第4章 相似三角形4.4 两个三角形相似的判定第2课时 相似三角形的判定定理2知识点 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似1．下列图形不一定相似的是( )A．有一个角是120°的两个等腰三角形B．有一个角是60°的两个等腰三角形C．两个等腰直角三角形D．有一个角是45°的两个等腰三角形2．如图4－4－17，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )A．∠ABD＝∠ACBB．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD·ACD.＝图4－4－17 图4－4－183．如图4－4－18，在△ABC中，点P在AB上移动，当AC2＝AP·AB时，有( )A．△APC∽△ACB B．△APC∽△BPCC．△BPC∽△ACB D. △APC≌△ABC4．如图4－4－19，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，那么边BD＝________时，△ACB与△CBD相似．图4－4－19 图4－4－205．如图4－4－20，要测量一池塘两端A，B之间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到点D，使CD＝CA，连结BC并延长到点E，使CE＝CB，连结DE，如果量出DE的长为25 m，那么池塘的宽AB为________m.6．如图4－4－21，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC2＝AB·AD，求证：△ABC∽△ACD.图4－4－217．如图4－4－22，△ABC是等边三角形，点D，E在BC边所在的直线上，且AB·AC＝BD·CE.求证：△ABD∽△ECA.图4－4－228．如图4－4－23，D是△ABC的AB边上一点，且AB＝6，BD＝4，AC＝2 ，BC＝9，求CD的长．图4－4－239．如图4－4－24，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，则①△AOB∽△COD；②△AOD∽△BOC.下列关于①②的判断正确的是( )图4－4－24A．①②都正确 B．①正确，②错误C．①错误，②正确 D．①②都错误10．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝________时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．图4－4－2511．如图4－4－25，在直角坐标系中，有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点P在x轴上(点P与点A不重合)，使得点B，O，P组成的三角形与△AOB相似，则点P的坐标可能是____________．(找出满足条件的所有点的坐标)12．2017·静安区一模已知：如图4－4－26，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA·BD＝BC·BE.(1)求证：DE·AB＝AC·BE；(2)如果AC2＝AD·AB，求证：AE＝AC.图4－4－2613．如图4－4－27所示，在△ABC中，AB＝8 cm，BC＝16 cm.点P从点A出发沿AB边向点B以2 cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4 cm/s的速度运动．如果P，Q两点分别从点A，B同时出发，问几秒钟后△PBQ与△ABC相似？图4－4－2714．如图4－4－28，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连结BD.(1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；(2)求∠ABD的度数．图4－4－28详解详析1．D 2.D 3.A4.cm或4 cm [解析]①∵∠ACB＝∠CBD＝90°，当＝时，△ACB∽△CBD.∵AC＝4 cm，BC＝3 cm，∴＝，∴BD＝(cm)；②∵∠ACB＝∠CBD＝90°，当＝时，△ACB∽△DBC，可求得BD＝4 cm(此时，△ACB≌△DBC，即相似比为1)．∴当BD的长为cm或4 cm时，△ACB与△CBD相似．5．50 [解析]∵CD＝CA，CE＝CB，∴＝＝.又∵∠ACB＝∠DCE，∴△ECD∽△BCA，∴＝.∵DE＝25 m，∴AB＝2DE＝50 m.6．证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD.∵AC2＝AB·AD，∴＝，∴△ABC∽△ACD.7．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝∠ACE.又∵AB·AC＝BD·CE，即＝，∴△ABD∽△ECA.8．解：∵AB＝6，BD＝4，AC＝2 ，∴AD＝AB－BD＝6－4＝2，∴＝＝，＝＝，则＝.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即＝，∴CD＝3 .9．B [解析]②中两边的对应关系错误．10.或 [解析]∵∠A＝∠A，分两种情况：①当＝时，如图①，△ADE∽△ABC，即＝，∴AE＝；②当＝时，如图②，△ADE∽△ACB，即＝，∴AE＝.综上所述，当AE＝或时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．11．(1，0)，(－1，0)，(－4，0)12．证明：(1)∵BA·BD＝BC·BE，∴＝.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△EBD，∴＝，∴DE·AB＝AC·BE.(2)∵AC2＝AD·AB，∴＝.又∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴∠ACD＝∠B.∵＝，∠B＝∠B，∴△BAE∽△BCD，∴∠BAE＝∠BCD.∵∠AEC＝∠B＋∠BAE，∠ACE＝∠ACD＋∠BCD，∴∠AEC＝∠ACE，∴AE＝AC.13解：设xs后△PBQ与△ABC相似，则此时PA＝2x cm，PB＝(8－2x)cm，BQ＝4xcm.当△PBQ∽△ABC时，有＝，即＝，解得x＝2；当△QBP∽△ABC时，有＝，即＝.解得x＝0.8.答：0.8 s或2 s后，△PBQ与△ABC相似．14．解：(1)∵AD＝BC＝，∴AD2＝＝.∵AC＝1，∴CD＝1－＝，∴AD2＝AC·CD.(2)∵AD2＝AC·CD，∴BC2＝AC·CD，即＝.又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴＝.又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，∴∠ABD＝36°.9。
