上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页11.4.3 对数求导法对数求导法一、幂指函数的对数求导法则一、幂指函数的对数求导法则二、乘积形式函数的对数求导法则二、乘积形式函数的对数求导法则三、小结三、小结上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页2观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 求导方法求导方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:()().v xu x多多个个函函数数相相乘乘和和幂幂指指函函数数的的情情形形上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页3解解例例1sin(0),.xyxxy 设设求求等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln x上上式式两两边边对对 求求导导得得xxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一、幂指函数的对数求导法则一、幂指函数的对数求导法则上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页4例例2 求求sin(0)xyxx 的导数的导数 .解解 两边取对数两边取对数,化为化为lnsinlnyxx 两边对两边对 x 求导求导1yy coslnxx sin,xx sinsin(cosln).xxyxxxx 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页5(1sin),xyx d_.y 例例3 设设则则分析分析 要求幂指函数要求幂指函数根据对数恒等式，先变换成根据对数恒等式，先变换成 ()ln()eg xf xy ()ln()e.g xf x(按复合函数求微分或导数按复合函数求微分或导数)或或 ()lnln()g xyf x()ln().g xf x(按隐函数求微分或导数按隐函数求微分或导数)上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页6解解 恒等变形得恒等变形得(1sin),xyx lnln(1sin)yxx 根据微分法则知根据微分法则知1ddln(1sin)yxxy 1cos d1sinxx xx 因此因此 1ddln(1sin)cos d1sinyyxxxx xx cos(1sin)ln(1sin.)d1sinxxxxxxx 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页7对幂指函数对幂指函数,(),(),vyuuu x vv x 其其中中可用对数可用对数lnln,yvu 1yy lnvu ,u vu ln.vu vyuvuu lnvyuu v1.vvuu 求导法则求导法则:按指数函数求导公式按指数函数求导公式按幂函数求导公式按幂函数求导公式注注 求导法求导求导法求导:上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页8幂指函数的求导公式幂指函数的求导公式:lnvyuu v1.vvuu 按指数函数求导公式按指数函数求导公式按幂函数求导公式按幂函数求导公式将幂指函数当作幂函数求导将幂指函数当作幂函数求导加上加上将幂指函数将幂指函数当作指数函数求导当作指数函数求导.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页9sin(0)xyxx 的导数的导数.例例4 利用求导公式利用求导公式求求 sin1sinsinlnsinxxzx xxxxx 解解 根据求导公式可得根据求导公式可得 sin1sinsinlncosxxx xxxx sinsinlncos.xxxxxx 注注 结果与例结果与例2中利用对数求导法所得完全一致中利用对数求导法所得完全一致.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页10二、二、乘积形式函数的对数求导法则乘积形式函数的对数求导法则乘积形式函数的求导法则：如果利用乘积形式函数的求导法则：如果利用来求导，理论上是可行的，但对于比较复杂的情来求导，理论上是可行的，但对于比较复杂的情形，例如形，例如uvu vuv 32(1)1,(4)xxxyxe 则过程显得非常繁琐，因此也先取对数，再求导则过程显得非常繁琐，因此也先取对数，再求导.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页11例例5解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(lnx上上式式两两边边对对 求求导导得得142)1(3111 xxxyy32(1)1,.(4)xxxyyxe 设设求求上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页12(1)(2),(3)(4)xxyxx(ln)uuu 1ln2y 对对 x 求导求导 12yy 1(1)(2)2(3)(4)xxyxx 1111.1234xxxx 解解 两边取对数两边取对数ln1ln2xx ln3ln4xx 11x 12x 13x 1,4x 例例6 设设.y 求求上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页13例例7 设设(0,0,1),xababxayabbxab 解解 两边取对数两边取对数ln y 两边对两边对 x 求导求导yy lnabax,bx xababxybxa lnabax bx lnaxb lnlnabx lnln,bxa.y 求求上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页14三、小结三、小结对数求导法适用的函数类型：对数求导法适用的函数类型：1.幂指函数；幂指函数；2.乘积形式函数乘积形式函数.对数求导法则：对数求导法则：对方程两边取对数，按隐函数的求导法则求导对方程两边取对数，按隐函数的求导法则求导.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页153.,().yyx 等等式式两两端端再再乘乘以以左左端端即即对数求导法的步骤对数求导法的步骤:1.取自然对数；取自然对数；2.等式两端分别对自变量求导；等式两端分别对自变量求导；上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页16思考题：思考题：tan3ln22(sin),(2)xxxxyxxx 求求.y 1y2y提示提示:分别用对数求导法求分别用对数求导法求12,.yy答案答案:12yyytan2(sin)(seclnsin1)xxxx 3ln213(2)xxxx 212ln.3(2)3(2)xxxxx 1.设设上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页17 2cos,.xdyyxdx 求求2.设设解法解法2 利用求导公式利用求导公式解法解法1 利用对数求导法，利用对数求导法，略略.2221(cos)(sin)(cos)lncos2xxdyxxxxxxdx 22(cos)(tan2 lncos).xxxxxx 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页18作业作业习题习题1.4 P59-61 A 组组 12 B 组组 8。