超过某一限度时，可将物体看成 完全弹性体总之，本篇把构件视为连续、均匀、各向同性的可变形固体，且只研究弹性阶段的小变形问题。
7课堂教育5.4 构件变形的基本形式构件变形的基本形式杆件杆件 ：指长度远大于横向尺寸的构件，简称杆等截面的直杆简称为等直杆杆件变形的杆件变形的4 4种基本形式：种基本形式：1.1.轴向拉伸或压缩轴向拉伸或压缩FF 在一对方向相反、作用线与杆轴线重合的外力作用下，杆件将发生长度的改变（伸长或缩短）8课堂教育2.2.剪切剪切 在一对相距很近，大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的横截面将沿外力方向发生相对错动FF9课堂教育3.3.扭转扭转MeMe 在一对大小相等、方向相反、位于垂直杆轴线的两平面内的力偶作用下，杆的相邻两横截面绕轴线发生相对转动10课堂教育4.4.弯曲弯曲MM 在一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向平面内的力偶作用下，杆将在纵向平面内发生弯曲11课堂教育小结小结 基本任务 本篇研究对象是构件，研究的主要内容是构件的强度、刚度 和稳定性以及材料的力学性能关于变性固体 1）具有可变形性质的固体称为可变形固体2）变形固体上的外力去掉后可消失的变形叫弹性变形，弹性变形，变形固体上的 外力去掉后不可消失的变形叫塑性变形（残余变形）塑性变形（残余变形）3）在外力作用下只有弹性变形的固体叫完全弹性体完全弹性体。
而在外力作用下 产生的变形由弹性变形和塑性变形两部分组成的固体叫部分弹性体部分弹性体构件变形的基本形式 轴向拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲基本假设 将构件视为连续、均匀、各向同性的可变形固体，且只研究 弹性阶段的小变形问题应注意的问题 区分第一篇和第二篇的基本概念12课堂教育第第6章章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩6.1 轴向拉轴向拉(压压)杆杆横截面的内力、轴力图横截面的内力、轴力图6.2 应力和应力集中的概念应力和应力集中的概念6.3 轴向拉轴向拉(压压)杆杆的强度计算的强度计算6.4 轴向拉轴向拉(压压)杆杆的变形计算的变形计算小结小结6.5 材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能6.6 轴向拉压超静定问题轴向拉压超静定问题13课堂教育6.1 轴向拉（压）杆横截面的内力、轴力图轴向拉（压）杆横截面的内力、轴力图ABCFFFDEGKH轴向力轴向力：外力的作用线与杆的轴线重合轴向拉力轴向拉力（拉力）：使杆件伸长的轴向力轴向压力轴向压力（压力）：使杆件缩短的轴向力FFFF拉杆压杆14课堂教育轴力轴力：拉压杆横截面上的内力求解内力的方法求解内力的方法截面法截面法1）用假想的垂直于轴线的截面沿所求内力处切开，将构件分为两部分。
2）取两部分中的任意部分为脱离体，用相应的内力代替另一部分对脱离 体的作用3）对脱离体建立静力平衡方程，求未知内力的大小FABCFRFNFNCCFA甲BFRCC乙0 xF NFF15课堂教育例例6-1 一杆件所受外力经简化后，其计算简图如图所示，试求各段截面上的轴力3kN3kNIIIIII2kN3kN4kN2kNFN13kN2kNFN2FN34kN3kN2kNFN31kN3kNFN+-2kN解解：在第I段杆内，取左段为脱离体30,2kN3kN4kN0 xNFF10,2kN0 xNFF 20,2kN3kN0 xNFF 在第III段杆内，若取右段为脱离体12kN(NF 得 压力）在第II段杆内，取左段为脱离体21kN(NF得 拉力）在第III段杆内，取左段为脱离体33kN(NF 压力）23kN(NF 得 压力）16课堂教育6.2 应力和应力集中的概念应力和应力集中的概念6.2.1 截面上一点的应力截面上一点的应力应力应力：截面上的内力的分布集度AFCpC0dlimdAFFpAA 一点处应力的两个分量：正应力 ：垂直于截面的分量；切应力 ：与截面相切的分量应力单位：Pa,1Pa =1N/常用单位：MPa,1MPa=106 Pa GPa，1MPa=109 Pa由此，C点的应力为17课堂教育6.2.2 拉（压）杆横截面上的正应力拉（压）杆横截面上的正应力CFABFRFFNACC轴力：FN正应力：AFN证明:(1)平面假设 （2）纵向纤维伸长量相等 （3）正应力在横截面均匀分布lFFll18课堂教育6.2.3 拉（压）杆斜截面上的应力拉（压）杆斜截面上的应力FF斜截面上的应力：NFpA1122F1pFNcosAA由横截面上的正应力：AFNNcosFpA得cosp1F1p斜截面上应力的两个分量为2cossin(2)2正应力切应力当 ，0(0)max当 ，4max()4219课堂教育6.2.4 应力集中的概念应力集中的概念应力集中应力集中:是指在构件截面突然变化处，局部应力远大于平均应力。
这种应力在局部剧增的现象称为应力集中圆孔附近的变形不同截面处的应力1mFA1mF11dmFFmmaxdbmaxm11F理论应力集中系数理论应力集中系数maxmK20课堂教育解：解：（1）求截面1-1和2-2的轴力取截面1-1上部为脱离体 取截面2-2上部为脱离体 （2）求应力 例例6-2 图为一正方形截面的阶形砖柱，柱顶受轴向压力F作用上段柱重为W1，下段柱重为W2已知F=15kN，W1=2.5kN,W2=10kN,l=3m求上、下段柱的底截面1-1和2-2上的应力21227.5kN(NFFWW 压力）111017.5kN(NNFFWF 压力）322227.5 10Pa0.172MPa0.4 0.4NFA 311117.5 10Pa0.438MPa0.2 0.2NFA 0yF 0yF ll1212400200FABCW1W2FFW11-1FN1W1W22-2FN221课堂教育6.3 轴向拉（压）杆的强度计算轴向拉（压）杆的强度计算极限应力：极限应力：指材料丧失工作能力时的应力，记为 安全因数：安全因数：设计构件时给构件的安全储备，许用应力：许用应力：构件在工作时允许承受的最大工作应力un1n 确定安全因数的因素：（1）实际荷载与设计荷载的出入；（2）材料性质的不均匀性；（3）计算结果的近似性；（4）施工、制造和使用时的条件。
u22课堂教育拉（压）杆的强度条件拉（压）杆的强度条件轴向拉压杆满足强度条件，必须保证杆件的最大工作应力不超过材料的许用应力，即 max求解工程实际中有关强度计算的3类问题（1）强度校核（2）选择截面（3）确定需用荷载 maxNFA maxNFA max maxNFA23课堂教育例例6-3 一钢筋混凝土组合屋架的计算简图如图所示其中F=13kN,屋架的上弦杆AC和BC由钢筋混凝土制成，下弦杆AB为圆截面钢拉杆，直径为2.2cm钢的许用拉应力=170MPa,试校核该拉杆的强度F/2F/2F/2F/2FAFFFAFFBBC144014411441400144114421442144124课堂教育2257.63kPa151.6MPa(2.2 10)4NFA1440200 0.5144228834324(30.5)0NFFFFFF以C为矩心建立平衡方程：57.63kNNF 得（3）求拉杆横截面上的正应力故拉杆安全 151.6MPab，2()axlmaxsalFF2maxFabMlmax/4MFl当a=b=l/2时，则最大弯矩发生在梁中点截面处，其值为在集中力作用处，其左右两侧横截面上的弯矩相同，而剪力突变，突变值等于该集中力之值。
2x11FablxAFBFABC2Fabl125课堂教育例例9-4 图示简支梁，在全梁上受均布荷载q的作用，试列出剪力方程、弯矩方程并作剪力图和弯矩图qlAB126课堂教育12ABFFql1()2SAF xFqxqlqx(0)xl2111()222AM xF xqxxqlxqx(0)xlxqAFlBFABx解：解：（2）列剪力方程和弯矩方程取距左端为x的任意横截面，剪力图为一斜直线，只需确定其上两点弯矩图为一抛物线，需确定3点max12SFql2max18Mql由图可见，两端面处的剪力值最大 （1）求支反力由对称关系，可得最大弯矩发生在剪力为零的跨中截处，2ql2qlSF 图x28qlxM 图l/2127课堂教育例例9-5 简支梁受集中力偶作用，如图所示，试列出剪力方程，弯矩方程并作剪力图和弯矩图aMbCABl128课堂教育0M,AMFlBMFl1()SAMF xFl1(0)xa111()AMM xF xxl1(0)xa解解：（2）列出剪力方程和弯矩方程以梁的左端A为坐标原点 AC段：得（1）求支反力由力偶平衡条件2()SAMF xFl2()axl222()AMM xF xMxMl2()axlCB段：（3）绘制剪力图和弯矩图。
aMbCABlFAFBMblM 图MlSF 图MalMblMal129课堂教育9.4 弯距、剪力与荷载集度间的关系弯距、剪力与荷载集度间的关系0yF()()d()d0SSSF xF xF xq xd()()dSF xq xx设梁上有任意分布的荷载，规定向上为正x轴坐标原点取在梁的左端，在距截面x处取一微段梁dx如图示lxdxFMAB()q xxy()SF x()d()SSF xF x()M x()d()M xM xC()q xdx0cM d()d()()()dd02SxM xM xM xF xxq xd()()dSM xF xx22d()()dM xq xx130课堂教育利用剪力、弯矩、分布荷载的微分关系作剪力图和弯距图利用剪力、弯矩、分布荷载的微分关系作剪力图和弯距图1.梁上无均匀荷载时，剪力图为水平线，弯距图为一斜直线，斜线方向由剪力的正负号决定2.梁上有均匀荷载作用时，剪力图为一斜直线，弯距图为二次曲线3.若梁上某一截面的剪力为零，该截面的弯距是一个极值，不一定是最大值或最小值4.梁上有集中力作用处，剪力图有突变，弯距图有尖角5.集中力偶作用处，剪力图无变化，弯距有突变d()()dSF xq xxd()()dSM xF xx22d()()dM xq xx131课堂教育例例9-6 试绘图示梁的剪力图和弯矩图。
4mAC4kN mM B2m2kN/mq 132课堂教育解：解：（1）求支反力5kNCF 得0yF 由3kNAF 得AC段为抛物线，且抛物线下凸,为该抛物线的顶点BC段为一水平线且在B处有集中力偶，弯矩发生突变，突变值为该集中力偶矩的值1.5m2.25kN mxM（2）画剪力图AC段q为常量且小于零，所以AC段剪力图为向下斜的直线,CB段q=0且无集中力作用，所以为一水平线3）画弯矩图AFCF4mAC4kN mM B2m2kN/qmSF 图352.254M图kN m（）kN（）0AM由133课堂教育例例9-7 外伸梁如图所示q=20kN/m,F=20kN,M=160kNm,绘制此梁的剪力图和弯矩图ADMFB2m8m2mCq134课堂教育0BM0AM10 16020 10 720 120BF 148kNBF 100ABFFqF 72kNAF 1601020 10 320 20AF 解：解：（1）求支反力说明支座反力求解正确ADMFBAFBF2m8m2mC0yF 由 校核，135课堂教育ADMFBAFBF2m8m2mCSF 图kN（）726020883.6m144113.680M图kN m（）16（2）画剪力图（3）画弯矩图136课堂教育9.5 叠加法作剪力图和弯距图叠加法作剪力图和弯距图 所谓叠加原理叠加原理，指的是由几个外力共同作用时，某一截面处引起某一参数（如内力、应力或变形等），等于每个外力单独作用时所引起该参数值的代数和。
例例9-8 用叠加法作图示悬臂梁的内力图Fql137课堂教育解：解：先将梁上的每个荷载分开，分别作只有集中力和只有均布荷载作用下的剪力图和弯矩图将两剪力图和两弯矩图分别叠加qlFlqlFqlFSF 图Fql22qlFlM图22qlFl 直线与直线叠加后仍为直线，直线与曲线或曲线与曲线叠加后为曲线直线与直线叠加后仍为直线，直线与曲线或曲线与曲线叠加后为曲线138课堂教育 例例9-9 试按叠加原理作图示简支梁的弯矩图，并令 计算梁的极值弯矩和最大弯矩2/8MqlqlABxMB139课堂教育解：解：将简支梁上的荷载分开，分别作只有集中力偶和只有均布荷载作用时的弯矩图ABMqlABxMqAB28qlMM图M29128ql140课堂教育528AMqlFqll5()08SAF xFqxqlqx58xl2292128AqxMF xMql2max/8Mql2/8Mql当时，先确定支座A的反力，0BM由得极值弯矩所在截面剪力为零，故此截面的极值弯矩如图，全梁的最大弯矩在x=0截面上，qlABxM29128qlM图M141课堂教育小结小结 本章应首先掌握平面弯曲的基本概念及梁结构的简化原则熟记剪力、弯距的定义及正负号规定。
学会用截面法计算梁指定截面上的内力值和截面上内力值的计算法则剪力方程、弯距方程的建立，着重掌握剪力图、弯距图的绘制建立剪力方程、弯矩方程时通常以梁的左端为坐标原点，x轴沿梁的轴线方向应掌握均布荷载、剪力、弯距之间的微分关系 绘制内力图时注意集中力和集中力偶处剪力图和弯矩图上的突变用叠加法绘制比较简单的弯矩图较方便，而对于梁上有多种荷载或受力比较复杂的情况下，叠加法不一定方便)()SdF xq xdx()()SdM xF xdx22()()d M xq xdx142课堂教育第第10章章 截面几何性质截面几何性质10.1 静矩和形心静矩和形心10.2 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积10.3 平行移轴公式和转轴公式平行移轴公式和转轴公式10.4 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩小结小结143课堂教育10.1 静矩和形心静矩和形心10.1.1 静矩静矩CzCyCdAzyOzyAddzSyAddySzA如图示为一任意形状的平面图形，其面积为A，在平面图形内选取坐标系zoy在坐标（z,y）处取微面积dA，则微面积dA与坐标y(或坐标z)的乘积称为微面积dA对轴z（或y轴）的静距，记作 积分遍及整个面积A，故静距也称为作面积的一次矩或面积面积的一次矩或面积矩。
矩ddzzAASSy AddyyAASSz A 单位：单位：m3144课堂教育10.1.2 形心形心 CAzzACAyyAdACz AzAdACy AyA设平面图形的形心C的坐标为zC、yC，平面图形形心的坐标的公式为在0A 的极限情况下，图形形心坐标的精确公式可写成积分形式，即当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心平面图形对其对称轴的静矩必等于零代入静矩的表达式，得yCSzAzCSyAzCSAyyCSAy145课堂教育10.1.3 组合图形的静矩组合图形的静矩 根据平面图形静矩的定义，组合图形对z轴（或y轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即组合图形形心的计算公式为1nziCiiSA y1nyiCiiSAz11niCiiCniiAzzA11niCiiCniiA yyA 146课堂教育例例10-1 矩形截面尺寸如图所示,试求该矩形对z1轴的静矩 和对形心轴静矩 解解：（1）计算矩形截面对z1轴的静矩2）计算矩形截面对形心轴的静矩由于z轴为矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩形截面 对z轴的静矩为1zSzS2122zchbhSAybh0zS Czyz1b/2b/2h/2h/2147课堂教育例例10-2 试计算图示的平面图形对z1和y1轴的静矩，并求该图形的形心位置。
212210 1201200mm70 10700mmAA11101205mm60mm22CCzy2270101045mm5mm22CCzy解：解：将平面图形看作由两个矩形1和2组成，其面积分别为矩形2：两个矩形的形心坐标分别为矩形1：148课堂教育43111221431112217.55 10 mm3.75 10 mmnziCiCCinyiCiCCiSA yA yA ySAzAzA z4117.55 1039.74mm1200700niCiiCniiA yyA4113.75 1019.74mm1200700niCiiCniiA zzA该平面图形的形心坐标为1z1y该平面图形对 轴和 轴的静矩分别为149课堂教育10.2 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积 10.2.1 惯性矩惯性矩定义：定义：惯性矩为截面对轴的二次矩平面图形对z轴（或y轴）的惯性矩 Iz，Iy定义为dAzyOzyA 2dzAIyA2dyAIzA 单位：m4150课堂教育222yz2dAIA22222d()dddzyAAAAIAyzAyAzAII 平面图形对任一点的极惯性矩，等于图形对该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和，其值恒为正值。
极惯性矩也称为截面对点的二次矩dAzyOzyA 极惯性矩 定义为I151课堂教育10.2.2 惯性积惯性积微面积dA与它的两个坐标轴y、z的乘积yzdA，称为微面积dA对y、z轴的惯性积整个图形上所有微面积对z、y两轴惯性积的总和称为该图形对z、y两轴的惯性积两个坐标轴中只要有一根轴为平面图形的对称轴，则该图形对这一对坐标轴的惯性矩一定等于零dzyAIzy AdAzyOzyA d0zyAIzy A单位：m4 ，惯性积可正、负或零152课堂教育10.2.3 惯性半径惯性半径 2zzIi A2yyIi A2ppIi AzzIiAyyIiAppIiA 在工程中因为某些计算的特殊的需要，常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积平面图形对z轴、y轴和极点的惯性半径，也叫回转半径ziyipi、或改写为单位：m153课堂教育例例10-3 矩形截面的尺寸如图所示试计算矩形截面对其形心轴z、y的惯性矩，惯性半径及惯性积解：解：（1）计算矩形截面对z轴和y轴的惯性矩矩形截面对z轴的惯性矩为矩形截面对y轴的惯性矩为ddAb y32222dd12hhzAbhIyAy b y32222dd12bbyAhbIzAz h zCybhzdzdyddAh z154课堂教育d0zyAIzy A3/1212zzIbhhiAbh3/1212yyIhbbiAbh（2）计算矩形截面对z轴、y轴的惯性半径。
3）计算矩形截面对z轴、y轴的惯性积因为z轴和 y轴为对称轴，所以Cybhdzdyz155课堂教育例例10-4 直径为D的圆形截面如图所示试计算圆形对形心轴z轴、y轴的惯性矩和惯性半径42d32pADIA4264pyzIDII解：解：（1）计算圆形截面对形心轴z轴、y轴 的惯性矩圆形截面对O点的极惯性矩为由对称性知zyC156课堂教育（2）计算圆形截面对其形心轴z轴、y轴的惯性半径d2 dAz y22()2Dzy4/64D取平行于z轴的微小长条为微面积dA而由于对称性，圆形截面对任一根形心轴的惯性矩都等于4222222d2()d264DDzADDIyAyyy由对称性知，惯性半径对任意形心轴均相等42/6444yzIDDiiiAD 157课堂教育10.3 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式10.3.1 平行移轴公式平行移轴公式在平面图形上取微面积dA,微面积dA在z、y和z1、y1坐标系中的坐标分别为（z,y）(z1,y1),由图可见，微面积dA在两个坐标系中的坐标有如下关系1zzb1yyazbOz1y az1CzydAy1y1158课堂教育222211d()dd2ddzAAAAAIyAyaAyAa y AaA2dzAyAId0zAy ASdAAA 图形对任一轴的惯性矩,等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。
由于a2（或b2）恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小同理得21yyIIb A1 1z yzyIIabA其中得21zzIIa A bOz1y az1CzydAy1y1159课堂教育解：解：z轴、y轴是矩形截面的形心轴，它们分别与 轴和 轴平行，由平行移轴公式，得惯性矩分别为例例10-5 计算如图示矩形截面对 轴和 轴的惯性矩1z1y33221()()21223zzhbhhbhIIAbh1y1zCzyb/2b/2h/2h/2z1y133221()()21223yybhbbhbIIAbh160课堂教育例例10-6 三角形截面图形如图所示已知 ，轴与 轴平行试求该图形对 轴的惯性矩30/12zIbh1z0z1z22012()()33zzzzhhIIAIIA22102()()33zzhhIIA323112324zbhhbhbhI故三角形截面对 轴的惯性矩为1z注意，在应用平行移轴公式时，z轴、y轴必须是形心轴，、轴必须分别与z轴、y轴平行1z1y解：解：已知该图形形心到z轴的距离为h/3，由平行移轴公式得联立上式得Czbhz1z0h/3161课堂教育10.3.2 组合图形惯性矩的计算组合图形惯性矩的计算 zizIIyiyII组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和，即 计算组合图形的惯性矩时，首先应确定组合图形的形心位置，然后通过积分或查表求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩，再利用平行移轴公式，就可计算出组合图形对其形心轴的惯性矩。
162课堂教育例例10-7 试计算图示T形截面对其形心轴z轴、y轴的惯性矩zyC163课堂教育0Cz 2150cm 12cm600cmA C1586cm64cmy（）2225cm 58cm1450cmA C258cm29cm2yCiC600 64 1450 29cm=39.2cm600 1450iiA yyA解：解：（1）计算截面的形心位置由于T形截面有一根对称轴，形心必在此轴上，即yOzCy选坐标系 ，以确定截面形心的位置 将T形分成如图所示的两个矩形1、2，其面积和形心位置分别为T形截面的形心坐标为zyCz OyC12164课堂教育1322411115450 1224.8600 cm123.76 10 cmzzIIa A2322422225425 5810.21450 cm125.57 10 cmzzIIa A5412543.765.5710 cm9.33 10 cmzzzIII334125412 5058 25cm12122.01 10 cmyyyIII（2）计算组合图形对形心轴的惯性矩 、分别求出矩形1、2对形心轴z轴、y轴的惯性矩由平行移轴公式，得zIyI整个图形对z轴、y轴的惯性矩分别为165课堂教育本题也可用“负面积法”计算。
T形截面可看成是由 的矩形减去两个面积均为 的小矩形而得到的两种计算方法所得结果相同当把组合图形视为几个简单图形之和时，其惯性矩等于简单图形对同一轴惯性矩之和；当把组合图形视为几个简单图形之差时，其惯性矩等于简单图形对同一轴惯性矩之差25/2cm 58cm50cm70cm166课堂教育例例10-8 试计算如图所示的由方钢和I I20a工字钢组成的组合图形对形心轴z轴、y轴的惯性矩yzbh10120C167课堂教育（1）计算组合图形的形心位置取z轴作为参考轴，y轴为组合图形的对称轴，组合图形的形心必在y轴上，故 查表后可计算得0Cz 222001035.578 10120 1020022mm126.48mm35.578 10120 10iCiCiA yyA141412370cm158cmZyII解：解：（2）计算组合图形对形心轴z轴、y轴的惯性矩先计算工字钢和方钢截面对本身形心轴z轴、y轴的惯性矩查表：2334442334442120 10mm1.0 10 mm121210 120mm144 10 mm1212ZybhIhbIyzbh10120z CyC168课堂教育整个组合图形对形心轴的惯性矩应等于工字钢和方钢截面对形心轴的惯性矩之和122242444111122446422222370 10126.48 10035.578 10mm26.19 10 mm1.0 10205 126.48120 10 mm7.41 10 mmZZZZIIa AIIa A64741244641226.197.4110 mm3.36 10 mm158 14410 mm3.02 10 mmZZZyyyIIIIII由平行移轴公式可得工字钢和方钢截面分别对形心轴z轴、y轴的惯性矩为169课堂教育10.3.3 转轴公式转轴公式 1cossinzzy1cossinyyz2211d(cossin)dzAAIyAyzA2222cosd2sincosdsindAAAyAyz AzA22cossin2sinzzyyIII如图所示为任意形状的平面图形，平面图形内任一微面积dA在两个坐标系中的坐标（z、y）(z1,y1)之间的关系为zyy1z1zyz1y1dAo图形对z1轴的惯性矩170课堂教育两式左右两边分别相加，可得平面图形对于通过同一点的任意一对正交坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于该图形对该坐标原点的极惯性矩。
1cos2sin222zyzyzzyIIIIII1cos2sin222zyzyyzyIIIIII1 1sin2cos22zyz yzyIIII11zyzyIIII带入并整理，可得惯性矩和惯性积的转轴公式2cos22cos1,sin22sincos利用倍角公式171课堂教育10.4 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩由转轴公式可知，惯性积随角作周期变化，故总可以找到一对坐标轴z0、y0，使平面图形对这对坐标轴的惯性积为零通常我们把这一对坐标轴称为平面图形的主惯性轴主惯性轴，简称主轴主轴平面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩主惯性矩主惯性轴的方位主惯性轴的方位0000sin2cos202xyx yxyIIII02tan2xyxyIII172课堂教育主惯性矩的大小主惯性矩的大小2201()422zyzzyzyIIIIII2201()422zyyzyzyIIIIII 通过平面图形形心C的主惯性轴称为形心主惯性轴形心主惯性轴，简称形心主轴形心主轴平面图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩形心主惯性矩对于具有对称轴的平面图形，其形心主轴的位置可按如下方法确定：如果图形有一根对称轴，则该轴必是形心主轴，而另一根形心主轴 通过图形的形心且与该轴垂直。
如果图形有两根对称轴，则两根轴都是形心主轴如果图形具有两个以上的对称轴，则任一根对称轴都是形心主轴，且对任一形心主轴的惯性矩都相等173课堂教育小结小结 本章主要研究与杆件的平面图形形状和尺寸有关的一些几何量（如静距、惯性距、惯性积、主轴及主惯性距等）的定义和计算方法这些几何量统称为平面图形的几何性质主要计算公式（1）静距 （2）惯性距 （3）惯性积 ddzcAycASy AAySz AAz2222ddzzAyyAIyAAiIzAAidxyAIzy A174课堂教育（4）惯性半径 （5）平行移轴公式 （6）主惯性轴方位 （7）主惯性距 zyzyIIiiAA21211 1zzyyz yzyIIa AIIb AIIabA02tan2zyzyIII 0220221()4221()422zyzzyzyzyyzyzyIIIIIIIIIIII175课堂教育 组合图形 组合图形对某轴的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，组 合图形对某轴的惯性矩等于各简单图形对同一轴惯性矩的代数和平面图形的形心主轴 形心主轴是一对通过形心且惯性积为零的轴形心主轴的特征：（1）整个图形对形心主轴的静矩恒为零；（2）整个图形对形心主轴的惯性积恒为零；（3）在通过形心的所有轴中，图形对一对正交形心主轴的惯性矩，分别为最大值和最小值；（4）图形若有一根对称轴，此轴必是形心主轴。
图形对形心主轴的惯性矩为形心主惯性矩176课堂教育第第11章章 梁的应力及强度计算梁的应力及强度计算11.1 梁纯弯曲时横截面上的正应力梁纯弯曲时横截面上的正应力11.2 纯弯曲理论在横力弯曲中的推广纯弯曲理论在横力弯曲中的推广 及梁的正应力强度条件及梁的正应力强度条件11.3 弯曲时的切应力和强度计算弯曲时的切应力和强度计算11.4 梁的合理截面形状及变截面梁梁的合理截面形状及变截面梁小结小结177课堂教育11.1 梁纯弯曲时横截面上的正应力梁纯弯曲时横截面上的正应力横力弯曲：横力弯曲：梁的横截面上即有剪力Fs又有弯距M，这种弯曲称为横力弯曲纯弯曲：纯弯曲：梁的横截面上，剪力Fs为零，弯曲M是一个常数，这种弯曲称为纯弯曲178课堂教育梁在纯弯曲时横截面上的正应力梁在纯弯曲时横截面上的正应力几何方面几何方面（1）纵向线aa和bb变成了相互平行的圆弧线，梁凹边的纵向线缩短，凸边的纵向线伸长.（2）对梁的纯弯曲下的变形作如下假设：梁弯曲后原来的横截面仍为平面，在旋转一定角度后与轴线保持垂直，该假设称为弯曲问题的平面假设平面假设179课堂教育中性层：中性层：梁在变形后凹边纤维缩短，凸边纤维伸长，根据 梁的连续性，由缩短到伸长必然有一层纵向纤维的长度不变，这一层为中性层。
中性轴：中性轴：指中性层与横截面的交线180课堂教育1 21ddbbyxbb1ddxy 由几何图形可知，距中性轴距离为y处的纵向纤维b1b2的线应变为中性轴的曲率为代入得由此可得，横截面各点处线应变与该点到中性轴的距离成正比181课堂教育物理方面物理方面假设梁在纯弯曲时纵向纤维之间无挤压作用，即各条纵向纤维仅发生简单的拉伸或压缩，梁内各点均处于单向应力状态材料弹性范围内有正应力与线应变成正比yEEdA0 xF dd0NzAAEyEFAAS横截面上的法向内力元素 构成了空间平行力系，由空间平行力系的平衡方程，得 静力方面静力方面0yM(d)dd0yyzAAAEyEEMzAzAzy AI 0zS 静矩为零可知中性轴z过形心0yzI惯性积为零可知y、z轴为形心主轴182课堂教育0zM(d)zAMyAMdAEyyAM2dAEyAMzEIM 1zMEI代入yE得ZEIzMyI这是描述弯曲变形的最基本公式其中 为抗弯刚度抗弯刚度，抗弯刚度越大，梁变形的曲率越小，表明梁越不易变形为计算梁在纯弯曲时横截面上任意一点的正应力公式弯曲构件横截面上正弯曲构件横截面上正应力计算公式应力计算公式183课堂教育矩形截面圆形截面正应力的正负号判定方法正应力的正负号判定方法：以中性层为界，变形后凸边的纤维受拉，正应力为正值（拉应力）；凹边的纤维受压，正应力为负值（压应力）。
对一指定截面而言，弯距、惯性矩为常量，y值越大，则正应力越大，所以最大正应力发生在横截面的上、下边缘处，其值为maxmaxzMyImaxzzIWymaxzMW令322/2126zzIbhbhWhh432/26432zzIddWdd为抗弯截面系数，则如果是型钢，可查型钢规格表确定Wz值184课堂教育例例11-1 一简支梁受力如图所示已知：F=5kN求m-m截面上的点1、2的正应力185课堂教育335 10180 10900N mMFa 334540 10 mm12zbhI 321143390030 10N/m50MPa540 1010zMyI3222433900 20 10N/m33.3MPa540 1010zMyI130yymm220yymm解：解：作梁的弯矩图在CD段mm截面上的弯矩为矩形截面对z轴的惯性矩为点1，该点的正应力为点2，该点的正应力为根据弯曲变形判断应力正负号：mm截面上的弯矩为正值，梁在该处变形为凸向下1250MPa 33.3MPa 压应力拉应力如果横截面横放如图示，则最大正应力为多少？有何启示？186课堂教育 11.2 纯弯曲理论在横力弯曲中的推广及梁的正应力纯弯曲理论在横力弯曲中的推广及梁的正应力强度条件强度条件 11.2.1 纯弯曲理论的推广纯弯曲理论的推广()zM x yImaxmaxmaxzMyImaxmaxzMW横力弯曲情况下，梁各横截面的弯距是截面位置x的函数，任意截面上任意一点的应力值为全梁最大正应力则为 或187课堂教育例例11-2 图示的简支梁由I56a工字钢组成，F=150kN，试求此梁危险截面上的最大正应力，及同一截面上翼缘与腹板交界处a点的正应力 。
a188课堂教育a342340cm,65600cmzzWImax375N mM3maxmax6375 10Pa160MPa2340 10zMWmaxmax560212160Pa148MPa560/2aayMy解：解：利用型钢规格表I56a查作弯矩图，该截面的最大正应力危险截面处a点的正应力a点处的正应力也可利用正应力线性变化规律计算，33max8560375 1021102Pa148MPa65600 10aazMyW189课堂教育11.2.2 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 梁内弯矩最大的截面距中性轴最远的点正应力最大，由于该点为单向应力状态，可仿照杆件轴向拉（压）杆的强度条件形式建立梁的正应力强度条件，即 maxmaxmaxzMyI maxmaxzMW或由于脆性材料的许用拉应力远远小于许用压应力，故脆性材料要选择非对称截面，使横截面上最大拉应力降低例如T型截面190课堂教育例例11-3 如图所示，T形截面铸铁梁，若许用拉应力 ，许用压应力 ，试按正应力校核该梁的强度30MPat60MPac191课堂教育8 2 1 12 2 85.2cm8 2 12 2h 3322448 22 122 8(5.2 1)2 12(85.2)cm1212763cmzI 32maxmax84 108.8 10Pa46.1MPa763 10cctzMyI解：解：由图示截面的几何尺寸可确定中性轴位置设中性轴距上边缘距离为h，则截面对中性轴的惯性矩由弯矩图可知最大弯矩发生在B截面，该截面的最大拉应力和最大压应力分别为32maxmax84 105.2 10Pa27.3MPa763 10tttzMyI192课堂教育B截面最大拉应力和最大压应力都小于许用应力，但还不能说该梁是安全的。
因为C截面弯矩值虽小，但下边缘受拉，下边缘各点距中性轴的距离比上边缘各点距中性轴的距离大，产生拉应力有可能大于B截面的拉应力，所以需校核该截面的的压应力不需再校核综上计算，该梁是安全的32maxmax82 108.8 10Pa23.1MPa763 10tttzM yI193课堂教育例例11-4 如图所示的工字型截面外伸梁，梁上作用均布荷载q=20kN/m，许用应力=140MPa,试选择工字钢型号max10kN mM33max610 1071.43cm 140 10zMW解：解：作弯矩图根据强度条件计算截面的抗弯截面系数由此值在型钢表上查得型号为 12.6max 根据选择型号计算 值，不超过 的5%即可377.5cmzW 194课堂教育例例11-5 图示为一受均布荷载的梁，其跨度l=2m，梁截面的直径d=10cm，许用应力 ，试确定梁能承受的最大荷载集度q值为多少？160MPa195课堂教育2max18Mqlmaxmaxmax zzMWMW21 8zqlW33100cm32zdW1001602N/m32kN/mq 解：解：作弯矩图梁横截面上的最大弯矩由梁的正应力集度条件即圆截面的抗弯截面系数故该梁能承受的最大均布荷载集度为196课堂教育 11.3 弯曲时的切应力和强度计算弯曲时的切应力和强度计算 11.3.1 弯曲时的切应力弯曲时的切应力 1.矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力在求切应力时，对切应力的分布作如下的假设：横截面上各点的切应力方向均与两侧边平行。
切应力沿矩形截面宽度均匀分布，即在横截面 上距中性轴等距的各点处的切应力大小相等取一微段梁dx，受力如图所示沿纵向面ac 将梁截开，如图示，列平衡方程0 xF 197课堂教育0 xF*d()d(d)d0AAAy b xA*(d)d()dd0zzAAMMM yy Ay b xAII*ddd()dddzzzzAAMMMy b xy Ay ASIIIddSMFx由代入*d()dSzzzzF SSMyxbIbI *()SzzF SybI矩形截面梁横截面上一矩形截面梁横截面上一点处切应力计算公式点处切应力计算公式198课堂教育切应力在横截面上的分布*()SzzF SybI2*22*dd()24hzyAb hSy Ayb yy22()24SyzFhyImax3322SSFFbhA从而可得横截面上切应力沿高度的分布规律当 时，切应力为零,当y=0时，有切应力极大值，代入2hy 312ZbhI得即矩形截面梁的最大切应力为平均切应力的1.5倍199课堂教育2.I 字型截面梁及圆形截面梁的切应力字型截面梁及圆形截面梁的切应力*SzzF SdI*maxmaxSzzF SdI（1）工字型截面梁，由于腹板是狭长矩形，可以完全采用矩形截面切应力的计算公式切应力沿高度方向按二次曲线规律变化。
在中性轴上切应力为最大，这也是整个截面的最大切应力 为中性轴一边半个截面面积对中性轴的静矩d为腹板的宽度，Iz为整个截面对中性轴的惯性矩型钢查表确定 Iz 及 值maxzS*maxzS200课堂教育*maxmaxSzzF SdI*SzyzF SbI23*max28312zdddS3max4412364SSdFFdAd（2）圆形截面梁的切应力 假设切应力在截面上的分布为：距y轴等距离各点切应力在宽度方向上沿y轴分量相等，且切应力汇 交于一点，仿照矩形截面梁切应力计算公式可知，圆形截面梁的最 大切应力发生在中性轴上截面的最大切应力比平均切应力大33%201课堂教育3.3.薄壁环形截面梁的切应力薄壁环形截面梁的切应力假设环形截面上切应力的分布为：圆环内外周边上的切应力与圆周相切且，并且切应力沿圆环厚度方向均匀分布仿照矩形截面的研究方法，经分析可知，圆环形截面的最大切应力同样发生在中性轴处max2SFA即截面的最大切应力为平均切应力的2倍202课堂教育例例11-6 T形截面梁如图所示已知 ，试求中性轴及翼缘与腹板交界处的切应力100kNSF 3411.34 10 cmzI*maxmax3935162.5100 1050 162.5102Pa11.64MPa50 1011.34 10SzzF SbI*3935100 1050 200(200 162.525)10Pa11.02MPa50 1011.34 10SzzF SbI解：解：T形截面梁，横截面可分解为两个矩形由矩形截面切应力的计算公式得中性轴上的切应力为翼缘与腹板交界处的切应力203课堂教育例例11-7 一矩形截面简支梁，中点处承受集中力F，如图所示。
试求最大切应力 和最大弯曲正应力 的比值maxmax204课堂教育max3/2324FFbhbhmaxmax22/43/62zMFlFlWbhbhmaxmax2hl解：解：在荷载与各支座之间的剪力为常值F/2在梁高度中点处，切应力最大梁跨度中点C处的弯矩有最大值，故正应力最大，且截面C的顶部和底部的弯曲正应力值相等联立上式解得y由于细长梁弯曲正应力远大于切应力，故正应力强度是主要参数205课堂教育11.3.2 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件在最大剪力所在的截面上，中性轴上的各点切应力值最大，即梁的切应力强度条件*maxmaxmaxSzzFSbI一般情况下，梁的设计是由正应力强度条件决定的，而利用切应力强度条件进行校核实际上梁的截面根据正应力强度条件选择后，通常不再需要进行切应力强度校核，只有以下情况需要校核梁的切应力：1）梁的跨度较小或支座附近作用有较大的集中荷载时可能出现弯矩较 小而剪力较大的情况2）木材顺纹方向的切应力强度3）组合截面，当腹板的宽度与梁高之比小于型钢截面的相应比值时，需要校核切应力强度206课堂教育例例11-8 某工字钢简支梁，受荷载如图所示已知l=2m，a=0.2m，q=10kN/m，F=200kN，材料的许用应力 ，,若选择工字钢型号为I25b，问此梁是否安全？160MPa 100MPa207课堂教育max45kN mMmax210kNSF*max21.3cm,1cmzzIdS3maxmax645 10Pa107MPa 423 10zMW*3maxmaxmax22210 10Pa98.6MPa 21.3 1010SzzFSdI解：解：最大弯矩在跨中 最大剪力在支座处（1）校核正应力强度查型钢表知：（2）校核切应力强度故梁满足应力强度条件，此梁是安全的。
3423cmzW 208课堂教育 11.4 梁的合理截面形状及变截面梁梁的合理截面形状及变截面梁 11.4.1 合理截面合理截面 在材料用量一定的情况下，应使其抗弯截面系数与其面积A之比 尽可能大，从而降低横截面上的最大正应力为充分发挥材料的潜力，要根据横截面形式将截面设计成使最大拉压 应力同时达到材料的许用应力通常塑性材料采用对称截面，而脆性材料采用非对称截面综合考虑梁横截面上的应力情况、材料的力学性能、梁的使用条件 及加工工艺等多方面因素/ZWA209课堂教育11.4.2 变截面梁变截面梁 max2()2()6zFxM xbhxW 3()Fxh xb为了充分发挥材料的潜能，节省材料并减轻梁的自重，可将梁的横截面设计成变化的，即变截面梁变截面梁最理想的变截面梁是使梁各个截面的最大正应力均达到材料的许用应力，即等强度梁等强度梁的形式在x=0处由切应力强度确定梁的最小高度 minh210课堂教育 3()Fxh xb鱼腹梁变截面梁在工程中的应用实例M211课堂教育小结小结 纯弯曲、横力弯曲、中性层、中性轴、梁的正应力、切应力及其分布规律等的主要概念根据平面假设，纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式为 对于跨高比较大的梁（），可将纯弯曲时正应力的计算公式推广到横力弯曲情况下使用。
正应力的计算公式为 梁弯曲时的正应力强度条件 矩形截面梁上各点的切应力分布及计算公式 最大切应力计算公式/zMy I/5l h()/zM x y Imaxmaxmaxmax/zzMyIMW*max/zSzF SbImax3/2AsF212课堂教育 工字形截面、圆形截面和圆环形截面的最大切应力计算公式：梁弯曲时的切应力强度条件 由正应力强度条件设计梁的合理截面形式，同时要满足切应力的强度要求根据正应力强度条件、切应力强度条件校核强度，设计合理的截面尺寸及求许用荷载等maxmaxszzF SdImax43AsFmax2AsF*maxmaxmax SzzFSbI213课堂教育第第12章章 梁的变形梁的变形 12.1 梁截面的挠度和转角梁截面的挠度和转角 12.2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程12.3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形12.4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形12.5 梁的刚度校核和提高梁刚度的措施梁的刚度校核和提高梁刚度的措施 小结小结12.6 简单超静定梁简单超静定梁 214课堂教育12.1 梁截面的挠度和转角梁截面的挠度和转角 挠度挠度 v：梁上任一截面的形心沿垂直于梁轴线方向的线位移。
转角转角：梁的横截面绕中性轴相对其原来位置所旋转的角度挠曲线方程挠曲线方程 :挠度v沿轴x的变化规律的函数表达)vf x即挠曲线上任一点处切线的斜率都可以足够精确地代表该点处截面的转角为转角方程)x规定挠度向下为正，向上为负；顺时针转角为正，逆时针转角为负故dtan()dyvfxxtan在小变形情况下215课堂教育12.2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 在梁的纯弯曲变形中，其曲率 为1ZMEI2 3/21d()d(1)vxxv由于梁的变形很小，其挠曲线为一平坦曲线，远小于1，可忽略不计，改写为，2 v在数学上，平面曲线的曲率公式为1()vx 总结可得：()ZM xvEI 上式即为梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程当梁的刚度为常量时，梁的挠曲线近似微分方程可表达为()ZEI vM x 216课堂教育正负号的选取正负号的选取()ZEI vM x()ZEI vM x 弯矩M的正负号与 的正负号相反，故梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程表达为v217课堂教育12.3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 1()dEIvM xxC 12()d dEIvM xxxC xC 对梁的挠曲线近似微分方程两端连续两次积分，得()ZEI vM x 转角方程挠曲线方程积分常数由边界条件或梁的连续光滑条件确定。
连续条件边界条件1212vv1212vv218课堂教育例例12-1 图示悬臂梁，在自由端受一集中荷载F作用，梁的抗弯刚度为 ，求梁的挠曲线方程和转角方程、自由端的挠度 和转角 zEIBfB219课堂教育()()M xF lx()EIvM xFlFx 212FEIvFlxxC231226FlFEIvxxC xC000 xvv处 解：解：把坐标原点放在A点，距A为x处截面的弯矩为由挠曲线近似微分方程两边积分得两边再积分得悬臂梁的边界条件为：在固定端处挠度、转角都等于零，即代入，得120,0CC220课堂教育从梁的的挠曲线大致形状可知，B截面处的挠度和转角为全梁的最大值 和 22FlFxvxEIEI2326FlxFxvEIEI22211()22BFlFlFlEIEI3331()263BFlFlFlfEIEImaxfmax所以，梁的转角方程为梁的挠曲线方程为将x=l代入，可求出自由端的转角及挠度分别为221课堂教育例例12-2 图示跨长为l的简支梁AB，承受满跨的均布荷载q，梁的抗弯刚度为 ，求梁的最大挠度及最大转角EIl222课堂教育2ABqlFF221()()222M xlxqxlxx2()()2qEIvM xxlx 321()232q xlEIvxC解：解：建立坐标系。
由对称性可知支座反力为距A。