非线性有限元非线性有限元第第9 9章章 梁和壳梁和壳 计算固体力学计算固体力学第第9 9章章 梁和壳梁和壳 1 1引言引言2 2梁理论梁理论3 3基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁4 4CBCB梁的分析梁的分析5 5基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳6 6CBCB壳理论壳理论7 7剪切和膜自锁剪切和膜自锁8 8假设应变单元假设应变单元9 9一点积分单元一点积分单元1 1 引言引言 第第8 8章介绍了章介绍了平面单元平面单元( (二二维维) )和实体单和实体单元元( (三维三维) ) 在二维问题中，最经常应用的低阶单元是在二维问题中，最经常应用的低阶单元是3 3节点三节点三角形和角形和4 4节点四边形在三维单元中，是节点四边形在三维单元中，是4 4节点四面体和节点四面体和8 8节点六面体单元节点六面体单元结构单元结构单元可以分类为：可以分类为：梁，运动由仅含一个独立变量的函数描述；梁，运动由仅含一个独立变量的函数描述；壳，运动由包含两个独立变量的函数描述；壳，运动由包含两个独立变量的函数描述；板，即平面的壳，沿其表面法线方向加载；板，即平面的壳，沿其表面法线方向加载；膜，面内刚度很大，面外刚度很小的薄壳。
膜，面内刚度很大，面外刚度很小的薄壳1 1 引言引言 1 1 引言引言 在工程构件和结构的模拟中，梁和壳及其他结构单元是极为有在工程构件和结构的模拟中，梁和壳及其他结构单元是极为有用的应用薄壳，如汽车中的金属薄板，飞机的机舱、机翼和风向用的应用薄壳，如汽车中的金属薄板，飞机的机舱、机翼和风向舵；以及某些产品的外壳，如、洗衣机和计算机舵；以及某些产品的外壳，如、洗衣机和计算机 用连续体单元模拟这些构件需要大量的单元，如采用六面体单用连续体单元模拟这些构件需要大量的单元，如采用六面体单元模拟一根梁沿厚度方向至少需要元模拟一根梁沿厚度方向至少需要5 5个单元，而既便采用低阶的壳单个单元，而既便采用低阶的壳单元也能够代替元也能够代替5 5个或者更多个连续体单元，极大地改善了运算效率个或者更多个连续体单元，极大地改善了运算效率 应用连续体单元模拟薄壁结构常常导致较高的宽厚比，从而降应用连续体单元模拟薄壁结构常常导致较高的宽厚比，从而降低了方程的适应条件和解答的精度低了方程的适应条件和解答的精度 在显式方法中，根据稳定性的要求，采用连续体单元的薄壁结在显式方法中，根据稳定性的要求，采用连续体单元的薄壁结构被限制在非常小的时间步。
构被限制在非常小的时间步1 1 引言引言 通过两种途径建立壳体有限元：通过两种途径建立壳体有限元：1 1 应用经典壳方程的动量平衡应用经典壳方程的动量平衡( (或平衡或平衡) )的弱形式；的弱形式；2 2 结构的假设直接由连续体单元建立基于连续体结构的假设直接由连续体单元建立基于连续体(CB)(CB)方法方法 第一种途径是困难的，尤其是对于非线性壳，因为对于非线性第一种途径是困难的，尤其是对于非线性壳，因为对于非线性壳的控制方程是非常复杂的，处理起来相当不方便；它们的公式通壳的控制方程是非常复杂的，处理起来相当不方便；它们的公式通常由张量的曲线分量来表示，并且其特征，诸如厚度、连接件和加常由张量的曲线分量来表示，并且其特征，诸如厚度、连接件和加强件的变量一般也是难以组合而且对于什么是最佳的非线性壳方强件的变量一般也是难以组合而且对于什么是最佳的非线性壳方程的观点也不一致程的观点也不一致 第二种第二种CBCB方法方法( (基于连续体基于连续体) )是直观的，得到非常好的解答，它是直观的，得到非常好的解答，它适用于任意的大变形问题并被广泛地应用于商业软件和研究中因适用于任意的大变形问题并被广泛地应用于商业软件和研究中。
因此，我们将关注此，我们将关注CBCB方法这种方法也称为退化的连续体方法这种方法也称为退化的连续体方法1 1 引言引言 在大多数板壳理论中，通过强制引入运动假设建立平衡或者动在大多数板壳理论中，通过强制引入运动假设建立平衡或者动量方程，然后应用虚功原理推导偏微分方程量方程，然后应用虚功原理推导偏微分方程 在在CBCB方法中，在方法中，在连续体弱形式的变分和试函数中强制引入运动连续体弱形式的变分和试函数中强制引入运动假设假设因此，对于获得壳和其它结构的离散方程，因此，对于获得壳和其它结构的离散方程，CBCB壳方法更加直壳方法更加直观在关于壳的观在关于壳的CBCB方法中，由两种途径强化运动假设：方法中，由两种途径强化运动假设：1 1）在连续体运动的弱形式中，或者）在连续体运动的弱形式中，或者2 2）在连续体的离散方程在连续体的离散方程 由二维梁描述由二维梁描述CBCB方法编程特点，应用第一种途径的理论，检验方法编程特点，应用第一种途径的理论，检验CBCB梁单元建立梁单元建立CBCB壳单元，编程，发展壳单元，编程，发展CBCB壳理论，结合由于大变形壳理论，结合由于大变形在厚度上变化的处理方法，给出在三维问题中描述大转动的方法。
在厚度上变化的处理方法，给出在三维问题中描述大转动的方法 CBCB壳单元的两点不足：壳单元的两点不足：剪切和膜自锁剪切和膜自锁将描述假设应变场的方将描述假设应变场的方法防止发生自锁，给出了缓和剪切和膜自锁的单元例子法防止发生自锁，给出了缓和剪切和膜自锁的单元例子 描述应用在显式程序中的描述应用在显式程序中的4 4节点四边形壳单元一点积分单元节点四边形壳单元一点积分单元这些单元是快速和强健的，并且适用于大规模问题的计算这些单元是快速和强健的，并且适用于大规模问题的计算 当结构一个方向的尺度当结构一个方向的尺度( (长度长度) )明显大于其它两个方向的尺明显大于其它两个方向的尺度，并且沿长度方向的应力最重要时，可以用梁单元模拟梁度，并且沿长度方向的应力最重要时，可以用梁单元模拟梁理论的基本假设是：由一组变量可以完全确定结构的变形，而理论的基本假设是：由一组变量可以完全确定结构的变形，而这组变量只是沿着结构长度方向位置的函数应用梁理论获得这组变量只是沿着结构长度方向位置的函数应用梁理论获得可接受的结果，横截面尺度必须小于结构典型轴向尺度的可接受的结果，横截面尺度必须小于结构典型轴向尺度的1/101/10。
典型的轴向尺度典型的轴向尺度为：为： 支承点之间的距离；支承点之间的距离； 横截面发生显著变化部分之间的距离；横截面发生显著变化部分之间的距离； 所关注的最高阶振型的波长所关注的最高阶振型的波长 梁单元假设在变形中垂直于梁轴线的横截面保持平面不梁单元假设在变形中垂直于梁轴线的横截面保持平面不要误解横截面的尺度必须小于典型单元长度要误解横截面的尺度必须小于典型单元长度1/101/10的提法高度的提法高度精细的网格中可能包含长度小于其横截面尺寸的梁单元精细的网格中可能包含长度小于其横截面尺寸的梁单元( (尽管尽管一般不建议这样做一般不建议这样做) )，在这种情况下实体单元可能更适合在这种情况下实体单元可能更适合2 2 梁理论梁理论2 2 梁理论梁理论梁理论的假设梁理论的假设 运动学假设关注梁的中线运动学假设关注梁的中线( (也称为参考线也称为参考线) )的运动由垂的运动由垂直于中线定义的平面称之为法平面直于中线定义的平面称之为法平面 梁横截面几何形状梁横截面几何形状 广泛应用的梁理论有两种：其运动学假设是：广泛应用的梁理论有两种：其运动学假设是：Euler-Bernoulli梁梁：假设中线的法平面保持平面和法向；称为工程：假设中线的法平面保持平面和法向；称为工程梁理论，而相应的壳理论称为梁理论，而相应的壳理论称为Kirchhoff-Love壳理论。
壳理论Timoshenko梁梁：假设中线的法平面保持平面，但不一定是法向；：假设中线的法平面保持平面，但不一定是法向；称为剪切梁理论，相应的壳理论称为称为剪切梁理论，相应的壳理论称为Mindlin-Reissner壳理论2 2 梁理论梁理论梁理论的假设梁理论的假设 考虑一点考虑一点P P的运动，它在中线上的正交投影为点的运动，它在中线上的正交投影为点C C如果法平如果法平面转动视为一个刚体，则面转动视为一个刚体，则P P点的速度相对于点的速度相对于C C点的速度给出为点的速度给出为rvPC2 2 梁理论梁理论TimoshenkoTimoshenko梁理论梁理论在二维问题中，角速度的非零分量是在二维问题中，角速度的非零分量是z 分量，所以分量，所以zzee . 法线的角速率 yyer rvPC相对速度相对速度为为 xy ervPC中线上任何一点的速度是中线上任何一点的速度是 x 和时间和时间 t 的函数，因此有的函数，因此有yMyxMxMvvtxeev),(即梁上任何一点的速度是相对速度和中线速度之和即梁上任何一点的速度是相对速度和中线速度之和yMyxMxMvyveervvtxvtyxvtxytxvtyxvMyyMxx, ,xyzeee2 2 梁理论梁理论TimoshenkoTimoshenko梁理论梁理论应用变形率的定义应用变形率的定义 MyxxyyyxMxxxxvDDyvD,21, 0, 变形率的非零分量只有轴向分量变形率的非零分量只有轴向分量和剪切分量，后者为和剪切分量，后者为横行剪切横行剪切。
),sym(jiijvD txvtyxvtxytxvtyxvMyyMxx, , 由于梁内的变形率是有限的，非独立变量由于梁内的变形率是有限的，非独立变量 和和 只只要求要求C C0 0 连续，连续，位移（挠度）和截面转动各自独立位移（挠度）和截面转动各自独立，使截面发生，使截面发生剪切变形后保持平面剪切变形后保持平面MivEuler-BernoulliEuler-Bernoulli理论理论 运动学假设是法平面保持平面和法向，因此，法线的角速运动学假设是法平面保持平面和法向，因此，法线的角速度是由中线的斜率的变化率给出度是由中线的斜率的变化率给出Myxv,上式等价于要求剪切分量为零，表示在法线和中线之间的夹角没上式等价于要求剪切分量为零，表示在法线和中线之间的夹角没有变化，即法线保持法向轴向速度则给出为有变化，即法线保持法向轴向速度则给出为 txyvtxvtyxvMxyMxx,变形率给出为变形率给出为 0 , 0 ,xyyyMxxyMxxxxDDyvvD2 2 梁理论梁理论021,MyxxyvD注意在上式中的两个特征：注意在上式中的两个特征：1 1）横向剪切为零；）横向剪切为零；2 2）在变形率的表达式中出现了速度的二阶导数，梁内的变形率）在变形率的表达式中出现了速度的二阶导数，梁内的变形率是有限的，即非独立变量的速度场必须为是有限的，即非独立变量的速度场必须为C C1 1连续。
连续Euler-BernoulliEuler-Bernoulli理论理论 2 2 梁理论梁理论 E-B E-B梁理论常称为梁理论常称为C C1 1 理论，因为它要求理论，因为它要求C C1 1 近似转角由位移转角由位移对坐标的导数给出对坐标的导数给出( (区别于区别于TimTim梁位移与转角相对独立梁位移与转角相对独立) )梁单元常常是基于常常是基于E-BE-B理论，在一维情况下，理论，在一维情况下，C C1 1 插值是很容易构造的插值是很容易构造的 Timoshenko Timoshenko梁有两个非独立变量梁有两个非独立变量( (未知未知) )，在，在E-BE-B梁中只有一梁中只有一个非独立变量类似的简化发生在相应的壳理论中：在个非独立变量类似的简化发生在相应的壳理论中：在Kirchhoff-LoveKirchhoff-Love壳理论中只有壳理论中只有3 3个非独立变量，而在个非独立变量，而在Mindlin-Mindlin-ReissnerReissner壳理论中有壳理论中有5 5个非独立变量（经常应用个非独立变量（经常应用6 6个） E-B E-B梁理论要求梁理论要求C C1 1 近似是近似是E-BE-B和和Kirchhoff-LoveKirchhoff-Love理论的最大缺理论的最大缺陷，在多维空间中陷，在多维空间中C C1 1 近似是很难构造的。
由于这个原因，在软件近似是很难构造的由于这个原因，在软件中除了针对梁之外很少应用中除了针对梁之外很少应用C C1 1 构造理论构造理论2 2 梁理论梁理论 横向剪切在厚梁中是明显的，在横向剪切在厚梁中是明显的，在TimoshenkoTimoshenko梁和梁和MindlinMindlin壳壳中常常应用当梁趋于薄梁时，中常常应用当梁趋于薄梁时，TimoshenkoTimoshenko梁中的横向剪切在理梁中的横向剪切在理想性能单元情况将趋于零因此，在数值结果中也观察到了垂直想性能单元情况将趋于零因此，在数值结果中也观察到了垂直假设，它隐含着对于薄梁横向剪切为零假设，它隐含着对于薄梁横向剪切为零 这些假设主要是以实验为依据的：这一理论预测与实验测量这些假设主要是以实验为依据的：这一理论预测与实验测量相吻合对于弹性材料，梁的闭合形式解析解也支持这一理论对于弹性材料，梁的闭合形式解析解也支持这一理论 它带来的好处是在有限元程序中，用中厚壳代替薄壳，用铁它带来的好处是在有限元程序中，用中厚壳代替薄壳，用铁摩钦柯梁代替伯努利梁摩钦柯梁代替伯努利梁 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁为什么要建立为什么要建立CBCB梁和梁和CBCB壳：壳：1 1 梁与板壳组合的偏置梁与板壳组合的偏置(offset)(offset)2 2 接触问题的处理接触问题的处理3 3 边界条件的处理边界条件的处理 通过指定一个偏置量，可以引入偏置。
偏置量定义为从壳的通过指定一个偏置量，可以引入偏置偏置量定义为从壳的中面到壳的参考表面的距离与壳体厚度的比值中面到壳的参考表面的距离与壳体厚度的比值梁作为壳单元的加强部件：（梁作为壳单元的加强部件：（a a）梁截面无偏置）梁截面无偏置 （b b）梁截面有偏置）梁截面有偏置 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁 建立建立CBCB二维梁的公式，结构的控制方程与连续体二维梁的公式，结构的控制方程与连续体的控制方程是一致的：的控制方程是一致的：质量守恒质量守恒线动量和角动量守恒线动量和角动量守恒能量守恒能量守恒本构方程本构方程应变应变- -位移方程位移方程右为右为CBCB梁单元，左为母单元连续体单元的节点仅在顶部和底部，梁单元，左为母单元连续体单元的节点仅在顶部和底部，在在 方向的运动一定是线性的这些节点称为方向的运动一定是线性的这些节点称为从属节点从属节点 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁为常数的线称为为常数的线称为纤维纤维，沿着纤维的单位矢量称为，沿着纤维的单位矢量称为方向矢量方向矢量 为常数的线称为为常数的线称为迭层迭层 主控节点主控节点 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁从属节点从属节点 主控节点主控节点 在纤维将从属节点与参考线连接的内部截面上，引入在纤维将从属节点与参考线连接的内部截面上，引入主控节主控节点点，其自由度描述了梁的运动。
以主控节点的广义力和速度建立，其自由度描述了梁的运动以主控节点的广义力和速度建立运动方程在一条纤维上，运动方程在一条纤维上，每一主控节点每一主控节点联系联系一对从属节点一对从属节点，三三点共线点共线3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁假设假设： 1 1 纤维保持直线；纤维保持直线； 2 2 横向正应力忽略不计，即横向正应力忽略不计，即平面应力条件平面应力条件 ； 3 3 纤维不伸缩纤维不伸缩0yy 第一个假设与经典的第一个假设与经典的Mindlin-ReissnerMindlin-Reissner假设中要求法线保持假设中要求法线保持直线是不同的，直线是不同的，纤维可以不垂直于中线纤维可以不垂直于中线，称其为修正的，称其为修正的M-RM-R假设 如果如果CBCB梁单元近似地为梁单元近似地为TimoshenkoTimoshenko梁，其纤维方向尽可能地梁，其纤维方向尽可能地接近中线的法线方向是必要的，通过指定从属节点的初始位置可接近中线的法线方向是必要的，通过指定从属节点的初始位置可以实现这一点否则，以实现这一点否则，CBCB梁单元的行为将从根本上偏离梁单元的行为将从根本上偏离TimoshenkoTimoshenko梁，并且可能与所观察到的梁的行为不一致。
梁，并且可能与所观察到的梁的行为不一致 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁 注意到纤维的不可伸缩仅适用于运动学描述，不适用于动力学注意到纤维的不可伸缩仅适用于运动学描述，不适用于动力学描述不可伸缩性与平面应力的假设相矛盾不可伸缩性与平面应力的假设相矛盾：纤维通常接近于：纤维通常接近于y y方向，方向，如果如果 ，则必须考虑速度应变，则必须考虑速度应变 0yyyyD 通过不使用运动，而是由本构方程来计算通过不使用运动，而是由本构方程来计算 ，消除了这种，消除了这种矛盾令 ，由，由 计算沿厚度方向的变化这等价于计算沿厚度方向的变化这等价于由物质守恒获得厚度，因为平面应力的本构方程与物质守恒有关由物质守恒获得厚度，因为平面应力的本构方程与物质守恒有关然后修正节点内力以反映沿厚度方向的变化这样，不可伸缩性的然后修正节点内力以反映沿厚度方向的变化这样，不可伸缩性的假设仅仅适用于运动假设仅仅适用于运动 yyD0yyyyD假设假设：1 1 纤维保持直线；纤维保持直线； 2 2 横向正应力忽略不计，即横向正应力忽略不计，即平面应力条件平面应力条件 ； 3 3 纤维不伸缩纤维不伸缩0yy3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁运动运动：通过主控节点的平移：通过主控节点的平移x(t), y(t)x(t), y(t)和节点方向矢量的旋转描述和节点方向矢量的旋转描述运动运动从从x x 轴逆时针旋转的转角为正轴逆时针旋转的转角为正)(tI通过对连续体单元的标准等参映射，由从属节点运动给出梁的运动通过对连续体单元的标准等参映射，由从属节点运动给出梁的运动 NNNnIIInIIInIIINtNtNtt2111*,xxxx连续体的标准形函数（在节点指标中连续体的标准形函数（在节点指标中* *代表上节点或下节点）代表上节点或下节点） 为了使上面的运动与修正的为了使上面的运动与修正的M-RM-R假设相一致，基本连续体单元假设相一致，基本连续体单元的形函数在的形函数在 方向必须是线性的。
因此，母单元在该方向只方向必须是线性的因此，母单元在该方向只有两个节点，沿着纤维方向只能有两个节点速度场为有两个节点，沿着纤维方向只能有两个节点速度场为 NNNnIIInIIInIIINtNtNtt2111*,vvvv3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁运动运动在从属节点的运动中，现在强制引入不可伸缩条件和修正的在从属节点的运动中，现在强制引入不可伸缩条件和修正的M-RM-R假设假设 thttthttIIIIIIIIpxxpxx0021 ,21pI为主控节点的方向矢量，为主控节点的方向矢量，h0 是伪厚度是伪厚度( (初始厚度初始厚度) )，因为它是沿着，因为它是沿着纤维方向在单元的顶部与底部之间的距离纤维方向在单元的顶部与底部之间的距离这是连续体单元向这是连续体单元向CBCB梁梁单元转化的关键一步单元转化的关键一步 IIIhXX0当前节点的方向矢量给出为当前节点的方向矢量给出为 IyIxIIIItthtsincos10eexxp总体基矢量总体基矢量 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁从属节点从属节点的速度是坐标的材料时间导数，服从的速度是坐标的材料时间导数，服从 tthtttthttIIIIIIIIIIpvvpvv0021 ,21由每个节点的三个自由度描述由每个节点的三个自由度描述主控节点主控节点的运动的运动 TIMyIMxImastIITIMyIMxImastIIvvtuutdd,dd 运动运动写出矩阵的形式写出矩阵的形式为为 dTvvmastIITyIxIyIxIslaveIIvvvv上标上标slaveslave和和mastmast强调连续体节点是从属节点，梁节点强调连续体节点是从属节点，梁节点为主控节点。
为主控节点3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁由于从属节点速度是与主控节点速度相关的，所以节点力的关系为由于从属节点速度是与主控节点速度相关的，所以节点力的关系为yIxIyIxIIIIIIIIIslaveIITImastIyIxImastIffffxxyyxxyymff10100101ffTf节点力与主控节点的速度是功率耦合的，在节点力与主控节点的速度是功率耦合的，在I 处处 节点力节点力 可以看出可以看出nIIIIIIIIIxxyyxxyyT000T000TTT21 10011001这里定义ITIfd 为了将标准连续体单元转化为为了将标准连续体单元转化为CBCB梁单元，必须强化平面应力梁单元，必须强化平面应力假设采用假设采用应力和速度应变的层间分量应力和速度应变的层间分量是方便的构造每层的基是方便的构造每层的基矢量为矢量为 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁21222122,yxxyyxyxyxyyxxeeeeexxe*,IIIIIINyyNxx与迭层正切与迭层正切 垂直于迭层垂直于迭层 本构更新本构更新 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁 在迭层分量上加在迭层分量上加“帽子帽子”，它们随着材料转动，因此考虑是，它们随着材料转动，因此考虑是共旋的。
变形率的迭层分量给出：共旋的变形率的迭层分量给出：yyxyyxxxlamlamTlameeeeeeeeRDRRD其中在应力计算中，必须观察平面应力约束在应力计算中，必须观察平面应力约束0yy如果本构方程是率的形式，则约束是如果本构方程是率的形式，则约束是0DtDyy例如，对于各向同性次弹性材料，应力率分量给出为例如，对于各向同性次弹性材料，应力率分量给出为 yyxyxxxyxxyyxyxxDDDEDtDDtDDtD2100121001102求解得到求解得到xxyyDD xyxyxxxxDEDtDDEDtD1 ,3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁求解得到求解得到xxyyDDxyxyxxxxDEDtDDEDtD1 , 对于更为一般的材料对于更为一般的材料( (包括模型中缺少对称性的定律，诸如包括模型中缺少对称性的定律，诸如非关联塑性的材料非关联塑性的材料) )，本构率关系可以写成为，本构率关系可以写成为yyxyxxxyxxDDDCCCCCCCCCDtD20lam222321323331121311lamC为切线模量，最后一个方程强调了平面应力条件，求解为切线模量，最后一个方程强调了平面应力条件，求解 D Dyyyy 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁节点内力节点内力 除了强制平面应力条件外，从属节点内力采用与连续体单元节除了强制平面应力条件外，从属节点内力采用与连续体单元节点内力相同的计算。
积分由数值积分求得在点内力相同的计算积分由数值积分求得在CBCB梁中既不应用完全梁中既不应用完全积分公式，也不应用选择减缩积分公式积分公式，也不应用选择减缩积分公式(4-5-33)(4-5-33)这两种方法都会这两种方法都会导致剪切自锁导致剪切自锁( (见第见第7 7节节) ) 在在2 2节点单元中，在节点单元中，在0处处采用单一束积分点采用单一束积分点，可以避免剪切自锁可以避免剪切自锁 这种积分方法也称为这种积分方法也称为选择减缩积分选择减缩积分它能精确地积分求得轴向正它能精确地积分求得轴向正应力，但是不能准确地积分求得横向切应力应力，但是不能准确地积分求得横向切应力 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁 沿沿方向的积分点数目依赖于材料定律和对精度的要求方向的积分点数目依赖于材料定律和对精度的要求1 1 平滑的超弹性材料定律，平滑的超弹性材料定律，3 3个积分点是足够的个积分点是足够的2 2 弹弹- -塑性材料，应力分布不是连续可导至少需要塑性材料，应力分布不是连续可导至少需要5 5个积分点个积分点 对于弹对于弹- -塑性材料定律，沿塑性材料定律，沿方向的方向的GaussGauss积分并不是最佳选积分并不是最佳选择，因为这些积分方法是基于高阶多项式的插值，其默认假设数择，因为这些积分方法是基于高阶多项式的插值，其默认假设数据是平滑的。
所以，对于非光滑函数，常常采用梯形规则，其运据是平滑的所以，对于非光滑函数，常常采用梯形规则，其运算效率更高算效率更高3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁 为了说明在剪切自锁情况下，选择减缩积分的过程，考虑为了说明在剪切自锁情况下，选择减缩积分的过程，考虑一个基于一个基于4 4节点四边形连续体单元的节点四边形连续体单元的2 2节点梁单元通过对在节点梁单元通过对在0处一串积分点的积分得到节点力：处一串积分点的积分得到节点力：), 0(10int,*nyyxyxyxxyIxIyIxIaJwNNhhff质量矩阵质量矩阵 CBCB梁单元的质量矩阵可以由转换公式得到：梁单元的质量矩阵可以由转换公式得到：TMTMT运动方程运动方程 extint332211000000IyIxIIyIxIIyIxIImffmffvvMMM对于对角化质量矩阵，在一个主控节点的运动方程为对于对角化质量矩阵，在一个主控节点的运动方程为4 CB4 CB梁的分析梁的分析例例9.1 29.1 2节点梁单元节点梁单元 应用应用CBCB梁理论建立基于梁理论建立基于4 4节点四边形连续体的节点四边形连续体的2 2节点节点CBCB梁单梁单元，将参考线元，将参考线( (中线中线) )置于上下表面的中间位置，将主控节点放置于上下表面的中间位置，将主控节点放置在参考线与单元边界的交点处，从属节点是角点。
置在参考线与单元边界的交点处，从属节点是角点主控节点主控节点 从属节点从属节点 4 4节点连续体单元的运动节点连续体单元的运动 *44332211,NNNNNtIIxxxxxx求和）（不对*1141,INIII 上述的运动得到上述的运动得到 111111111111*2341324114414141441341241141xxxx xxxx xx xxxxIIN 0223201141022301142232211411* , , ,2121 2121hhhhttxxpxxpxxxxxxxxxxxxxx，令令 也给出也给出4节点连续体单元的运动节点连续体单元的运动 141412112120210121ththttppxxx例例9.1 29.1 2节点梁单元节点梁单元 4 CB4 CB梁的分析梁的分析所有纤维的不可伸长性所有纤维的不可伸长性 尽管节点的纤维是不可伸长的，在一个单尽管节点的纤维是不可伸长的，在一个单元中的其它纤维可能发生长度的变化通过图示的指定条件，不用元中的其它纤维可能发生长度的变化通过图示的指定条件，不用任何方程就可以看到：在中点处的纤维明显变短了任何方程就可以看到：在中点处的纤维明显变短了。
节点力：节点力：主控节点力由从属节点力给出主控节点力由从属节点力给出 IIIIIIIIIyIxIyIxITIyIxIxxyyxxyyffffmff10011001 1TT其中4 CB4 CB梁的分析梁的分析计算上式得到计算上式得到yIyIyIxIxIxIffffff 这个变换给出了平衡的结果：这个变换给出了平衡的结果：1.主控节点力是从属节点力的合力；主控节点力是从属节点力的合力；2.主控节点力矩是从属节点力绕主控节点的力矩主控节点力矩是从属节点力绕主控节点的力矩yIIIxIIIyIIIxIIIIfxxfyyfxxfyym)()()()(GreenGreen应变应变 以以PK2PK2应力和应力和GreenGreen应变的形式应用于本构方程应变的形式应用于本构方程 从属节点的位置从属节点的位置 4 CB4 CB梁的分析梁的分析22222202022020222222220202202022111111010110101111111101011010112,2 2 ,22,2 2 ,22,2 2 ,22,2 2 ,2yxyxyxyxyxyxyxyxphyyphxxphYYphXXphyyphxxphYYphXXphyyphxxphYYphXXphyyphxxphYYphXX通过取节点坐标的差值得到从属节点的位移。
通过通过取节点坐标的差值得到从属节点的位移通过*IINuu 给出的连续体位移场，则可以得到任何点的位移通过本构关给出的连续体位移场，则可以得到任何点的位移通过本构关系和系和PK2PK2应力则可以计算应力则可以计算GreenGreen应变 初始和当前构形的方向矢量给出为初始和当前构形的方向矢量给出为 ,sin ,cos sin ,cos0000IyIIxIIyIIxIpppp矩形单元的速度应变矩形单元的速度应变 当基本连续体单元为矩形，并且梁的中线沿当基本连续体单元为矩形，并且梁的中线沿着着x x轴时，由于方向矢量是沿着轴时，由于方向矢量是沿着y y方向方向 4 CB4 CB梁的分析梁的分析xMyevv用一维形式写出上式的分量，线性形状函数给出用一维形式写出上式的分量，线性形状函数给出)1 (21)1 (21)1 (21)1 (212121yvvvMxMxx)1 ()1 (2121MyMyyvvv其中其中1, 1 速度应变分量则给出为速度应变分量则给出为：)()(11212yvvxvDMxMxxxx)1 (21)1 (21)(122112MyMyxyxyvvyvxvD由平面应力条件计算分量由平面应力条件计算分量yyD 剪切自锁剪切自锁 4 CB4 CB梁的分析梁的分析 为了检验剪切自锁的原因，考虑例为了检验剪切自锁的原因，考虑例9.19.1的的2 2节点梁单元。
令单节点梁单元令单元位于元位于x x 轴方向，线性响应，因此在运动学中，用线性应变轴方向，线性响应，因此在运动学中，用线性应变ij代替代替ijD 用位移代替速度由公式的对应部分给出横向剪切应变：用位移代替速度由公式的对应部分给出横向剪切应变：1, 1 )1 (21)1 (21)(122112其中MxMxxyuu考虑在纯弯状态下的单元有考虑在纯弯状态下的单元有2121, 0 xxuu 对于这些节点位移，给出对于这些节点位移，给出xy2由平衡方程，当力矩为常数时，剪力为零由平衡方程，当力矩为常数时，剪力为零 但是在大多数单元中，横向剪切应变和剪切应力不为零但是在大多数单元中，横向剪切应变和剪切应力不为零xyxyG2事实上，除了在事实上，除了在 0外它们处处不为零出现外它们处处不为零出现附加剪切附加剪切( (见上图见上图) ) 剪切自锁剪切自锁 4 CB4 CB梁的分析梁的分析 这附加的横向剪切对于单元的性能具有很大的影响为了解释这附加的横向剪切对于单元的性能具有很大的影响为了解释这种影响的严重性，对于一个单位宽度矩形横截面的线弹性梁，检这种影响的严重性，对于一个单位宽度矩形横截面的线弹性梁，检验与弯曲和剪切应变有关的能量。
上面节点位移的弯曲能量给出为验与弯曲和剪切应变有关的能量上面节点位移的弯曲能量给出为6)(24,24,223212320322bendEhEhdxEhdyEWxx关于梁的剪切能量给出为关于梁的剪切能量给出为)1 ( 3)()1 ()1 (22,02vEhdxuvEhdvEWxyxyshear这两种能量的比值为这两种能量的比值为2bendshear)(hWW当当h剪切能量是显著地大于弯曲能量由于在纯弯曲中剪切能量应该为剪切能量是显著地大于弯曲能量由于在纯弯曲中剪切能量应该为零，这附加剪切能量吸收了大部分的能量其结果是明显地低估了零，这附加剪切能量吸收了大部分的能量其结果是明显地低估了总体位移总体位移采用单元细划使得剪切自锁的单元可以收敛于精确解，采用单元细划使得剪切自锁的单元可以收敛于精确解，只是非常慢而只是非常慢而体积自锁根本得不到收敛结果体积自锁根本得不到收敛结果lxlxEIxEIMWd,2d222bend剪切自锁剪切自锁 4 CB4 CB梁的分析梁的分析 由方程立即提出问题，在这些单元中为什么不采用不完全积分由方程立即提出问题，在这些单元中为什么不采用不完全积分消除剪切自锁：注意到在消除剪切自锁：注意到在 处横向剪力为零，这对应于在一点处横向剪力为零，这对应于在一点积分中的积分点。
因此，通过对剪切相关项的不完全积分消除了伪积分中的积分点因此，通过对剪切相关项的不完全积分消除了伪横向剪切横向剪切 0 相对于相对于2 2节点梁，在采用二次插值的节点梁，在采用二次插值的3 3节点梁中，剪切自锁是很节点梁中，剪切自锁是很不明显的考虑一个长为不明显的考虑一个长为 l 的的3 3节点梁单元，采用母坐标节点梁单元，采用母坐标11,2x 在该单元中的剪切应变给出为在该单元中的剪切应变给出为322212321, )(21)1 ()(21)12(4)12(12yyyxyxyuuuu剪切自锁剪切自锁 4 CB4 CB梁的分析梁的分析考虑纯弯曲的状态，考虑纯弯曲的状态，40, 0,231231yyyuuu和 将这些节点位移代入公式，证明在单元中横向剪切为零基于这将这些节点位移代入公式，证明在单元中横向剪切为零基于这个结果，这里没有理由出现自锁但是，考虑另外一种变形个结果，这里没有理由出现自锁但是，考虑另外一种变形 236,xuuyy由于法线保持法向，剪力应该为零但是，公式却给出了横向由于法线保持法向，剪力应该为零但是，公式却给出了横向剪切，相应于这种变形的节点位移是剪切，相应于这种变形的节点位移是)31 (222xy所以，除了所以，除了 ，有限元数值近似处处给出了非零剪有限元数值近似处处给出了非零剪力。
因此，对于自由剪切力因此，对于自由剪切( (纯弯纯弯) )模式，横向剪切将发生在这种模式，横向剪切将发生在这种单元中，而在模拟薄梁时，它将是无效的单元中，而在模拟薄梁时，它将是无效的31 当结构一个方向的尺度当结构一个方向的尺度( (厚度厚度) )远小于其它方向的尺度，并远小于其它方向的尺度，并忽略沿厚度方向的应力时，可以用壳单元模拟例如，压力容忽略沿厚度方向的应力时，可以用壳单元模拟例如，压力容器结构的壁厚小于典型整体结构尺寸的器结构的壁厚小于典型整体结构尺寸的1/101/10，一般用壳单元进，一般用壳单元进行模拟以下尺寸可以作为行模拟以下尺寸可以作为典型整体结构的尺寸典型整体结构的尺寸： 支撑点之间的距离；支撑点之间的距离； 加强件之间的距离或截面厚度有很大变化部分之间的距离；加强件之间的距离或截面厚度有很大变化部分之间的距离； 曲率半径；曲率半径； 所关注的最高阶振动模态的波长所关注的最高阶振动模态的波长 壳单元假设垂直于壳面的横截面保持为平面请不要误解壳单元假设垂直于壳面的横截面保持为平面请不要误解为在壳单元中也要求厚度必须小于单元尺寸的为在壳单元中也要求厚度必须小于单元尺寸的1/101/10，高度精细，高度精细的网格可能包含厚度尺寸大于平面内尺寸的壳单元（尽管一般的网格可能包含厚度尺寸大于平面内尺寸的壳单元（尽管一般不推荐这样做），实体单元可能更适合这种情况。
不推荐这样做），实体单元可能更适合这种情况5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳两种壳单元：两种壳单元：1 1 常规壳单元常规壳单元2 2 基于连续体的壳单元基于连续体的壳单元 通过定义单元的平面尺寸、表面法向和初始曲率，常规的壳通过定义单元的平面尺寸、表面法向和初始曲率，常规的壳单元对参考面进行离散但是，常规壳单元的节点不能定义壳的单元对参考面进行离散但是，常规壳单元的节点不能定义壳的厚度；还需要通过截面性质定义壳的厚度厚度；还需要通过截面性质定义壳的厚度 基于连续体的壳单元类似于三维实体单元，它们对整个三维基于连续体的壳单元类似于三维实体单元，它们对整个三维物体进行离散和建立数学描述，其动力学和本构行为类似于常规物体进行离散和建立数学描述，其动力学和本构行为类似于常规壳单元对于模拟接触问题，基于连续体的壳单元与常规的壳单壳单元对于模拟接触问题，基于连续体的壳单元与常规的壳单元相比更加精确，因为它可以在双面接触中考虑厚度的变化然元相比更加精确，因为它可以在双面接触中考虑厚度的变化然而，对于薄壳问题，常规的壳单元提供更优良的性能。
而，对于薄壳问题，常规的壳单元提供更优良的性能壳体公式壳体公式- -厚壳或薄壳厚壳或薄壳 壳体问题一般归结为两类之一：薄壳和厚壳厚壳假设横向剪切变形对计算结果有重要的影响；薄壳假设横向剪切变形小到足以忽略图(a)描述了薄壳的横向剪切行为：初始垂直于壳面的材料线在整个变形过程中保持直线和垂直因此，横向剪切应变假设为零图切应变假设为零图(b) (b) 描述了厚壳的横向剪切行为：描述了厚壳的横向剪切行为：初始垂直于壳面的材料线在整个变形过程中并不要求保持垂初始垂直于壳面的材料线在整个变形过程中并不要求保持垂直于壳面，因此，发生了横向剪切变形直于壳面，因此，发生了横向剪切变形 5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳经典壳理论中的假设经典壳理论中的假设 两种壳理论中，运动学假设为：两种壳理论中，运动学假设为：Kirchhoff-LoveKirchhoff-Love理论：理论： 中面的法线保持直线和法向中面的法线保持直线和法向Mindlin-ReissnerMindlin-Reissner理论：中面的法线保持直线，但不是法向理论：中面的法线保持直线，但不是法向。
实验结果表明，薄壳满足实验结果表明，薄壳满足Kirchhoff-LoveKirchhoff-Love假设较厚的壳或组合壳体，较厚的壳或组合壳体，Mindlin-ReissnerMindlin-Reissner假设是更为合适的，假设是更为合适的，横向剪切的效果特别重要横向剪切的效果特别重要Mindlin-ReissnerMindlin-Reissner理论也可以应用于薄壳中：在这种情况下，理论也可以应用于薄壳中：在这种情况下，法线将近似地保持法向，并且横向剪切将几乎为零法线将近似地保持法向，并且横向剪切将几乎为零厚度与曲率半径的比值的条件是对于壳理论适用性的重要要求厚度与曲率半径的比值的条件是对于壳理论适用性的重要要求当它不满足时，壳理论将是不适用的当它不满足时，壳理论将是不适用的 12Rh5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳1 1 纤维保持直线（修正的纤维保持直线（修正的M-RM-R假设）；假设）； 2 2 垂直于中面的应力为零（也称为平面应力条件）；垂直于中面的应力为零（也称为平面应力条件）； 3 3 动量源于纤维的伸长，和沿纤维方向忽略动量平衡动量源于纤维的伸长，和沿纤维方向忽略动量平衡。
假设假设1 1与经典的与经典的MindlinMindlin理论不同之处在于约束纤维保持直线，理论不同之处在于约束纤维保持直线，而不是法向必须布置节点，使纤维方向尽可能地接近于法线而不是法向必须布置节点，使纤维方向尽可能地接近于法线CBCB壳理论中的假设壳理论中的假设 在在CBCB壳理论中常常认壳理论中常常认为纤维是不可伸长的，这为纤维是不可伸长的，这是与平面应力条件矛盾的，是与平面应力条件矛盾的，当应用不可伸长的条件时，当应用不可伸长的条件时，是为了忽略在是为了忽略在p p方向的相关方向的相关运动的动量平衡，在计算运动的动量平衡，在计算节点内力时，厚度的改变节点内力时，厚度的改变是不能忽略的是不能忽略的定义三种坐标系统：定义三种坐标系统： 1. 总体总体CartesianCartesian坐标系统（坐标系统（x, y, z），）， 应用基矢量应用基矢量ie 坐标系统坐标系统5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳2.2. 旋转的层坐标系统旋转的层坐标系统zyx,应用基矢量应用基矢量ie 3.3. 与主控节点相关的节点坐标系统与主控节点相关的节点坐标系统)(tIe),(th),(th表示在下表面和参考面之间沿着纤维方向的距离表示在下表面和参考面之间沿着纤维方向的距离 表示在上表面和参考面之间沿着纤维方向的距离表示在上表面和参考面之间沿着纤维方向的距离 表示厚度的改变，壳的厚度一般定义为在上下两表示厚度的改变，壳的厚度一般定义为在上下两个表面之间沿着法线的距离。
个表面之间沿着法线的距离 hhh壳的材料方向壳的材料方向 应用局部的直角、圆柱或者球坐标系，可以代替整体的笛应用局部的直角、圆柱或者球坐标系，可以代替整体的笛卡尔坐标系卡尔坐标系例如，如果在图中的圆柱例如，如果在图中的圆柱中心线与整体坐标中心线与整体坐标3 3轴一轴一致，局部材料方向可以这致，局部材料方向可以这样定义，使局部材料样定义，使局部材料1 1方方向总是沿着圆环方向，并向总是沿着圆环方向，并使相应的局部材料使相应的局部材料2 2方向方向总是沿着轴方向总是沿着轴方向5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳在主控节点上的节点速度和力为在主控节点上的节点速度和力为TzIyIxIzIyIxIIvvvdTzIyIxIzIyIxIImmmffff运动的有限元近似运动的有限元近似 以从属节点的形式，描述运动的有限元近似为以从属节点的形式，描述运动的有限元近似为NNNnInInIIIIIIINtNtNtXtt1121)()()()()()(),(),(xxx主控节点转换速度主控节点转换速度和方向矢量角速度和方向矢量角速度TMzIMyIMxIMIv,v,vv TzIyIxII, 表示从属节点的速度表示从属节点的速度 IIIIIMIIIIIIIMIIhhhhppvvppvv,厚度的变化率 当前节点的方向矢量给出为当前节点的方向矢量给出为 IyIxIIIItthtsincos10eexxp5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳在主控节点上的节点速度和力为在主控节点上的节点速度和力为TzIyIxIzIyIxIIvvvdTzIyIxIzIyIxIImmmffff运动的有限元近似运动的有限元近似 以从属节点的形式，描述运动的有限元近似为以从属节点的形式，描述运动的有限元近似为NNNnInInIIIIIIINtNtNtXtt1121)()()()()()(),(),(xxx主控节点转换速度主控节点转换速度和方向矢量角速度和方向矢量角速度TMzIMyIMxIMIv,v,vv TzIyIxII, 表示从属节点的速度表示从属节点的速度 IIIIIMIIIIIIIMIIhhhhppvvppvv,厚度的变化率 当前节点的方向矢量给出为当前节点的方向矢量给出为 IyIxIIIItthtsincos10eexxp5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳运动的有限元近似运动的有限元近似 将从属节点速度联系到主控节点速度为将从属节点速度联系到主控节点速度为)(求和不对IIIIIdTvvTzIyIxIITzIyIxIIvvvvvv, ,vvIITI000000IIIIIIIIIIIIxyxzyzIxxyyxxzzyyzzpppppph000000IIIIIIIIIIIIxyxzyzIxxyyxxzzyyzzpppppph在主控节点力的计算中采用了当前厚度，因此考虑了纤维的伸长在主控节点力的计算中采用了当前厚度，因此考虑了纤维的伸长 5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳本构方程本构方程 连续介质材料的所有本构都可以应用于连续介质材料的所有本构都可以应用于CBCB壳。
但是，必须引入平壳但是，必须引入平面应力条件面应力条件 可以应用可以应用强制引入约束的方法，如强制引入约束的方法，如LagrangeLagrange乘子法和罚方法以乘子法和罚方法以VoigtVoigt形式写出的率更新方程为：形式写出的率更新方程为：21lam1122200nzzyzxzxyyyxxnyzxzxyyyxxnyzxzxyyyxxnzzyzxzxyyyxxDDDDDDtbbTababaaCCCC切线模量矩阵是切线模量矩阵是5 55 5和和5 51 1子矩阵子矩阵 通过消去第通过消去第6 6个方程，可以获得与非零应力增量相关的修正矩阵个方程，可以获得与非零应力增量相关的修正矩阵TabbbabaaPaaCCCCC10zz从第从第6 6个方程得到变形率分量个方程得到变形率分量 ，计算厚度的变化计算厚度的变化 zzD5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳厚度厚度 可以直接或者由率形式得到厚度在任意时刻的厚度给出为可以直接或者由率形式得到厚度在任意时刻的厚度给出为 1010)( ,)(dDhhdDhh)(pepejiijDD 这里给出的更新厚度提供了关于厚度的双参数近似在等这里给出的更新厚度提供了关于厚度的双参数近似。
在等参参CBCB单元中，由于单元中，由于变形梯度在厚度方向近似为线性变形梯度在厚度方向近似为线性，这通常是，这通常是足够的单参数形式经常仅用于说明厚度的平均变化双参数足够的单参数形式经常仅用于说明厚度的平均变化双参数形式是更精确的，因为当伸长时叠加弯曲，在压缩边和拉伸边形式是更精确的，因为当伸长时叠加弯曲，在压缩边和拉伸边的厚度改变是不同的的厚度改变是不同的 另一种更加精确的方法是计算所有积分点的新的位置，但另一种更加精确的方法是计算所有积分点的新的位置，但通常是不必要的通常是不必要的壳体厚度和截面点（壳体厚度和截面点（section pointssection points） 描述壳体的横截面必须定义壳体的厚度此外，还要选择是描述壳体的横截面必须定义壳体的厚度此外，还要选择是在分析过程中还是在分析开始时计算横截面的刚度如果选择在在分析过程中还是在分析开始时计算横截面的刚度如果选择在分析过程中计算刚度，采用数值积分法，在沿厚度方向的每一个分析过程中计算刚度，采用数值积分法，在沿厚度方向的每一个截面点（截面点（section pointssection points）（积分点）上独立地计算应力和应变）（积分点）上独立地计算应力和应变值，这样就允许了非线性的材料行为。
例如，弹塑性材料的壳在值，这样就允许了非线性的材料行为例如，弹塑性材料的壳在内部截面点还保持弹性时，其外部截面点可能已经达到了屈服，内部截面点还保持弹性时，其外部截面点可能已经达到了屈服，4 4节点减缩积分壳单元中唯一的积分点位置和沿壳厚度方向上截面节点减缩积分壳单元中唯一的积分点位置和沿壳厚度方向上截面点的分布如图示点的分布如图示5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳壳体厚度和截面点壳体厚度和截面点 当在分析过程中积分单元特性时，可指定壳厚度方向的截当在分析过程中积分单元特性时，可指定壳厚度方向的截面点数目为任意面点数目为任意奇数奇数对性质均匀的壳单元，一般在厚度方向对性质均匀的壳单元，一般在厚度方向上取上取5 5个截面点，对于大多数非线性设计问题是足够了但是，个截面点，对于大多数非线性设计问题是足够了但是，对于一些复杂的模拟必须采用更多的截面点，尤其是当预测会对于一些复杂的模拟必须采用更多的截面点，尤其是当预测会出现反向的塑性弯曲时（在这种情况下一般采用出现反向的塑性弯曲时（在这种情况下一般采用9 9个截面点）个截面点）对于线性问题，对于线性问题，3 3个截面点已经提供了沿厚度方向的精确积分。
个截面点已经提供了沿厚度方向的精确积分当然，对于线弹性材料壳，选择在分析开始时计算材料刚度更。