1 行列式的基本理论1.1 行列式定义定义 行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不 同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有 关，逆序数之和为偶数符号为正，逆序数之和为奇数符号为负 这一定义可以写成aaKa1112LIna21a22a2 n=2 (-lMij2L 丿n)a a L a 、、^MMM1j 2j nj” 这里Lj1 j2 L jnaaan1n2nn表示对所有 n 级排列求和. j1 j2L jn1.2 行列式的性质1、行列式的行列互换，行列式不变；aaAaaaAa11121n1121n1aaAaaaAa21222 n=1222n 2MMMMMMaaAaaaAan1n2nn1n2nnn2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；aaAaaaAa1112In11121nMMMMMMaaAaaaAai1i2ink1k2knMMM=—MMMaaAaaaAak1k2kni1i2inMMMMMMan1an2an1an2annann3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；a11Ma12MAa1nMa11Ma12MAa1nMkai1Mkai2MAkainM=k ai1Mai2MAainMan1an2Aannan1an2Aann4、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；aaAa11121nMMMaaAai1i2inMMM=kkakaAkai1i2inMMMaaAan1n2nna11Ma12MAa1nMai1Mai2MAainM=0ai1Mai2MAainMan1an2Aann5、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。
a11a12Aa1naaAaaaAaMMMnM12M1nM11M12M1nMb + cb + cAb + c=bbAb+ccAc1 122n n12n12nMMMMMMMMMaaAaamlaAaamlaAan1 n2 nn n1 n 2 nnn1 n 2 nn6、把一行的倍数加到另一行，行列式不变7、行列式有两行（列）相同，则行列式为零1.3 基本理论2・ a A + a A +A + a Ai1 j1 i 2 j 2in jnD-: j其中a,为元素a代数余子式2．降阶定理二 |A||d - CA-1B3．=|A||C|4．|AB| = |A||B|5．非零矩阵 k 左乘行列式的某一行加到另一行上，则新的分块行列式与原来相等1.4 几种特殊行列式的结果1・ 三角行列式aaAa1112A1n0a22a2 n=a a Aa （上三角行列式）MMM11 22 nn00Aanna110A0a21a22A0=a a Aa （下三角行列式）MMM11 22 nnan1an2Aann2・ 对角行列式a0A110aAM22M00A00=a a A a11 22 nnann3・对称与反对称行列式a11a12Aa1nD =a21Ma22MAa2 nM满足 a = a (i = 1,2A n, j = 1,2Aj jian1an2AannD 称为对称行列式0aaA1213a0aA2123D =aa0A3132MMMaaaAn1n2n3a1na2na3nM0满足aij=-a (i, j = 1,2A n),jiD 称为反对称行列式。
若阶数n为奇数时，贝IJ D=01 1 1 A 1aaaAa4. D =i23na 2a2a2Aa 2=n (a 一 a )ni23ni jMMMM1< j
abbAbbabAb例2计算行列式D =bbaAbnMMMMbbbAa解：各行加到第一行中去111A1a + (n - 1)ba+ (n - 1)b Aa + (n - 1)bbbAbAbabD =a=Lz + (n - 1)b-bbaAbn MMMMMMMbbAabbbAa100A0ba-b0A0=la + (n - l)b_b0a-b A0=\a + (n - 1)b]a - b)n -1MMMMb00Aa - b例 3 计算行列式123An -1n234An1D =345A12MMMMMn12An-2n -1解：从倒数第二行(-1)倍加到第n行123An-1nn(n +1)23An -1n111A11 - n11A11 - n111A1 - n1将所有列加到第一列上011A11MMMMMMMMMM11 - n1A1101-n1A111 1 An(n +1) 1 1 A2 M M1 - n1M1第一行的（-1）倍加各彳丁上罗-nnMM0nA1 1 - n1 1n(n +1) |2 N-n-n呼(-1) n-1-(-1)nn-1) (1 + n)n22n-12.3 两条线型行列式的计算除了较简单的行列式（如上、下三角行列式等）可以用定义直接计算，少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外，一般行列式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简，使行列式中出现较多的零元素，然后直接用特殊的行列式的值来计算（如上（下）三角行列式等）或利用按行（列）展开定理降低行列式的阶数。
例4a10b1a2AAD =MM00Abn0A计算n阶行列式0 00 0M Ma bn-1 n-10 an解： 按第 1 列展开得1 - n 1 AabA00b00A02210aA00ab0A0322D — aMMMM+ b ( -1) n+10abA01n3300AabMMMMn-1n-100A0a000Abn n-1=a a A a + (- l》+i b b A b1 2 n 1 2 n.2.4 箭型行列式的计算AAAAKAAA0MM对于形如M0nM0MMnM0nM0MMnM0InAAA0AAA的所谓箭型（或爪形）行列式，可以直接利用行列式性质化为三角或次三角形行列式来计算，即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零1 1 A 1100A21例5计算行列式D -MMMM/ b0n - 1A01n0A011c 一 c n 2 n-1(一 1叶 n!(1 -1 -A — 丄)2 2 nn-12.5 三对角行列式的计算o o对于形如o o o 的所谓三对角行列式，可直接展开得到两o o oo o项递推关系D "D +BD ，然后采用如下的一些方法求解n n-1 n - 2方法1如果n比较小，则直接递推计算方法 2 用第二数学归纳法证明：即验证 n=1 时结论成立，设n < k时结论也成立，若证明n二k+1时结论也成立，则对任意自然数相应的结论成立方法3将D "D +PD变形为D - pD二q(D - pD )，其n n -1 n - 2 n n -1 n -1 n - 2中 P + q 二 a - - pq = B 由韦达定理知 p 和 q 是一元二次方程x2 - ax- B二0的两个根。
确定P和q后，令f (x)= D - pD ，则利用 n n -1f (n)= qf (n — 1)递推求出f (n)，再由D = pD + f O递推求出D n n -1 n方法 4 设 D m，代入 D -aD - PD 二 0 得 xn -ax-B二 0 (称nnn -1n-2之为特征方程)，求出其根x和x(假设x丰x)，贝iJd=k xn + k xn1212n1 1 2 2汶里k，k可通过n = 1和n=2来确定12a + PaP0A001a+PaPA00例6计算行列式D二01a+PA00nMMMMM000Aa+PaP000A1a + P解:将行列式按第n展开，有D 二(a + P)D -aPD ,n n -1 n - 2D — a D = P (D — a D ),n n -1 n -1 n -2D -PD 二a(D -PD ),n n -1 n -1 n - 2=B n - 2 (D — aD ) = B n21D — aD = B 2 (D — aD ) = An n—1 n 一 2 n—3同理，得D — BD 二ann n —1(n + 1)a n , a = B ；所以* a n+1 — B n+1a — B2.6利用范德蒙行列式范德蒙行列式具有逐行元素递增的特点。
因此遇到具有逐行（或列）元素方幂递增或递减的所谓范德蒙型的行列式时，可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值11A1x + 1x + 1Ax +1例 7 计算行列式1D = x 2 + x1 1M2x2+x22MAnx 2 + xn nMx n-1 + x n—211x n-1 + x n—222Ax n-1 + x n-2nn解：把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此推直到把新的第n-1行的-1倍加到第n行，便得范德蒙行列式11LxxL12D =x 2x2L12MMxn—1xn—1L121xnx2nMxn—1n=H (x — x ).ijn>i〉j >12.7 Hessenberg 型行列式的计算A 对于形如°AAA°°°°°° °° °° °A A A °NNNNNNAAAAA A A AN NN NN N的所谓 Hessenberg 型行列式，可直接展开得到递推公式，也可利用行列式的性质化简并降阶例8计算行列式D =n123An—1n1—12—2°°n—2— ( n — 2)n—1—(n — 1)解：将第1, 2・・n-1列加到第n列，得1 21 — 13An —1D =2—2n°°n—2—(n—2)n —11 -1n(n +1)2__n(n +1)(—1)1+n2°=(—1) n+1-(n — 2)(n+1)!n—12.8 降阶法将行列式的展开定理与行列式性质结合使用，即先利用性质将行 列式的某一行（或某一列）化成仅含一个非零元素，然后按此行 （列）展 开，化成低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列 式直接计算出结果。
1111abcda 2b2c2d2a 4b4c4d4左边1000ab—ac—ad—aa 2b2 — a2c2 — a2d2— a2a 4b4 — a4c4 — a4d4— a4b — ab 2 — a 2(b 2 + a 2)(b 2 — a 2)c—ac2 — a2(c 2 + a 2)(c 2 — a 2)d — ad 2 — a 2(d 2 + a 2)(d 2 — a 2)111=(b — a )(c — a )(d — a)(b 2 + a 2)(a + b)(c 2 + a 2)(c + a)(a 2 + d 2)(d + a)1(c 2 + bc + b 2) + a(c + b)1(a 2 + bd + b 2) + a(b + d)=(a — b)(a — c)(a — d )(b — c)(b — d )(c — d )(a + b + c + d)=(a — b)(a — c)(a — d )(b — c)(b — d )(c — d )(a + b + c + d)例 9 计算行列式a + aA120AMa + aAn2a + a=2 1Ma + an1a + a1 na + a 甘 Hi □2 n，其中 n > 2, n a 丰 0M ii=10解：a + aa+ aAa+ a ]11121n 1a + aa+ aAa+ a+21222n 1AAAA 1—2aa + aa+ aAa+ a 1nn1n2nn」a+1 a1(10)—1r 11A1 \—2aMaM1101J、a1a2A a丿nOOnnD=n—2ai—2a2O—2a n=(-2) n aii=ia2 jj=i'一 2ai-i'ai](i0、(iA i、—2ai+2MMl10i丿、aiA a丿nOkai?k—2a ‘kn丿n--工 a -i2 k=i ki - n2=(-2) n-2 Hii=ia (n — 2)2 — najj ,k=1-a -ik2.9 加边法（升阶法）行列式计算的一般方法是降阶，但对于某些特殊的n阶行列式， 如除对角元（或次对角元）外，其余元素相同或成比例的行列式，有 时加上一行一列变成n + 1阶的行列式，特别是第1列为G，°，・・・°、并 适当选择第 1 行的元素，就可以使消零化简单方便，且化简后常变成箭型行列式，这一方法称为升阶法或加边法例10计算n阶行列式Dn+ix + aaaAai23nax+aaAai23naax+aAa・i23nMMMMaaaAx+ai23n1 aaAa12n—1 x0A0r (i =12,A , n +1)—1 0xA0M MMM—1 00AxnirV a1 + 2L_jaAax1n、j=10xA0=Xn1 +工a_LMMMJ j =1X丿00Ax2.10 计算行列）和相等的行列式对于各行（或各列）之和相等的行列式，将其各列（或各行）加到第1列（或行）或第口列（或行），然后再化简。
例11计算n阶行列式d =n11M101A1A M011 00 1M M1 11 1解:D c + c (i = 1,2 A n -1)n—n i11M1011M01r 一 r (i = 2,3 A n)i 110M0_ 110M_101_1M00n 一 10M00(n+2)( n _1)(_1) 2 (n ― 1)=(_1) 2 (_1)( n _1) (n 一 1)=以下不作要求2.11 相邻行（列）元素差 1的行列式计算以数字1, 2,-n为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素差1 的n阶行列式可以如下计算：自第1行（列）开始，前行（列）减去 后行（列）；或自第n行（列）开始，后行（列）减去前行（列）， 即可出现大量元素为 1 或—1 的行列式，再进一步化简即出现大量的 零元素对于相邻行（列）元素相差倍数k的行列式，采用前行（列）减 去后行（列）的一k倍，或后行（列）减去前行（列）的一k倍的步 骤，即可使行列式中出现大量的零元素1aa2 Aan-2an-1an-11aAan-3an - 2例12计算n阶行列式D =an-2a n -11Aan-4an-3nMMMMMa 2a3a4 A1aaa2a3 Aa n -11解1 一 an00A000 1-an0A00001 - an A00d r 一 ar (i 二 1,2A n — 1)(1 - a n ) n-1n i+1 MMMMM000A1 - an0aa2a3Aa n -112.12 线性因子法0 x y z1 + x111例13计算行列式（1） x 0 Z y(2)11- x 11y z 0 x11 1+z1z y x 01111-z解：（1）由各列加上第一列可见，行列式D可被x + y + z整除。
由第二列加到第一列，并减去第三、四列可见，D可被y + z-x整除，由第三列加于第一列，并减去第二、四列可见，D被x- y + z整除最后 由第四列加于第一列，并减去第二、三列可见，D可被x + y - z整除 我们把x, y, z视为独立未知量，于是上述四个线性因子式是两两互素 的，因此，D可被它们的乘积(x + y + z)(y + z - x)(x - y + z)(x + y - z)整除此乘积中含有一项：-z4，而D中含有一项：(-1)c4 z4 = z4所以 D = -(x + y + z)(y + z - x)( x - y + z)(x + y - z)= x4 + y4 + z4 - 2x2y2 -2x2z2 - 2y2z2(2)将行列式D的前两行和两列分别对换，得1 - x 1 1 11 1 + x 1 1D =1 1 1 + z 11111 - z如果以-x代替x，又得原来形式的行列式因此，如果D含有因 式x，必含有因式-x，由于当x = 0时，D有两列相同，故D确有因式 x，从而D含有因式x2同理D又含有因式z2，而D的展开式中有一 项： ： x2z2 ，从而 D = x2z21 1 A 1例14计算行列式：Dn = 1 1 -x A 1MM M1 1 A (n -1) - x解：由n阶行列式定义知，D的展开式是关于x的首项系数为n(-1)n-1 的(n -1)次多项式 D (x),当 x = k(k = 0,1,2A n - 2)时，D (k) = 0,因此 nnD (x)有n-1个互异根0, 1、2…n-2由因式定理得ft2(x-k)1 D (x)nnk=0n-2故 D = ( -1) n-1 ft ( x - k )nk=02.13 辅助行列式法f (a ) Ai i 例15计算行列式Dn = Mf (a ) Anf (a )nM f (a )nn其中f(x)(i二1,« A n)为次数W n-2的数域F上多项式a A a为F中i n解：若a A a中有两个数相等，则D =01 n n若a A a互.异，1nf( x)iMf (x)n则每个n阶行列式f ()2Mf (a2 )n2f (a )nMf (a )n n是 f (x), f2(x)A fn (x)任意n个数。
的线性组合，据题f (x)的次数w n-2(i = 1 A n)因而G(x)的次数W n-2,彳旦 G(a ) = A = G(a ) = 0,2n这说明G(x)至少有(n - 1)个不同的根，故G(x) = 0,所以G(a” = 0即D (x) = 0n且令xn-f = 0的n个根为2.14 n阶循环行列式算法abbAcabA例16计算行列式D =ccaA/ 0MMMcccAbbb其中abc丰0.b丰cMa解 ： 设 f (x) = a + b( x + x 2 + A + xn-1)x (i = 1A n),则 D = r! f (x )i n ii=1ccxn — — — — x由 f (x) = a + b(- x) = a + b[ b + -]有x — 1 x — 1 x — 1c—xbia + b (a - b) x + (c - a)i—x -1利用关系式工x =工x x =Ai i j—x x A x — 0i1 i 2 i,n-1x -1 i(-i)n+1 b得 D =FIni =1(a - b) x + (c - a)i—x -1iH [(a - b) x + (c - a)]ii=1H(x -1)ii =1=(-1)n+1 b(a - b)n + (c- a)n = c(a- b)n - b(a- c)n(-1) n+1 c + (-1) n c - bb例17设f (x),(i, j = 1,2,A ,n)都是x的可微函数ij证明：-dxAAMfn2(x)f121M f (x)n1f (x)f1n (x)2 nMf (x)nn=Yi=1f (x)liM d,,(x)dx订Mf (x)n1f (x)nM—f (x)dx inMf (x)nn证明：ddxAAMf2(x)n2f121M f (x)n1f (x) fln (x)2 nMf (x)nn(x)A f (x)]2 j 2 njn=工(-1)5jj2A j”)d[f (x) f (x)A f (x)]dx 1 j1 2 j 2 njnj1 j2A jnd=工(-1)5 A j2 A jn )[〒f (x) f dx 1j1 2j2j1 j2A jn(x)A fjn (x)+A + (f1j1(x) f2j2(x)A fn-1jn-1(x)(dfn二工(—1)5"j”)(ff (x)f (x)A f (x) + A+ 工(—1)5"jn)f (x)A fnjndx1j12j21j1(X)〒 f (X)) n Tjn j dx njn( x )[fl x)Adx11dx 12f21M( x )f ( x )22MAfn1( x )f 2 ( x)n2Adx 1nMnnE 21 (x)df12(x)E 22(x)Af (x)f ( x ) An2,,(x)dx 2 nnf1 (x) 1n dnnf (x)f11( x)21Af (x)d“-1,1 ■—f ( x) dx n1AAfd2.15 有关矩阵的行列式计算=Zi = 1例 18 设 A 与 B 为同阶方阵：证明：二 |A + B\ - |A — B|证明：例 19f (x)11M d,,(x)dx让Mf (x)n1f ( x)12M d,,(x)dx i 2Mf2(x)n2f (x)1nM—f (x)dx inMf (x)nnA + BB + AA + B0BA =BA — B二 |A + B||A — B|aBAA为n阶可逆方阵，0为两个n维列向量，则| A+a0[ = (1 + 0 A-1a )A|证明：Aa—0' 1 0(n+1)( n+1)a1 + 0 A -1a|A| (1 + 0A-1a)例20若n阶方阵A与B且第j列不同。
证明：21-n|a + b| = |a|+|b|a + bab1 71 a + b1 ab12 * 2 2 2 *=2* 2 2* +2 * 22*AMMa + banbn证明：A + B\ =nnab11* M*+ 2 n-1* M*anbn=2 n-1(| A| + |B|)=2 n-1…21-n|A + B = |a| + |b|2.16 用构造法解行列式例 21 设 f (x) = (a - x)(a〜-x)(a - x), a 丰 b证明： D =aibb=a - f (b) — bf (a)a-ba3证明：构造出多项式：a + xa+xa + xa + xa—aa — a1111=b + xa + xa + x=b + xa —ba — b22b + xb+xa+ xb + x0a — b33a a—aa—a1a—aa — a11111=b a—ba—b+ x1a —ba — b22b0a—b10a — b33D(x)n D(x)=aaa1a—aa—a113baa+ x1a —ba—b22bba10a—b33D + xD1当 x = —a, D(—a)=a + (—a)1b — ab — a0+ (一a)b—a当 x = —b, D(—b)=a — b100a—ba —b20a — ba — ba — b3= (a — a)(a1— a)(a — a) = D — aD31= (a —b)(a —b)(a1 2 3— b) = D — bD = f (b)f (a)2.17 利用拉普拉斯展开x一10A000x一1A00例22证明：n级行列式D =MMMMM000Ax-1anan-1an 一 2Aa2a + x1证明：利用拉普拉斯展开定理，按第n行展开有:一 100A00x00A00x一10A000一10A00D = （—1） n+1 aMMMMM+ （-1） n+2 aMMMMM+A+n n000A一1n-1000A一100000Ax一 1000Ax一 1x一10A00x一10A000x一1A000x一1A00（—1） n+（n-2）a MMMMM + （—1） n+（n-1） （a1+ x） MMMMM乙000Ax0000Ax一 1000A0一 1000A0x=（一l）n+ia （一l）n_] + （一1）n+2a （一1）n一2x +A + （一1）n+（n一2）a （一1）xn一2 + （一1）n+（n-i）（a + x）xn一1 n n 一1 2 1=a + a x + a x2 +A + a xn一2 + a xn-1 + xnn n-1 n-2 2 1以上等式右端的n -1级行列式均为“三角形行列式”。
计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算行列式的几种方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法3 用多种方法解题面我们运用上面的介绍的各种方法，选用多种方法解题x a a A aa x a A a例23计算：D =a a x A anM M M Ma a a A x法1：将第23…，n行都加到第1行上去，得x + (n - 1)a x + (n - 1)a Ax + (n - 1)a1 1 A 1aa x A aa=[x + (n - 1)a]a a A aMM M Mxa a A xAA再将第一行通乘-a，然后分别加到第23…,n行上，得11AD = [ x + (n - 1)a ]n0AM0 = (x - a) n-i[ x + (n - 1)a ]法2 :将2,3,…门行分别减去第1行得xaaAaa - xx-a0A0D =a - x0x-aA0nMMMMa - x00Ax - a再将第23…门歹都加到第1列上去，x + (n —1)aaaA a0x-a0A 0便有D =00x-aA 0=[x + (n - 1)a ](x - a) n-1f IMMMM000A x - a法3：将d添加一行及一列，构成(n +1)阶行列式n10axaAaAaaD =0axAanMMMM0aaAx再将第2,3,…,n +1行分别减去第1行，于是有1-1ax-a令D =-10nMM-10a A a0 A 0x - a A 0M M0 A x - a在x = a时，显然D = 0，在x丰a时,n4 aaa1Ax - ax-ax - a-1 10A0D = (x - a) nn-1 01A0M MMM-1 00A1则4 naaaa1 +Ax - a x-ax-ax - a010A0=(x - a) n001A0—[x + (n - 1)a]( x - a) n-1MMMM000A1法 4：令(x - a) + a0 + aA0 +a0 + a(x - a) + aA0 +aD =n MMM0 + a0 + aA(x - a) + a11A11x - a 0A0a-xx + aA000 x -a A 00a-xA00—+ aM M MMMMM0 0A x - a00Ax-a000Aa-xx - a将右式中第二个行列式的第23…门列全加到第1列上去，再利用 Laplace 展开，所以得 D =(x — a) n + na (x — a) n-1 = [ x + (n — 1) a ](x — a) n-1例 24 求证a110M0a201M0an00M1证：若记A = (a , a ,A , a12)，n0b1b2MbnB = (b ,b A ,b ) 时，上述等式可简记为1 2 n=(-1) n+1 £ a biii=1=(―1) n+1 AB证法一：把第2行乘以(-a )，第3行乘以(-a )，…，第n +1行乘12以(-a )，全部加到第一行，再对第1行利用拉普拉斯定理展开，注n意各项的符号应为(-1) 1+ n+1+1 = (-1)n+1 ，得证。
证法二：对n用归纳法当n二1时，假设对于n时命题成立,0b1那么=(-1)1+1 a b， 命题成立11当左下角单位矩阵为n +1阶(即z )n时，对最后一行展开，aaAaaaaAa012n -1n12n-1A010A0010A0b=(—1) 2 n+2 b+ (—1)2 n+1-1 -MMM1zBnMMMMMn00A1000A1bn ―1=D + D12其中 D = (-1) 2n+2+1+n a b = (-1) n+1 a b1 n n n n而按归纳法假设D = (-1)2n+1 - (-1)n-1+1 a b = (-1)n+1 a b 毕2 j j j j j =1 j =1证法三：利用分块矩阵的乘法厂 A 0 Y z - B) ( A< z BnA0A-ABABA-1 ==(-1) n+1 cznBzn00zn=(一1) n+1 ABIzn两边取行列式，得在演算一个问题时，需要仔细分析已给的条件，灵活运用已经知道的性质和已经掌握的技巧，不要死套公式，这样就能很快求出答案。