The Elements of Computational Fluid Dynamics第二章 有限差分方法基础2.1 有限差分方法概述2.2 导数的数值逼近方法2.3 差分格式的性质2.4 发展方程的稳定性分析2.1 有限差分方法概述 以一维非定常热传导方程为例，介绍有限差分方法的概念、简单构造方法和求解过程2.1.1 基本方程和定解问题22(0)(2.1.1)uutx(,)0,1 0,x t 求解域：(,0)()(2.1.2)(0,)(),(1,)()u xf xuta tutb t初始条件：边界条件：方程(2.1.1)和初边条件(2.1.2)构成了一个适定的定解问题有限差分方法：对于一个偏微分方程，如果把方程中的所有偏导数近似地用代数差商(Algebraic Difference Quotient)代替，则可以用一组代数方程近似地替代这个偏微分方程，进而得到数值解，这种方法称为有限差分方法(Finite Difference Method)012.1.2 求解域及偏导数的离散化 为了用有限差分方法求解式(2.1.1)，需要把其中的偏导数表示为代数形式，为此，首先要把自变量从连续的分布变为离散形式。
这个过程称为求解域的离散化1.空间求解域的离散化0 x 1x2x1MxMx把空间求解域分为M段（均匀剖分）0121,MMxxxxx网格点：=kxk x显然,=1/xM其中,，为空间步长2.时间变量的离散化把感兴趣的时间段(t=T之前)分为N段（均匀剖分），则时间方向的求解域可以划分为01211,NNNtt ttt个离散时刻：=(/,)ntn ttTN 时间步长 求解域被划分为一系列离散的时空网格点 图2.1 求解域的离散化 3.解的离散表示目标：求出所有网格点上物理量u的近似解)=(,)(0,1,;0,1,)knu x tu k x n tkMnN(,)nknku x tu后文中，把记为4.导数的数值逼近把方程中的偏导数项近似表示为代数形式)(2.1.1)(,)(,)(2.1.3)()()(2.1.4)kntxxnntkxxkx tu k x n tuk x n tuu在网格点，方程可以表示为或000Taylor(,)(,)(,)lim(,)(,)(,)lim(,)(,)(,)lim2tttttttuu x ttu x tu x ttu x tu x ttu x ttu x ttu x ttu x tt 按定义（利用展开式），偏导数可以写成下面几种等价形式：0limdifference quotienttt 其中，后面的项称为差商()。
当足够小时，可以用差商来近似导数)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)2tttu x ttu x tu x ttu x tu x ttu x ttu x ttu x ttu x tt即：1-1+1-1(,)()()(2.1.5)()()(2.1.6)()()(2.1.7)2knnnnnkktktknnnnkktktknnnnkktktkx tuuuutuuuutuuuut在网格点，有的向前差商：的向后差商：的中心差商：1111(forward difference)(backward difference)(central difference)nnntkkknnntkkknnntkkkuuuuuuuuuu沿时间方向的向前差分：向后差分：中心差分：ttt其中，分别称为时间方向前差、后差和中心差分算子1-1+1-1()()()()()()2nnnnkkxkxknnnnkkxkxknnnnkkxkxkuxuuuuxuuuuxuuuux空间方向的一阶偏导数可以近似为的向前差商：的向后差商：的中心差商：1111nnnxkkknnnxkkknnntkkkuuuuuuuuu空间方向的向前差分、向后差分和中心差分记为xxx其中，分别称为空间方向前差、后差和中心差分算子。
后文中，将略去差分算子的下标，简记为，)(,)(2.1.3)(2.1.3)txxu k x n tuk x n t中的二阶偏导数应该如何近似呢？2220(,)2(,)(,)(,)limxuu xx tu x tu xx tx txx 根据数学分析中的知识，我们知道21222nnnnkkkkuuuuxx所以，二阶导数可以近似为112nnnkkkuuu称为二阶中心差分112=()()nnnnnkkkkkuuuuu 容易证明：2.1.3 差分格式同一偏导数可以有不同的近似方法，不同的导数近似方法导致方程的不同的有限差分近似FTCS(Forward difference in Time,Central difference in Space)格式时间方向用前差近似，空间二阶导数用中心差分近似11122(2.1.9)nnnnnkkkkkuuuuutx对初始条件和边界条件的离散化00()(0,1,)(2.1.10)()(0,1,)(2.1.11)()(0,1,)(2.1.12)kknnnMnuf xkMua tnub tn式(2.1.9)(2.1.12)称为方程(2.1.1)的一个有限差分方程或有限差分格式(finite difference scheme)。
2.BTCS(Backward difference in Time,Central difference in Space)格式时间方向用后差近似，空间二阶导数用中心差分近似11122(2.1.13)nnnnnkkkkkuuuuutx00()(0,1,)()(0,1,)()(0,1,)kknnnMnuf xkMua tnub tn在研究数值方法时，通常把 tn 时刻的物理量视为已知量，而把 tn+1 时刻的物理量作为待求的未知量因此，式(2.1.13)可以改写成11111122(2.1.14)nnnnnkkkkkuuuuutx2.1.4 差分方程的求解FTCS 格式11122(2.1.9)nnnnnkkkkkuuuuutx可以改写为111(12)(2.1.15)nnnnkkkkuuuu2tx其中，可见，在FTCS格式中，某一点的数值解只依赖于前一时间步的三个点，如图2.2所示图2.2：FTCS格式的模板点1(stencil)nku求解所涉及的典型网格点称为模板格式的点1expliciFTCS2.1.15tn1 schemenknknuu格式可以通过简单的递推关系由某一时间步 的值计算出下一个时间步的值式，称为显示格。
FTCS格式的求解过程01.0()()(0,1,)nkkkknuf xuf xkM赋初始值令,由计算1+1112.(12)(0,1,)nnnnnkkkkkuuuuukM内点数值解计算由计算+1+1003.()()(0,1,)nnnnnMnMua tub tnuu边界处理由，计算，1nn令4.ntT判断是否成立5.输出结果成立不成立2.BTCS 格式11111122(2.1.14)nnnnnkkkkkuuuuutx可以改写为11+1+1-1-(12)+=-(2.1.16)nnnnkkkkuuuu跟FTCS格式不同，BTCS格式中同时涉及到 n+1 时刻的多个未知量，不能递推求解，称为隐式格式(implicit scheme)图2.3：BTCS格式的模板点1.0nknu赋初始值(令,计算)12.nku构造求解的线性方程组3.求解线性方程组1nn令4.ntT判断是否成立5.输出结果成立不成立BTCS格式的求解过程12.1nknu构造求解时刻数值解的线性方程组11+1-1+1-(12)+=-(2.1.16)nnnnkkkkuuuu0,1,kM列出各点差分格式的具体形式10111+1012111+1123211+1211+110:()()1:-(1 2)+=-2:-(1 2)+=-.1:-(1 2)+=-:=b()()nnnnnnnnnnnnnnMMMMnMnkua tkuuuukuuuukMuuuukMut边界条件边界条件写成方程组的形式1n通过求解这个线性方程组，可以得到时刻求解域上各个网格点的数值解。
3.求解线性方程组系数矩阵只有主对角线和相邻的两条次对角线上有非零元素，这种形式的方程组称三对角线为方程组可以通三对角线方程组追过赶法直接求解I.利用一个边界条件将三对角线方程组化为只有主对角线和相邻的一条次对角线上有非零元素的方程组；II.利用另一边界条件追赶法逐点求解1M：是一种高效算法，计算量与未知量个数近似呈线追赶法性关系2.1.5 用时间相关方法求解定常问题考虑非定常热传导方程和定解条件22(0)(,0)()(2.1.18)(0,)(1,)uutxu xf xutaconstutbconst(2.1.18)t 当时，的解与时间无关，与下面的定解问题等价22=0(,0)()(2.1.20)(0)(1)uxu xf xuaconstubconst 2.1.202.1.18显然，定常问题的解也可以通过数值求解得到1-6(2.1.18),110nnkkuuktn在实际求解过程中，无需计算无穷多时间步，只要定解问题的数值解满足 即可认为时刻的数值解为定常解其中，是一个小的正实数，根据对定常解精度的要求事先指定，定常问如上题的时述方法称为求解间相关方法1.nku赋初始值(令n=0,计算)12.nku构造求解的线性方程组3.求解线性方程组1nn 令-64.10判断是否成立5.输出结果成立不成立BTCS格式的求解过程FTCS格式的求解过程01.()()(0,1,)nkkkkuf xuf xkM赋初始值令n=0,由计算1+1112.(1 2)(0,1,)nnnnnkkkkkuuuuukM内点数值解计算由计算+1+1003.()()(0,1,)nnnnnMnMua tub tnuu边界处理由，计算，1nn 令5.输出结果成立不成立-64.10判断是否成立实用中，通常采用下面的求解过程2.2 导数的数值逼近方法2.2.1 精度分析 在上一节，我们得到了一阶偏导数的前差、后差和中心差分近似，以及二阶导数的中心差分近似。
这些近似方法逼近偏导数的程度如何呢？可以用Taylor展开式进行分析)(,)iji ju x yu i x j yu记22331,23(,)(,)(,)22331,23(,)(,)(,)Taylor2!3!2!3!iji ji ji ji jiji ji ji ji juuxuxuuxxxxuuxuxuuxxxx 由展开式，,1,(,)23223(,)(,),(,).()2!3!.()()xi jiji ji ji ji jxi ji juuuuT ExxxuxuxT EOxxxT ETruncation ErrorOxuuxx：其中，称为截断向前差误差，是的量级商一阶精度的差称是的分近似1,(,)23223(,)(,),(,).-()2!3!xi ji jiji ji ji jxi ji juuuuT ExxxuxuxT EOxxxuuxx：也是的向后差商一阶精度的差分近似1,-1,(,)3223(,),(,).22.()3!()2xi jijiji ji jxi ji juuuuT ExxxuxT EOxxTruncation Erroruuxx：中心差商的截断误差比向前差分近似和向后差分中心差商近似小一个数量级。
二阶精度的差称是的分近似一般来讲，对偏导数的近似精度越高，差分格式的精度越高例：一维非定常热传导方程的FTCS格式中涉及的导数差分近似的精度22(0)(2.1.1)uutx123223.()2!3!nnnntkkkknnkknntkkuuuuT EtttututT EOtttuutt一阶精度的 是的差分近似21-122244624621-1222+.22.()4!6!2+nnnnkkkknnkknnnnkkkkuuuuT ExxxxuuT EOxxxuuuuxx 是的二阶精度的差分近似)i jux构造的某种差分近似，可以采用“待定系数法”2.2.2 导数差分近似的待定系数法(,),-1,-2,(,)(,),(1,),(2,)i ji jijiji juxuuuukxi jijij首先，确定近似所使用的“模板点”如：用，构造一阶导数的 阶近似，则模板点为,-1,-2,(,)()/()(2.2.5)ki jijiji juaubucuxOxx 其次，把近似公式写成待定系数的形式,-1,-2,(,)(2.2.5)i jijijuuui jTaylor然后，把，在处做展开，并带入ka b c最后，选定，得到关于待定系数的线性方程组，求解方程组确定系数。
1,-1,-2,(,)(2.2.5)-()()(2.2.6)ki jijiji juxaubucuOxx式可以改写成下面的形式1,k 令,(,)(2.2.6)i ji juuxx比较的左右两侧，得展开式中，项的系数均为零，0(2.2.7)120(2.2.7)abcbc即：两个方程，三个未知量，式有无穷多解1,-2,(,)i jijiji juuuux用，可以构造一阶导数的无穷多种一阶差分近似1,-2,(,)=1=-1-21=(1)(12)()(2.2.8)i jijiji jacbcuc uc ucuOxxx，则0(2.2.8)c 令，就是向后差分近似22,2(,)(,)(2.2.6)0120(2.2.7)40i ji ji juuuxxxxabcbcbc比较的左右两侧，得展开式中，和项的系数均为零，即：2,k 令2,-1,-2,(,)=3/22,1/21=34()(2.2.10)2i jijiji jabcuuuuOxxx 解线性方程组得：，即(,-1,-,)2,(,)(2.2.10)(,)i jijiji ji jui juuuuxx式只涉及到左侧的两个点，称为的二阶后差近似用，可以构造出的一种二阶差分近似。
3,k 令(,)1i jukkx一般情况下，用 个连续的模板点逼近的精度最高为阶22,2(,)(,)333(,)(2.2.6)i ji ji ji juuuxxxxuxx比较的左右两侧，得展开式中，和项的系数均为零有三个待定系数，四个方程1,-2,(,)i jijiji juuuux不可能用，构造出的三阶差因此，分近似2.2.3 导数差分近似方法的差分算子法1.差分算子的定义 算子，一种前置运算符算子和它后面的作用量一起代表一种确定的运算过程u vvAuAAAuu例如：向量满足是一个矩阵，则 可以被视为一个算子，因为定义了一种对 进行操作或运算的规则在引入差分算子的定义之前，先介绍一种特殊的算子移位算子移位算子的运算规则为nnxjjnntjjE uuE uu移位算子的下标表示移位的方向，上标表示移位的步数10+1=1xxxEEE当移位为时，上标可忽略，如：规定差分算子：移位算子和可以表示为移位算子函数的算子差分方法中常用的算子：112211221122112212nnnnxjxxjjjxxxuuuEEuEE算术平均算子+1-(1)1nnnnxjjjxjxxuuuEuE 前差算子1-11-(1)1nnnnxjjjxjxxuu uEuE 后差算子112211+-221122-()nnnnxjxxjjjxxxuuuEEuEE一倍步长中心差分算子-1+1-11-()nnnnxjjjxxjxxxuuuEEuEE两倍步长中心差分算子2.差分算子之间的关系11111222211=221212EEEEEE2112122=2EEEE 所有的差分算子均可用Taylor展开式来估算截断误差项的量级。
)()kkLLuOxLOx如果差分算子 满足称 具有量级21122(11()2nnnnxjjjjOuuuuOx11221)(2(nnnxjjjOxuuuOx11()(nnnxjjjuuxOOxu1()()nnnxjjjuuuOxOx1()()nnnxjjjuuuOxOx3.微分算子与差分算子的关系4.导数的近似 根据差分算子之间的转化关系，可以建立微分算子与其它差分算子之间的联系，从而得到导数的数值近似公式11,xxE 后差：利用差分算子之间的转化关系推导微分算子和后差算子之间近似的关系10ln(1)(1)1nnnxxn注：即：即：与待定系数法得到的结果一致前差近似：中心差分近似：即：5.紧致格式 从上面的推导可以看出，导数的有限差分近似精度越高，所需要的模板点越多对于一阶导数，一般需要5个点才能得到四阶精度的差分近似模板点数太多不仅使数值方法变得复杂，也给边界附近的处理带来一定困难紧致格式：用较少的模板点构造导数的高阶近似3535630630DhhD由得35()6hDO h一方面，35()6hDO h351(1)()(2.2.13)6hDO hhD3()hDO h另一方面，23331()1111()1(2.2.14)()()1O hO hhDO hO h325(2.2.14)(2.2.13)111()()6hDO hO h把代入，得2451+()()6hDO hO h即42(2.2.1+5)1+6DO hhPadDe由此得到微分算子的有理近似，称为近似。
基于Pade近似的导数近似方法，称为紧致格式(compact scheme)2.2.15)在中，和 算子只用到三个模板点上的函数值，所以，这里仅用三个模板点就得到了四阶精度格式46222222421+112120+19DO hDhh类似地，由可以导出二阶偏导数的紧致格式：22(0)(,0)()(0,)()(1,)()uutxu xf xuta tutb t例：考虑热传导方程及定解条件1()ttDOtt 时间方向，采用前差近似224221+,()1+12xDO hhxh 空间导数，用紧致格式211111111=2110111012121212121212xnnnnnnjjjjjjEEuuuuuu 将关系式代入上式得：222212111+1211+12nntjjnnxjjxuuthuu代入微分方程，有即1nku上式为隐式差分格式，联合边界条件，组成一个三对角线方程组，求解线性方程组，可得2.3 差分格式的性质2.3.1 范数的定义及性质1.向量范数2.算子范数AxxA由于是一个向量，所以上面实际上是通过向量范数来定义算子范数给定一种向量范数，称为与该向量范数相容的算子范数i jAann矩阵是一个线性算子，设是矩阵，则：2.3.2 差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用局部截断误差(local truncation error)衡量差分格式逼近微分方程的程度。
)0eL uu设微分方程为，精确解为)0nnkkL uu对应的差分格式为，差分格式的数值解为)0.()eknnekL u x tLT EL u注意到，则差分格式相对于微局部截断误差分方程的为()0()0.()()nkpqL uL uLT EOtOxpq：差分格式的精度局如果差分格式相对于微分方程的为则称差部截断误差时间方向是阶精度空间方向分是格式在，阶精度定定义义1112FTCS2()nnnnnkkkkkuuuuutx例：考虑一维非定常热传导方程的格式11122224224234636(,)2()2()24!()2()3!6!nnnnnnkkkkkknnnnkkkknnkkk nTayloruuuuuLutxuutuxutxtxtuxutx各个物理量在处做展开，有！eu把精确解代入上式，得11122242224362436()()()2()()()2()24!()2()3!6!nnnnnnekekekekekeknnnneeeekkkknneekkuuuuuLutxuuuutxtxtxuutxtx！220nneekkuutx2432224364622()()2!4!3!2()6!()()nnnneeeekkkknekuuutxtLutxtuxxOtOx 2.()()nekLT ELuOtOx即如果时间步长和空间步长之间满足一定的关系，FTCS格式时间方向可达到二阶精度，空间方向可达到四阶精度。
2220()()()()nneee ttexx te txxexxxxkkuuuuuutx2()()nnettkexxxx kuu即243622424364362244362()()2().2!4!3!6!2()()2()24!3!6!nnnneeeekkkknnneeekkkuuuutxtxLT Etxtxuuutxtxxtx 2242()0.()()24!txLT EOtOx当时，根据差分格式精度的定义，按照上面的分析，FTCS格式时间方向是一阶精度，空间方向是二阶精度2.3.3 差分格式的相容性截断误差是在网格点上逐点定义的定义中每个网格点上的数值解构成一个解向量，每一个网格点上的截断误差也构成一个向量因此，可以用向量范数来刻画差分格式的局部截断误差)0()0.()neneneuuL uL uLT EL u：设每个网格点上的数值解构成的解向量为，相应各点上的精确解构成的向量为，与微分方程对应的差分格式为则差分格式的截局部截断误差的范数形式断误差为定定义义0,00,0()0()0lim.lim()0ennextxtL uL uLT EL u ：差分格式的相与微分方程对应的差分格式为。
如果，则称差分格式与微分方程容性的是相容定定义义.()()0,0pqLT EOtOxpq如果差分格局部截断误差式的为，则当时，差分格式是相容的2.3.4 差分格式的收敛性和稳定性1.差分方程的矩阵形式考虑线性的发展方程（双曲型方程和抛物型方程）的差分格式发展型方程的一般形式：(,)0 xug u ut 以非定常热传导方程的FTCS格式为例，将差分格式写成矩阵形式：111(12)nnnnkkkkuuuuFTCS格式：解向量记为：1111101101(,)(,)nnnnTnnnnTuuuuuuuu 考虑到边界条件，则差分格式可以写为：10()nnuQuQ差分算子Dirichlet boundary conditionQ在第一类边界条件（，指定微分方程的解在边界上的值）下，是一个三对角矩阵Q对于线性方程的线性差分格式，为线性算子10nnuQu一般情况下，发展方程的涉及两个时间层的差分格式均可写成()0L u差分方程的一般形式：1()0(2.3.6)nnntL uuQu两种形式之间的关系：2.整体截断误差局部截断误差：差分方程逼近微分方程的程度整体截断误差：差分方程的解逼近微分方程的精确解的程度1()ennneennneuuQutL u设微分方程的精确解为，则其中，为差分方程的局部截断误差。
11(2.3.8)(2.3.8)nnennnuuQuwuuwQwt数值解 满足设精确解和数值解的差为，则下面通过研究差分方程的解逼近微分方程精确解的程度11100()nnnnnnnjnjjwQwtQ QwttQwtQ00w 10nnnjjjwtQ 100nnnjnjjnjjjwtQtQ ()(),njpqnjCtxnj 时刻的局部截断误差010max()()(2.3.10)njj nnnpqjjCCwtCtxQ 取，则1nw定义为差分方程的（与差分格式的局部截断误差、差分算子的范数有关，通常整体截断难以误差3.差分格式的收敛性和稳定性1110,00,0(1)0,0limlim(2.3.11)ennnextxtuut tntxtwuu ：设微分方程的精确解为，由差分方程得到的数值解为，在时刻，当时，如果=0则称差分格式是的收敛性收敛定定义义差分格式的收敛性对于保证数值解的有效性是非常重要的如果差分格式是收敛的，那么，当计算网格足够密时，数值解将相当接近精确解1000010()0()0,00(2.3.12)nnnntL uuQuxtnKK tntxxttuK u ：对差分格式，如果存在正常数，及与 无关的，使稳定性得对于任意的，当，时，有 则称差分格式是稳定的。
定定义义差分格式的稳定性等价于差分方程数值解的一致有界性100001()0()0,(0(1)00(2.3.13)nnnntL uuQuxtKK tnttntxxttQK ：差分格式稳定的充分必要条件是，存在正常数，及，使得对于任意的，当，时，有 定定理理12110nnnnuQuQ uQu证证明明：110010001nnnnuQuK uQuKuuQK：如果差分格式是稳定的，则即 由的任意性及算子范数的定义，有必必要要性性11010110nnnnnuQuQuQKuK u：考虑到如果 成立，必有充充分分性性上述定理建立了算子范数的一致有界性与稳定性之间的关系00jnjnQKKnt由于对任意的，定理均成立，所以，对于稳定的差分格式，有其中，与 无关，可能与 有关101()()(2.3.10)(1)()()()()nnpqjjnpqpqwtCtxQwntKCtxOtx 由得当差分格式稳定时，整体截断误差和局部截断误差量级相同1.()()()()pqnpqLT EOtxwOtx ：对于适定的线性偏微分方程的差分格式，其局部截断误差，如果差分格式是稳定的，其整体截断误差为定定理理10,000(1)lim0()nxttxtnttw 根据上述定理，在某一确定时刻，当，时，对于相容的差分格式，有收敛00 xt 即：相容且稳定的差分格式，当，时，差分方程的数值解逼近微分方程的精确解，差分格式是收敛的。
),()()()xxa bu xu xk bak 如果只考虑初值问题 空间求解域为，或虽然求解域是有限的但在边界处满足周期性条件，即，为整数，则可以得到更强的结论，Lax等价即性定理适定的线性方程初值问题相容格式对于适定的线性偏微分方程的初值问题，如果差分格式是相容的，那么，其收敛的充分必要条件是该差分格式是稳定的即稳Lax等价性定定理：收敛Lax等价性定理是计算流体力学中的一个重要定理直接分析差分格式的收敛性比较困难，而稳定性分析则比较简单Lax定理告诉我们，在一定条件下，收敛性和稳定性是等价的；通过稳定性分析，即可确定差分格式的收敛条件4.稳定性的意义0,t，如果差分格式是稳定的，那么数值解是一致有界的而且数值解范数的上界与时间根据区间内推进的稳定步性的定义数无关10(2.3.16)nnvuQuvuuvu，考虑差分格式由于计算机的字长有限，我们得到的是近似的数值解，而不是精确数值解精确数值解 和近似数从另一角度分析舍入误差，记值解 之间的误为差称为11+(+)0(2.3.17)nnnnuQ u在计算机上，求解的是1100(2.3.18)nnnK是线性算子，所以 满足与差分方程形式相同，所以，对于稳定的舍入差分格式，必误差一有即致有界。
2.4 发展方程的稳定性分析2.4.1 矩阵方法11000(0(1)00()nnnuQunttntxxttQKKK tn 差分格式稳定的充要条件：对于任意的，当，时，有，与 无关Q其中，算子 是一个矩阵，这种通过算子范数研究稳定性的方法称为矩阵方法适用于初值和初边矩阵方法值问题10()1()nnuQuQM tM 差分格式稳定的必要条件：其中，是矩阵 的谱半径，是常数定定理理：1112122110,()1,()(),(1)1(1)()1(1)2!()00nnnnnnMQM tQnnQM ntM tM ntnKK tMQKQK 证明反证法如果由谱半径的性质，有此时，任选一与 无关的，总可以找到一个，使得，与矛盾10()1nnQuQuQM t 如果 是对称矩阵，则稳定的充分必要条件：定定理理：111(1)21221()1()()(1)(1)1(1)()2!()0nnnnnMtnM tQM tnnQM ntM tenKK tQK 证明充分性如果 是对称矩阵，且成立则有即 存在与 无关的，使得：1112122110,()1,()(),(1)1(1)()1(1)2!()00nnnnnnMQM tQnnQM ntM tM ntnKK tMQKQK 必要性（反证法）。
如果由对称矩阵谱半径的性质，有此时，任选一与 无关的，总可以找到一个，使得，与矛盾0M 在实用中，通常取FTCS对于一维热传导方程的格式例例：111(12)(1,2,1)nnnnkkkkuuuukM000nnMuu边界条件：10nnuQu写成矩阵形式：1221nnnnMnMuuuuu1 21 21 21 2QFTCS()1对于格式，是对称矩阵，差分格式稳定的充分必要条件：1)(1)1 2/cos(1,2,1)MMmAMbcabcAabcabmAbca cmMM 利用：是三对角矩阵的阶的三对角矩阵，即则值为性质的特征2(12)2cos12(1 cos)14sin(1,2,1)2mmQMmMmmMM 可得 的特征值为22111114sin12FTCS110022mmMmMtx要求对于任意的，有，即所以，格式的稳定性条件为或矩阵方法是一种通用的稳定性分析方法，但是，由于矩阵的算子范数及谱半径的计算非常复杂，所以难小结：于应用2.4.2 Von Neumann稳定性理论Von Neumann（冯 诺依曼）稳定性理论：分析常系数差分方程初值问题稳定性的通用方法该方法简单、实用，是分析差分格式稳定性的重要工具。
1.1.常常系系数数差差分分格格式式00110,/1(0,1,)(),jnnjjMTnnnnnnMMxLML MMxj xjMuuuuuuuu 把求解域划分为等份，网格间距为求解域内有个网格点，只考虑初值问题，为了消除边界条件的影响，假定解满足周期性条件为整数则，差分方程的解向量为 110(2.4.2)(2.4.2)nnnnnjjjsj snsjuQuuQ uc ucu设差分格式中的任一分量可以写成下面的形式：当 为常数，且常系与无关时，称为数差分格式1nnsnjjjsxjsjsxuQ uc EujQc E引入移位算子，则即 点的差分算子为2 2.有有限限离离散散F Fo ou ur ri ie er r级级数数利用Fourier级数可以使对一些问题的分析变得简单定义在有限区间上的绝对可积的周期性函数可以展开为Fourier级数Fourier对于离散网格点上满足周期性条件的数值解，也可以展开为Fourier级数，称为有限的离散级数Fourier级数：把函数表示为一系列简谐（正弦和余弦）波的叠加2sin()sin()mmxyyk xk考虑一个典型的正弦波波长或波数maxminminmaxmaxmin0,12222222(1,2,/2)mmmLMMLM xxMkL MMkLkmmML 在求解域区间内，有个均匀分布的网格点，假定是偶数，则这些离散点可以表示的正弦波的最大波长为最小波长为最小波数为最大波数为一般地，波数0,FourierxL在上，离散解可以表示为最小波数和最大波数之间且为最小有限离散波数整数倍的一系列简谐波的叠加，称为级数。
0/2 10/2/21Fourier()cos()sin()cos()22nnMMMjmmjmmjmjmuuaau xak xbk xkx利用周期性边界条件，,有限离散级数可以写为/2/2/2 10/21Eulercos();sin()22Fourier()22222mmmmMjMjmjmjik xik xik xik xmmikxikxMik xik xmmmmMjmeeeek xk xiaaibaibaeeu xee 利用公式,把有限离散级数写成复数形式/2/2 1Fourier()()mmjjMik xjmmMmmmmmmik xmjAu xA eAAAkeAw即：是的共轭复指数形式的有限离散级数称为波数下的幅值称为基函复数数简称基011(,)mmmmmMkwwww基矢在每个波数下，各个网格点上的基函数构成量相应的：10,1,()Mjjjjju vu vu vvvM定义向量的内积：为 的共轭复数10,1,1=,0Mjjjkkwwwww wMww：基矢量的正交性波数和对应的基矢量为，其内积为则定定理理110021()0221()()02()11,=1111101jjjMMik xik xjjjjMixLjMjMiiMMjiMwww weeMMeMeeMMe证明：/2/2 1()(0,1,.,)()(),mjjjjjMik xjmmMmmu xxjMuu xuu xA eAu w：如果在上有定义，则可以展开为其中。
定定理理FouriermikxmmxjjxE wewE有限离散级数的基函数有以下性质：移位算子10/222/2Fourier1,ParsevalmjMjjjMik xnnnnjmmmMmu vu vMuu uuA eu=A有限离散级数满足：根据内恒等式积的定义式，定义范数，如果则.Von Neumann方方法法Fourier用有限离散级数分析差分格式的稳定性：1/211/2 1/2/2/2 1/2 1/2/2 1(2.4.3)FouriermjmjmjmmjmnnsnjjjsxjMik xnnjmmMMMik xik xik s xsnnsxmsmmMmMMik xik s xnmsmMuQ uc EuuAec EA ecA eeAc ee对进行离散展开，有22222112Parseval()max,mmmik s xnnnnmmsmmmmissmmuAAc eAc ekx 上式两边取范数，根据恒等式，有其中222+111100()()=()nnnnnmmmmmmuAAAu 所以，1()()0nKKK tn 根据稳定性的定义，得差分格式稳定的充分必要条件是其中，且与 无关10000Vo(2.4.2n Neum)00()1annnnnjjjsj suQ uc utxCttxxC t ：常系数差分格式稳定的充分必要条件是：存在，和，当，时上述条件件称为。
条定定理理0()1C 在实用中，一般取，所以稳定性条件为：11(1)1()1()1()0()nnC ntCtCtnC tC teeKeKK tnK 证明：充分性：如果成立，那么取，显然，且与 无关因此，格式是稳定的Von Neumann()1 C t 必要性：反证法假设格式是稳定的，如果条件不成立，即111()1()()1kknnkkntCkCkCtKC t 对任意给定的，可以构造一个序列，使得当时，因此，当时，与稳定性条件矛盾，所以，4.Von Neumann简简化化的的方方法法/2/211/2 1/2 111()ma1x1()()mjmjmmmmMMik xik xik s xnnnjmmsmMmMik s xnnmmsnik s xmmsnmmmmmuAeAc eemAAc eAGc eAGnGmmGnmG 从另一角度研究差分格式的稳定性：由利用基函数的正交性，有，令，称代表 时刻和时刻第 个波的幅值的比值所以，意大因子味着为放12211nnmmnnnnmmmmAAuAAu，即数值解的振幅随时间减小，差分格式具有正耗散性，是稳定的Von NeumannVon Neumann注：条件是初边值问题稳定的必要条件，所以，可以用方法对初边值问题的稳定性进行初步分析。
2.4.3 稳定性分析实例221FTCSuutx抛物型方程的格式.111212,(=)nnnnkkkktuuuux差分格式为111(1 2)m km km km km kik xnnkmik xik xik xik xnnnnmmmmuA eAeA eA eA e把代入上式，得12(12)122cos14sin2mmnikxikxmmnmmmAGeeAkxkx放大因子的模为22,14sin12102sin2102mmmkxkxkx 稳定性的要求：对于-即2Lax-Wendroffuuatx双曲型方程=0的格式.22111112211111()(2)22()(2)22nnnnnnnkkkkkkknnnnnnnkkkkkkka tatuuuuuuuxxa tcccuuuuuuux差分格式为令，则111121()(2)22m km km km km km km km kik xnnkmik xik xik xik xik xik xik xnnnnmmmmuA eccAeA eAeeAeee把代入上式，得1222222221sin(1 cos)()1(1 cos)sin1(1 cos)(1)nmmmnmmAGicckxAGcccc 22211(1 cos)(1)11mGccc稳定性的要求：即求解不等式得Lax-Wendroff1c 即格式的稳定性条件是。
212(cos1)sin,mmGicta tckxxx 放大因子其中，223FTCSuuuatxx对流扩散方程=的格式.11111222nnnnnnnkkkkkkkuuuuuuuatxx差分格式为222222(1 2)4(1 2)cos(4)cos1mGcc稳定性的要求：22222224(12)sin2(4)cossin02(12)0,arccos4mmmmGcGcGkxc 直接求解不等式比较困难，考虑先求出随 变化的所有极值点，然后，在各个极值点求解关于、的不等式求解得在的极值点：201mG当时，22(10124)1mG 当时，稳定性条件：222222222222222(1 2)cos412(1 2)(1)400cos224(1 2)4(1 2)cos(4)cos1(2,122)0mcccccGccc 当时，分两种情况考虑：时，,由，把代入得格式稳定所以，稳定性条件：2222222222222222222222(1 2)(2)400242(1 2).1422(1 2)cos4(1 2)4(1 2)cos(4)cos12(1 2).1422(1 2)arcco42smmccccIccGccGIcccIc 时，；如果，那么把带入，由稳定性的要求，得如果，那么220,10222cc无意义，极值点只能是此时，稳定性条件是，222222(12)c2o21221FTCs224Sccccc 稳定性条件：所以，当时，稳定性的对流扩散方程的格式稳定的条件是条件为因此，。
4 方程组问题的稳定性分析.00uwatxwubtx考虑方程111 21111121 21111()(2)22()(2)22nnnnnnnkkkkkkknnnnnnnkkkkkkkcc cuuwwuuucc cwwuuwww求解该方程组的某个差分格式为12,a tb tccxx其中，1111,m km knumik xik xnnnnnkumkwmmmnwmAuAewAeAkxA令21 22+1211 212sinsin2sin12sin2nnmmc cicAG AGicc c写成矩阵形式，121 221211 212sinsin2sin12sin2nnnumumwmnnnwmumwmAc cAicAAicAc cA则21 22211 221,21 21 2()112sinsin20sin12sin212sinsin2Gc cicicc cc ci c c稳定性条件：矩阵的谱半径求解得22221 21 241 21 21 2()12sinsin2141sin121Gc cc cc cc cc c 因此，稳定性的条件为求解不等式，得格式的稳定性条件为Von NeumannG一般来讲，当把条件用于差分方程组的稳定性分析时，得到的只是稳定的必要条件。
当矩阵 为对称矩阵时，得到的是充分必要条件5 非线性问题的局部线化稳定性分析.22BurgersFTCSuuuutxx考虑黏性方程=的格式11111222nnnnnnnnkkkkkkkkuuuuuuuutxx差分格式为属于非线性差分格式，上面的分析不再适用非线性问题的稳定性分析没有统一的方法，是一类非常复杂的问题在实用中，可以采用局部线性化的方法，转化为线性问题，再进行稳定性分析11111222nnnnnnnkkkkkkkuuuuuuuatxx把差分格式线化为221()22cta tacxx假定 是常数，稳定性分析的结果为，2222122nkuttxx即222min,2nkxtu 亦即222min,2maxnknkkuxtu 显然，不同的对时间步长的要求不同，在非定常计算中，应取各个网格点所允许的时间步长中最小的一个即严格地说，采用局部线性化方法，得到的只是稳定性的必要条件。