切点为(°T，可得切线的方程为y-1--x-1假设1与曲线y=ex相切，设切点为(x0,y0)，琪-1x°-1，消去a得ex0=ex0x°-1，设h(x)=xex-ex-1,则h&x)=xex令h&x)>0，则图1无公切线图2有一条公切线图3两条公切线秒杀秘籍：公切线的几何探秘同理，凹凸性不同的两条曲线，在两个曲线/i(x)>0为凹函数gi(x)v0为凸函数时，且f*x)>0,g(x)>0均在递增区间，如图4,若y=f(x)与y=g(x)有两焦点，可以类比圆的内公切线，当两圆相交时，无内公切线；若y=f(x)与y=g(x)有唯一交点时，如图5所示，可以类比于当两圆外切时，有唯一的内公切线；若y=f(x)与y=g(x)无交点时，如图6所示，可以类比于当两圆相离时，有两条内公切线；①当y=f(x)与y=g(x)切于同一点，设切点为P(x0,y0)，则有0，故不存在切线1。
公切线定理代数表达：()()当y=f(x)与y=g(x)具有公切线时，设直线与y=f(x)切于点Vx,f(x)),与y=g(x)切于点(x,g(x)),122ff(x)=gf(x)f(x)=g(x)00f(x)-f(x片bb② 当y=f(x)与y=g(x)为平行曲线，即g(x)=f(x+a)-b，则有广(x)=广(x)=—占“2+二—1 2x-xa12③ 公切线方程的等量关系f(x)=g‘(x)=fW)-gg)，求参数取范围或者切点的取值范围12题型2：平行曲线公切线问题两平行曲线由于曲率相同，通常单调性单一的两曲线仅有一个交点，故只有一条公切线，类比于两圆的单边外公切线模型f址x)=f(x根据切线方程丁2-y=kQ-x)〜f(x+a)-b-f(x)=fKx)(x-x)1121b+(a+2)x+1的图象也相切，则实数a的取值为()A.12B.8C.0D.4解：y=x+l+1nx的导数为y』1+-，曲线y=x+l+1nx在x=1处的切线斜率为k=2,则曲线歹=兀+1+血在兀=1处的切线方程为y-2=2x-2,即y=2x.由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，y=ax2+(a+2)x+1可联立y=2x,得ax2+ax+1=0，又a#0,两线相切有一切点，所以有△=a2-4a=0，解得a=4.故选：D.例2：已知函数f(x)二x-e：(a>0)，且y=f(x)的图象在x=0处的切线I与曲y=ex相切，符合情况的切线A.有0条B.有1条C.有2条D.有3条解：函数f(x)=x-e；的导数为广(x)=1--e：,a>0，易知，曲线y=f(x)在x=0处的切线1的斜率为1--,aa匚1\即有ex0=1--a桫ax>0，所以h(x)在(y,0)上单调递减，在(0,+s)上单调递增，当x??,h(x)?1,x??,h(x)??，所以h(x)在(0,+s)有唯一解，则ex。
>1，而a>0时，1-丄<1与ex>1矛盾，不存在故选：A.aM秒杀秘籍：公切线的几何探秘y=f(x)与y=g(x)是否有公切线，决定它们公切线条数的是由函数凹凸性和共单调区间交点凹凸性相同的两曲线，在两个曲线fi(x)>0,gi(x)>0时，两个函数均为凹函数，且/*x)>0,g(x)>0时均在递增区间，如图1,若y=f(x)与y=g(x)无交点，可以类比圆的外公切线，当小圆内含于大圆时，无公切线；若y=f(x)与y=g(x)有唯一交点时，如图2所示，可以类比于当小圆与大圆内切时，有唯一的外公切线；若y=f(x)与y=g(x)有两个交点时，如图3所示，可以类比于当小圆与大圆相交时，有两条外公切线；例3：（2018秋•邹城市期中）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+3的切线，也是曲线歹=加（兀+2）的切线，则实数方的值是（）D,2+ln-2A.2+ln-解：根据题意，设y=kx+b与歹=加兀+3的切点为（x,Inx+3）,与y=ln{x+2）的切点为（x,ln{x+2））；1122对于J=lnx+3,其导数yf=—,则切线的斜率歹仃=—,切线的方程为歹-（加兀+3）=—（x-x）,即X2*1X1X11y=丄兀+（加兀+3）—1对于歹=加（兀+2）,其导数y=—^—-,则切线的斜率y'l=丄飞x1x+2x=x2x+212x422兀=兀+2,贝\\-2=—；解可得兀,x=-；则b=（Inx+3）—1=2+加斤；故选：12r+723131331xiA.11t=7,则x+22xx+22例4：(2018春•青山区校级月考)若直线y—kx+b与曲线C:y=3+s和曲线C*y=ex+i同时相切，贝!]b=(12)9373A.-~-ln-2 22解：根据题意，设直线直线y=kx+b与曲线C:y=3+ex相切于(加,3+如)，与曲线C:y=^+2相切于点12(弘创+2),曲线C:y=3+e^,其导数：/=◎,则有八=em,则在点(m,3+em)处切线的方程为1x=my-(3+em)=em(x-m),即y=emx-mem+(3+em),曲线C:y=ex+2,其导数y'=s+2,则有y'l=0+2,2x=n则在(n,s+2)处切线的方程为y-en+2=en+i{x-n),即y=en+^x-nen+2+en+2,则有的=创+2,则有m=n+2,3 3933又由mem-(3+em)=nen+2-en+2,贝y有创+2=_,贝\\n=In——2,贝\\b=-nen+2+en+2=In—；故选：A,题型三：两曲线公共点公切线问题22222当"儿）与y=切于同-点，设切点为叫叫）,则有<广（x）=g，（x）y（x°）_g（x），从而确定参数的取值范围、oo例5：（2018春•攀枝花期末）若曲线歹=祇2与曲线y=lnx在它们的公共点处具有公共切线，则实数Q的值为（）1A•%解：y=ax2,=lax,y=lnx,:.yf=丄，曲线y=ax^与曲线y=lnx在它们的公共点设为P(s,f)处x具有公共切线，.•.2处=1,t=as2,t=ln/,.•"=£,s=4e,a=亠,故选：A.s22e例6：（2017太原一模）设函数f（x）=-%2-2ax（a>0）与g（x）=a^lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数方的最大值为（）1113A.—B.一幺2C.一D.-——2幺22e2幺2解:设公共点坐标为（X），则厂（亠3-2心（宀牛，所以有■）小），即込-2。
牛，解出X=a(x=-3a舍去)，又y=fG)=g(x)，所以有—%2-lax=Q21nx+b，故ooooo2°°°ornfl)110,-为增函数，在一,+°°为减函数,所以当a=-时〃有最大值-.,选A.ke)\e)eZe2的函数在b=—x2-lax=aAnx+b,所以有b=-—a^-aAna，对方求导有b'=-2a(1+Ina)，故方关于a2ooo2例7.（2014盐城期末）设点尸为函数f（x）=—X2+lax与gCx）=3a21nx+2Z?（a>0）图象的公共点，以F为切点可作直线/与两曲线都相切，则实数方的最大值为（）23334232A•評B.-e4C.-e3D.-e3解：设y=/6）与歹=g（x）G>0）在公共点P（x,y）处的切线相同，f'（x）=x+2a,g'（x）=—,由题意oox于（兀）=g（x）,广（x）=gG）,BP-X2+laxoooo2°ox=-3a（舍去），即有2方=丄2—3a21nao2c1“C32=3anwc+2b,x+200X0=—Q2—3a21na,令hH)=22-3q2由兀+2a=得xox(0—t2-3t2]ntG>0),则严或/z心）=2》（1—31n/）,于是当》（1—31n/）>0,即00；当》（1—31n/）v0,即》>幺3时，力心）<0,故力6）在0,es为增函数，在以,+2为减函数，于是力6）在（0,+co）的最大值为力et=-es,故（丿（丿（丿232方的最大值为-^3,故选D.4题型四：两曲线公切线存在性判断和参数取值范围问题例8：（2018春•高安市校级期末）若曲线C:y=ax2（a>0）与曲线C:y=s（其中无理数幺=2.718...）存在公12切线，则整数。
的最值情况为（）A.最大值为2,没有最小值B.最小值为2,没有最大值C.既没有最大值也没有最小值D.最小值为1,最大值为2解：由y=处2,得=,由y=◎，得；/=◎,曲线C:y=ax^与曲线C:y=存在公共切线，设公切线ex.-ax2小小e7+1—:j—，可得2兀=x+2,:.a—x-x212x211/（兀）递减;当"（2,+oo）时，广⑴>0,12与曲线q切于点（,巧），与曲线C?切于点*心2）,则2弩=空=W2+1（X一2）记/⑴二云’则广⑴二飞^'当"E2）时，广⑴<°，幺2幺2/（劝递增.•••当兀=2时，f（x）.二的范围是［丁，+Q,则整数的最小值为2,无最大值.故选：B.min44秒杀解法：由于c:y=ax2(a>0)与曲线C:◎均为凹函数，故根据图9和图10可知，先求出C与C1212公共点的公切线，即2ax=旳=饭2?x2,午，若C与Cooo412要有两个交点，则抛物线开口越小时成立，开口大时将没有交点，与题意不符合，故宀?，选B4例9：(2018-北京模拟)若两曲线y^X2-l与y=a加兀-1存在公切线，则正实数a的取值范围是.解：两曲线y=兀2_1与y=加—1存在公切线，y=兀2_1的导数y'=2x,y=alnx-l的导数为V=—,x设y=x^-l相切的切点为(n,n2-l)与曲线y=alnx-l相切的切点为(m,alnm-l),y-(n^-l)=2n(x-n),aaa=即y-2nx-712-1,y-(alnm-1)=—(x-m),即：y-—x-a+alnm-1:.0,:.=1-Inm,即一=%2(1—加％)有解即可，令g(x)=兀2(1—加兀)，4m24m24/=2x(1-Inx)+=x(l-2lnx)=0,可得x=4e,g(x)在(0,血)是增函数；(血，+oo)是减函数,秒杀解法：如图11,找到y=1与歹=。
加-1相切于同一点的情况，即a、x=peo,由于两函数是一凹一凸，故类比于两圆的内公切线原理，两曲线相离时，有两a=2ex=—1°xP0入2-l=aInx-1100条公切线，如图12所示，故曲线y=alnx-\要更加平缓，根据几何性质即可知道0<仏，2—通常，曲线y=af(x)越陡，则系数同越大，曲线y=af(x)越缓，则系数阀越小，类比二次函数图像即可得知题型五：不切于同一点的两曲线，已知公切线切一曲线的范围，求切于另一条曲线的范围;公切线方程的等量关系广G)=g'(x12X-X12；例10：已知曲线y=兀2+1在点p(x,%2+1)处的切线为/,若/也与函数y=lnx,xe(0,l)00的图象相切，贝収满足()(其中—2.71828...)A1/3da/30在这两点处的切线重合，则点A的横坐标的取值范围可能是()111A.0)B.(-1,--)C.(-,1)D.(1,2)解：当x<0时，f{x)=x2+x的导数为广(兀)=2兀+1；当兀>0时,设A(x,f(x)),B(x,112广(兀)丰f\x),故x<00时，函数/(兀)在点3(兀，111122念2))为该函数图象上的两点，且"11f(兀)—_—的导数为广(兀)—，XX20,/(0)=-1<0,可得xg,411426412521由/(-1)=->0,0不正确；由①可得兀>1,由②可得—=X2<-,即有兀>8,则C,Q不正确.故选：A.42x1422秒杀解法：如图14,易知曲线位于分段的两个区间，且两段属于一凹一凸模型，故可以类比两圆相离时的内公切线,两区间一定属于同一单调区间，兀>0时，/(%)=--属于单调增区间，故当兀v0时，/G)=x2+x的单调增区间为斟,0'根据图像，A可以位于此区间，另-个点B所在区间？？，不好把握，故选乩例12：(2018*葫芦岛一模)若对于函数J(x)=ln(x+1)+X2图象上任意一点处的切线〈，在函数g(x)=Qsinxcosx-x的图象上总存在一条切线/,使得/丄/,则实数。
的取值范围为()212人・［零，1］3・［―1，屮］C.(—00,哗］U［些,+00)D・(―00,—1K41,+00)厶厶厶厶解：函如心g+l)+®•••")=占+2.(其中—1),^^g(x)=asmxcosx-x=l~asm2x-x,/.g'(x)=qcos2x—1；要使过曲线/⑴上任意一点的切线为〈，总存在过曲线g(x)=ox+2cosx上一点处的切线/,使得/丄/，贝1)(212X+11+2x—2(x+1)—2..2^2—2Vx,3x使得等式成立,1+X11+X11■11+2x)(qcos2x—1)=-1,12qcos2兀_1=—212x1+x1.••(上血，0)匸［―1—丨°丨,2^1-1+1611］,解得即d的取值范围为Q・・l或仏，—1・故选：D.兀X1. (2018春•江岸区校级月考)设曲线f(x)=abvc+b和曲线g(x)=sin—+cx在它们的公共点M(l,2)处有相同C・-2D.4的切线，则a+b+c的值为(A・03.兀解：由已知，f(1)=b=2,g(i)=l+c=2,.\c=l,由广(x)=-得广(1)=a,x兀7TX由gr(^)=—cos——+1,得g'(1)=1,.*.€1=1,+/?+c=1+2+1=4,故选：D.乙乙172. (2017秋•微山县校级月考)已知f(x)=bix,g(x)=-X2+mx+-(m<0)，直线/与函数f(x),g(x)的图象都相切，与/(对图象的切点为(1,f(1)),则加等于()A.-1B,-3C,-4D,-2117解：由题意得，/⑴二加兀的导数为广0)=—,g(x)=-x2+mx+-(m<0)的导数为g\x)^x+m,x22•••与/⑴图象的切点为(1,f(1))的切线/的斜率k^r(1)=1,且/(1)二加1=0,所以切点为(1,0),•••直线/的方程为：y=1,丁直线/与g(x)的图象也相切，•••
的图象在点（1,0）的切线相同，.•.1=2°,XQ=三，故选：C.24. （2018-宁城县模拟）已知曲线y^lnx+2和曲线y二加（x+1）有相同的切线，则该切线的斜率为（）B・朽C.1+加2kx+b=Inx+27177,2联立kx+b=加(兀+1)J22解：设切线方程是：y^kx+b,切线与y^lnx+2和歹=加0+1）的切点分别为（叮，件+b）、（=,kx广b）；由导数的几何意义可得£=丄二丄^得x=x+1,再由切点也在各自的曲线上，得XX+11212上述式子解得k=2f故选：D.5. （2017秋•雁塔区校级期末）若存在过点0（0,0）的直线/与曲线/⑴=2-3耽+2x和y=+q都相切，则a的值是（）A.1…或诂解：设直线l\y^kx./=3x2-6x+2,/.I=2,又丫直线与曲线均过原点，于是直线y^kx与曲线x=0y=x3-3x2+2相切于原点时，k=2,直线/的方程为2x-y^0若直线与曲线f（x）=X3-3x2+2x切于点9(x,y)(xH0)，贝山二人,o00X0兀2—3x+2=3x2—6x+2,ooooy=兀3-3x2+2x,0000X0/.2x2一3兀=0,xH0,ooo--3x+2,又k=yf\=2x=3x^-6x+2,00X0003IX=-,:.k=x2-3x+2=--,直线/的方程o2oo4为x+4y=0.直线/的方程为2x—y=0与y=x2+°联立，可得x2—2x+q=0,其中A=0,即（乜2以T解得。
1；直线/的方程为x+4y=0与y=+q联立，可得兀2+才兀+0,其中A=0,艮卩（才）2—4q=0,解得a=—.故选：C.646. （2017太原一模）设函数f（x）=3x2-4ax（a>0）与g（x）=2Q21nx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）1111A.—B.——C.——D.——幺22幺23幺24幺26兀-4亠1)°兀由⑴得3x2-4ax=la^lnx+b(2)000ff(x)=gf(x)[(亠」可[3x2-2ax一2=0,解得兀或兀=--a(舍去)，代入(2)得，-b=2a^\na+a^,构造00003h(x)=2x2lwc+%2(%>0),hf{x)=4x(lux+1),则h(x)在■=/z(x)的最小值为*解：fr(x)=6x-4a,gr(x)=^—,由题意vxrnf1)上单调递减，在_,+oo上单调递增，即ke)(w)所以b的最大值为故选A.7. 已知曲线y=与y=M恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是（）A.I_21n2-2,+oo）e.（21n2,+oo）c.（-°^>,21n2-2〕d.（-°^>,21n2-2）解：将此题转化为y=ea?ex与y=x2的交点问题，由于两个函数都是凹函数，且位于递增区间，故类比两相交圆外公切线原理，则当它们有共点公切线4时，仅存在一条公切线，此时ea?ex02x=x2?x2,a=2ln2-2，当aV2ln2-2时，指数函数y=?exoooe2函数向右平移，在二次函数递增区间一定有两个交点，所以答案为D。
xG0,2e丿，厂(x)>0,f(x)在仏f「11■)0，f(x)=ln2x—x2+1，\L2丿/增函数，当xG0罟=-1-丄+14e2血+12丿(111、在亍，三存在唯一零点，故选B.12e2丿，厂(x)V0,f,+8减函数,丿8.(2016秋荆州高三期中考试12题)函数f(x)=lnx在点P(x,f(x))处的切线1与函数1g(x)=ex的图象也相00切，则满足条件的切点P的个数有(A．0个B．1个解：法一.f(x)=1nx，.f'(x)=,x0x.0即y=丄x+1nx—1，①设直线1与曲线y=g(x)相切于点(x，x010x=—1nx.直线1也为y—=(x+1nx)，即y=x+10xx000)C・2个x=x，f'(x)=—，切线1的方程为y—lnx=—(x—x),0ex£)，gf(x)=ex11.(2018•四川模拟)已知直线1是曲线y=ex与曲线y=e2x—2的一条公切线，1与曲线y=e2x—2切于点(a,b)，且a是函数f(x)的零点，则f(x)的解析式可能为()作出y=lnx10+，②由①②得lnxxxx000图象有两个交点，方程有两解．故选：C0x01..exi=-，x0x+1=十0x—10A．f(x)=e2x(2x+21n2—1)—1B．f(x)=e2x(2x+21n2—1)—2C・f(x)=e2x(2x—21n2—1)—1D・f(x)=e2x(2x—21n2—1)—2解：设直线1与曲线y=ex切点为(m,n)，y=ex的导数为yr=ex，y=e2x—2的导数为yr=2e2x，曲线y=ex在(m,n)的切线的方程为y—em=em(x—m)，可得y=em(x—m+1)，曲线y=e2x—2在点(a,b)处的切线方程为y—(e2a—2)=2e2a(x—a)，即y=2e2ax+e2a(1—2a)—2，可得em=2e2a，em(—m+1)=e2a(1—2a)—2，则m=2a+加2，即有2e2a[1—2a—1n2)=e2a(1—2a)—2，即e2a(2a+21n2—1)—2=0，即有f(x)=e2x(2x+21n2—1)—2，故选：B・12.(2018盐湖区校级模拟)设过曲线f(x)=—ex—x+3a上任意一点处的切线为11，总存在过曲线g(x)=(x—1)a+2cosx上一点处的切线1，使得1丄1，则实数a的取值范围为()1212A・[—1，1]B・[—2，2]C・[—2，1]D・[—1，2]解：由f(x)=—ex—x，得f'(x)=—ex—1，ex+1〉1，.•.g(0,1)，由g(x)=(x—1)a+2cosx，得1+exg，(x)=a—2sinx，又—2sinxg[—2，2]，/.a—2sinxg[—2+a，2+a]，要使过曲线f(x)=—ex—x+3a上任a—2„0a+2..1，解得意一点的切线为,总存在过曲线g(x)=a(x-1)+2cosx上一点处的切线―使得11丄―则<—啜归2.即a的取值范围为[—1，2].故选：D.法二：如图16,作出y=ex和y=lnx图像，可知属于一凹一凸型的，且均位于单调增区间，故两曲线没有交点时类比两圆的相离时内公切线模型，一定有两条公切线，选C。
13.(2018长沙市一中月考)若函数f(x)=1nx与函数g(x)=x2+2x+a(x<0)有公切线，则a的取值范围为()9.(2016益阳模拟)若曲线C:y=ax2(a〉0)与曲线C:y=ex存在公共切线，则a的取值范围为()2(-\0,―B.0,冬C.「、e2——,+8D.r、e2——,+8I8JL4」L8丿L4丿1【答案】DA.A・(1n,+8)B.(—1,+8)C・(1,+8)D.(—1n2,+8)2e解：f'(x)=-,g'(x)=2x+2，设与g(x)=x2+2x+a相切的切点为(s,t)sV0，与曲线f(x)=1nx相切的切点x10.(2017南雄市二模)已知曲线C:y=x2与曲线C:y=1曲〉¥)，直线1是曲线Ci和曲线C2的公切线,设直线1与曲线C切点为P，则点P的横坐标t满足()D.TV解：设1是曲线C和曲线C的公共切线，切点分别是C,12),(m,lnm)，则2lnm—122t==,ln(21丿—12+1=0(0VtVmm—t1111A.0VtVB.VtV2e2e2C.2—1n2—1，s+1sg(—1,0)，且趋近与1时，f(s)无限增大，a>—1n2—1故选：A.图17图18秒杀解法：由于fG),gG)为一凹一凸，类比于两圆的内公切线,根据图17,图18可得,切线切g(J于区间(-1,0),而g(x)=2x+2在区间(-1,0)?,则切线斜率越来越大，故当兀=0时，k=g^0)=2=f(%)=—?x°"o°2此时的公切线方程为y+ln2=2；0--?x0时，y=-l-In2,/.a>-In2-1故选：A・W2x2+x+a,x<014.(2016秋•辽宁期末)已知函数/⑴詔1—>0的图象上存在不同的两点A,B,使得曲线y=f(x)在这两点处的切线重合，则实数。
的取值范围是()A.G，1)C.(―00,—2)U(t，+°°)D.(―°°，土)解：当x<0时，/⑴=兀2+兀+的导数为广⑴=2兀+1；当x>0时，/(%)=丄的导数为广(兀)=—丄，XX2设A(x,f(x)),B{x,f(x))为该函数图象上的两点，且x0时，函数/(兀)在点3(兀，f(x))处的切线方程为：1111222111_2y——=———(兀—兀).两直线重合的充要条件是———=2兀+1①，一=—兀2+②，一X21X122211—=q—兀2②，由①②令T——,贝卩》>0,日a——(/'4+2/'2++1)X4B.(2,+oo)XX2222两直线重合的充要条件是-丄=2兀+1①,X212秒杀解法：如图19所示，无公切线,1由于/(兀)在区间g?,—[j(0,+刃—,0?，根据公切线导数值相秒2秒2等的原理，公切线只会出现在单调性一致的区间，故只能出现在区间3?,丄和(0,+?),由于函数在这两个区W2间属于凹函数，故可类比两圆相离的外公切线，在/(兀)在区间?部分相切，由于兀？艺y0则/?,时取得最小值时，也能作得切线与y=-秒2X>0,如图20,贝!1^>—钢2415.(2017秋•红塔区校级月考)已知曲线y=与y=(兀-1)2恰好存在两条公切线，贝y实数Q的取值范围为()A.(—oo,2加2+3)B.(—oo,2加2—3)C.(2加2—3,+oo)D.(2加2+3,+oo)解：求出两曲线在公共点的切线，两凹函数类比两圆外公切线定理，设它们相切时公共切点的横坐标为兀°,则ex^a=2（x-1）=（x-1）2?x3.a=21n2-3,故根据图像，y=4s-3往右平移时，一定会和函数o/°、oy=（兀-1）2在区间（1,+?）有两个交点，故选B。
解：设公共点的坐标为m^lnm,贝i］函数y=f（x）=a-Jx（a>0）的导数厂（兀）=寸=,曲线6）=丄，贝I］由广（加）=gO，得2m16.曲线y=a4x（a>0）与曲线y=有公共点，且在公共点处的切线相同，贝M的值为.I2)y=g(x)=^-lwc的导数g^x)=^~22x2yjm—j==—(m>0),2^/m2m贝ija=,又=lnx/m,即=a\/m=a4mx—^==1,得\[m=幺，贝ya=—=-Vmdme17.(2018*全国四模)函数f(x)=Inx+与g(x)=x2+l有公切线y=ax{a>0),则实数加的值为_x+1—解：根据题意，函数f{x)=lnx+^~与g(x)=x2+l有公切线y=ax(a>0)，设切点分别为为F(x,y),G(x,X+l112=2兀二*兀=1,q=2,所以公切线为y—2x,X2221TVIY2+1y),/'Cx)=_+_,g'(x)=2x；所以a=2x>0且——2X0+1)227mx-Inx+1-=2xix+1iinInx+2x2—x—1=0,1miii—+=2x(x+1)2Jii设〃(x)=加兀+2x2—x—l(x>0)n丹(兀)=丄+4兀一1>0n/zfx)在(0,+oo)增，又h(i)=0nx=1,m=4,xi故答案：4.古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。
知识就是机积累起来的，经验也是积累起来的我们对什么事情都不应该像〃过眼云烟”O学习知识要善于思考,思考,再思考一一爱因斯坦镜破不改光,兰死不改香——孟郊生活的全部意义在于无穷地探索尚未知道的东西,在于不断地增加更多的知识—做学问的功夫,是细嚼慢咽的功夫好比吃饭一样,要嚼得烂,方好消化,才会对人体有益——陶铸研卷知古今;藏书教子孙——《对联集锦》凡事豫（预）则立,不豫（预）则废——《礼记》知识是珍贵宝石的结晶/文化是宝石放出来的光泽泰戈尔你是一个积极向上,有自信心的孩子学习上有计划、有目标,能够合理安排自己的时间,学习状态挺好;心态平和,关心、帮助同学,关心班集体,积极参加班级、学校组织的各项活动,具有较强的劳动观念,积极参加体育活动,尊敬师长希望你再接再厉,不满足于现状,争取做的更好。