第16章压杆稳定16.1压杆稳定性的概念在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度 条件，就能保证其正常工作但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆 才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因， 不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这 就是本章将要讨论的压杆稳定性问题当短粗杆受压时（图16-1a），在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保 持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷Fs （或抗压强度载荷Fb）， 杆件发生强度破坏时为止但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的 同样粗细而比较长的杆件（图16-1b），当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能 保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某一数值F1时，杆件将突然变弯， 不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力我们把受压直杆突然变弯 的现象，称为丧史稳定或大稳此时，F1可能远小于Fs （或Fb）可见，细长杆 在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏失稳现象并不卜艮于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出 现侧向弯曲和绕轴线的扭转（图16-2）；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时， 其形状可能突然变成椭圆（图16-3）；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失 稳（图16-4）。
本章中，我们只研究受压杆件的稳定性图 16-3所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力实际上它是指平衡状 态的稳定性我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明第一种状态，小球在凹面的点处于平衡状态，如图16-5a所示先用外 加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平 衡位置因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡第二种状态，小球在凸面上的点处于平衡状态，如图16-5c所示当用 外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡 位置因此，小、球原有的干衡状态是不稳定平衡第三种状态，小球在平面上的点处于平衡状态，如图16-5b所示，当用 外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置O1再次处于平衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势我 们称小球原有的平衡状态为随遇平衡图 16-6通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对 象偏离其原有的平衡位置在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰 力使处于直线平衡状态的压杆偏离原有的位置，如图16-6a所示当轴向压力F 由小变大的过程中，可以观察到：1） 当压力值F1较小时，给其一横向干扰力，杆件偏离原来的平衡位置。
若 去掉横向干扰力后，压杆将在直线平衡位置左右摆动，最终将恢复到原来的直线 平衡位置，如图16-6b所示所以，该杆原有直线平衡状态是稳定平衡2） 当压力值F2超过其一卜艮度Fcr时，平衡状态的性质发生了质变这时，只 要有一轻微的横向干扰，压杆就会继续弯曲，不再恢复原状，如图16-6d所示 因此，该杆原有直线平衡状态是不稳定平衡3） 界于前二者之间，存在着一种临界状态当压力值正好等于Fcr时，一旦 去掉横向干扰力，压杆将在微弯状态下达到新的平衡，既不恢复原状，也不再继 续弯曲，如图16-6c所示因此，该杆原有直线平衡状态是随遇平衡，该状态又 称为临界状态临界状态是杆件从稳定平衡向不稳定平衡转化的极F艮状态压杆处于临界状 态时的轴向压力称为幡界力或幡界载荷，用Fcr表示由上述可知，压杆的原有直线平衡状态是否稳定，与所受轴向压力大小有关 当轴向压力达到临界力时，压杆即向失稳过渡所以，对于压杆稳定性的研究， 关键在于确定压杆的临界力16.2两端铰支细长压杆的临界力图16-7a为一两端为球形铰支的细长压杆，现推导其临界力公式图 16-7根据前节的讨论，轴向压力到达临界力时，压杆的直线平衡状态将由稳定转 变为不稳定。
在微小横向干扰力解除后，它将在微弯状态下保持平衡因此，可 以认为能够保持压杆在微弯状态下平衡的最小轴向压力，即为临界力选取坐标系如图l6-7a所示，假想沿任意截面将压杆截开，保留部分如图16-7b所示由保留部分的平衡得M (x )=- Frv (a)在式(a)中，轴向压力Fcr取绝对值这样，在图示的坐标系中弯矩M与挠度v的 符号总相反，故式(a)中加了一个负号当杆应力不超过材料比例极卜艮时，根据 挠曲线近似微分方程有(b)d2v M(x) F v = =-廿dx 2 EI EI由于两端是球铰支座，它对端截而在任何方向的转角都没有F艮制因而，杆件的微小弯曲变形一定发生于抗弯能力最弱的纵向平面，所以上式中的I应该是横截面的最小、惯性矩令式(b)可改写为此微分方程的通解为k 2 = FEId2 v + k 2 v = 0dx 2v = C sinkx + C coskx式中C1、C 2为积分常数由压杆两端铰支这一边界条件x = 0， v = 0x = l， v = 0将式(f)代入式(e)，得C2 = 0，于是v = C1sinkx式(g)代入式(h)，有C1sinkl = 0(c)(d)(e)(f)(g)(h)⑴在式(i)中，积分常数C1不能等于零，否则将使有v三0，这意味着压杆处于直线平(j)(k)Fcrn 2 兀 2 EI(n = 0,1,2,…)(l)衡状态，与事先假设压杆处于微弯状态相矛盾，所以只能有sinkl = 0由式(j)解得 kl = nn(n = 0,1,2,..•), n兀k——lF ―crEI因为n可取0, 1, 2,…中任一个整数，所以式(1)表明，使压杆保持曲线形态平衡的压力，在理论上是多值的。
而这些压力中，使压杆保持微小弯曲的最小压 力，才是临界力取n=0,没有意义，只能取n=1于是得两端铰支细长压杆临界力公式Fcr兀2 EI12(16-1)式(16-1)又称为欧拉公式在此临界力作用下，k—十，则式(h)可写成(m)兀xv = C] sm j可见，两端铰支细长压杆在临界力作用下处于微弯状态时的挠曲线是条半波正弦曲线将X =-代入式(m)，可得压杆路长中点处挠度，即压杆的最火挠度 2兀x lv l = C]Sin 了 — = C] = vmaxX = 2q是任意微小位移值q之所以没有一个确定值，是因为式(b)中采用了挠曲线的近似微分方程式如果采用挠曲线的精确微分方程式，那么q值便可以确定这时可得到最大挠度^^与压力F之间的理论关系，如图16-8的OAB曲线此 曲线表明，当压力小于临界力Fcr时，F与vmax之间的关系是直线％说明压杆一 直保持直线平衡状态当压力超过临界力F^时，压杆挠度急剧增加C1在以上讨论中，假设压杆轴线是理想直线，压力F是轴向压力，压杆材料均 匀连续这是一种理想情况，称为理想压杆但工程实际中的压杆并非如此压 杆的轴线难以避免有一些初弯曲，压力也无法保证没有偏心，材料也经常有不均 匀或存在缺陷的情况。
实际压杆的这些与理想压杆不符的因素，就相当于作用在 杆件上的压力有一个微小的偏心距e试验结果表明，实际压杆的F与vmax的关 系如图16-8中的曲线OD表示，偏心距愈小，曲线OD愈靠近GABo16.3不同杆端约束细长压杆的临界力压杆临界力公式(16-1)是在两端铰支的情况下推导出来的由推导过程可 知，临界力与约束有关约束条件不同，压杆的临界力也不相同，即杆端的约束 对临界力有影响但是，不论杆端具有怎样的约束条件，都可以仿照两端铰支临 界力的推导方法求得其相应的临界力计算公式，这里不详细讨论，仅用类此的方 法导出几种常见约束条件下压杆的临界力计算公式16.3.1 一端固定另一端自由细长压杆的临界力图16-9为一端固定另一端自由的压杆当压杆处于临界状态时，它在曲线形 式下保持平衡将挠曲线AB对称于固定端A向下延长，如图中假想线所示延 长后挠曲线是一条半波正弦曲线，与本章第二节中两端铰支细长压杆的挠曲线一 样所以，对于一端固定另一端自由且长为i的压杆，其临界力等于两端铰支长 为21的压杆的临界力，即F图 16-9 图 16-10 图 16-1116.3.2两端固定细长压杆的临界力在这种杆端约束条件下■，挠曲线如图16-10所示。
该曲线的两个拐点C和D分别在距上、下端为-处居于中间的1长度，挠曲续是半波正弦曲线所以， 4 2对于两端固定且长为l的压杆，其临界力等于两端铰支长为-的压杆的临界力，2即Fcr兀2 EII16.3.3 一端固定另一端铰支细长压杆的临界力在这种杆端约束条件下，挠曲线形状如图16-11所示在距铰支端B为0.7/处， 该曲线有一个拐点因此，在0.71长度，挠曲线是一条半波正弦曲线所以， 对于一端固定另一端铰支且长为I的压杆，其临界力等于两端铰支长为0.71的压 杆的临界力，即Fc =^综上所述，只要引入相当长度的概念，将压杆的实际长度转化为相当长度， 便可将任何杆端约束条件的临界力统一写Fcr兀2 EI(16-2)称为欧拉公式的一般形式由式(16-2)可见，杆端约束对临界力的影响表现在系数^上称^为长度系教，|! 1为压杆的相当长度，表示把长为i的压杆折算成两 端铰支压杆后的长度几种常见约束情况下的长度系数^列入表16-1中表16-1压杆的长度系数^压杆的约束条件长度系数两端铰支一端固定，另一端自由两端固定一端固定，另一端铰支^ =1^ =2^ =1/2^ —0.7表16-1中所列的只是几种典型情况，实际问题中压杆的约束情况可能更复杂，对于这些复杂约束的长度系数可以从有关设计手册中查得。
16.4欧拉公式的适用围经验公式16.4.1临界应力和柔度将式(16-2)的两端同时除以压杆横截面面积入，得到的应力称为压杆的临界引入截面的惯性半径i 将上式代入式(a),得若令则有(a)(16-3)(16-4)(16-5)式(16-5 )就是计算压杆临界应力的公式，是欧拉公式的另一表达形式式中，人=四称为压杆的柔度或长细比，它集中反映了压杆的长度、约束条件、截而尺 i寸和形状等因素对临界应力的影响从式(16-5 )可以看出，压杆的临界应力与柔度的平方成反比，柔度越大，则压杆的临界应力越低，压杆越容易失稳因此，在压杆稳定问题中，柔度人是一个很重要的参数16.4.2欧拉公式的适用围在推导欧拉公式时，曾使用了弯曲时挠曲线近似微分方程式 业=亟，而dx 2 EI这个方程是建立在材料服从虎克定律基础上的试验巳证实，当临界应力不超过材树比例极卜艮b 时，由欧拉公式得到的理论曲线与试验曲线十分相符，而当临 p界应力超过bp时，两条曲线随着柔度减小相差得越来越大（如图16-12所示）这说明欧拉公式只有在临界应力不超过材料比例极卜艮时才适用，即 承载能力的原因仍然是失稳但此时临界应力世巳大于材料的比例极卜艮。
p，欧 拉公式巳不适用，这是超过材料比例极卜艮压杆的稳定问题对于这类失稳问题， 曾进行过许多理论和实验研究工作，得出理论分析的结果但工程中对这类压杆 的技算，一般使用以试验结果为依据的经验公式在这里我们介绍两种经常使用 的经验公式：直线公式和抛物线公式\欧腔曲姓图 16-12兀2 EI' Eb = < b 或入｝兀，，c 入2 P(b)若用入p表示对应于临界应力等于比例极卜艮bp时的柔度值，(16-6)入p仅与压杆材料的弹性模量E和比例极卜艮bp有关例如,对于常用的Q235钢，E = 200GPa, b = 200MPa，代入式(16-6),得入:20^ = 99.3200 X 106从以上分析可以看出：当人以p肘，bcr
衰直线公式的柔数#和&材料皿皿的毕位为M玲)MMPa)J^372祯41.12%-=灿-. 急4了1优质米钢4612.306珪桐 m57S3- 7444 一 353M钢98075.海332, 2L 454A712. 15松木舐了0.. 19必须指出，直线公式虽然是以"匕的压杆建立的，但绝不能认为凡是"匕 的压杆都可以应用直线公式因为当人值很小时，按直线公式求得的临界应力较 高，可能早巳超过了材料的屈服强度bs或抗压强及b疽这是杆件强度条件所不 允许的因此，只有在临界应力登不超过屈服强灰b s (或抗压强度气)时，直 线公式才能适用若以塑性材料为例，它的应用条件可表示为bcr = a — bM.b^ 或X > a :s若用x s表示对应于b ?时的柔度值，则(16-8)a —b 人这里，柔度值人是直线公式成立时压杆柔度力的最小值，它仅与材料有关对Q235 钢来说，气= 235 MPa, a =304MPa, b = 1.12MPa将这些数值代入式(16-8),当压杆的柔度人值满足人w"匕条件时，临界应力用直线公式计算，这样的压杆 被称为中柔度杆或中长杆2.抛物线公式把临界应力b C,与柔度人的关系表示为如下形式b Ls 1-仲］(16-9)式中b ,是材料的屈服强度，a是与材料性质有关的系数，七是欧拉公式与抛物线 公式适用围的分界柔度，对低碳钢和低锰钢、=日 （16-10）s16.4.4小柔度压杆当压杆的柔度人满足人〈勾条件时，这样的压杆称为小柔度杆或短粗杆。
实 验证明，小柔度杆主要是由于应力达到材料的屈服强度b s （或抗压强度b b）而发 生破坏，破坏时很难观察到失稳现象这说明小柔度杆是由于强度不足而引起破 坏的，应当以材料的屈服强度或抗压强度作为极F艮应力，这属于第二章所研究的 受压直杆的强度计算问题若形式上也作为稳定问题来考虑，则可将材料的屈服 强度b,（或抗压强度bb ）看作临界应力b或，即b = b （或b b ）16.4.5临界应力总图综上所述，压杆的临界应力随着压杆柔度变化情况可用图16-13的曲线表示，‘1该曲线是采用直线公式的临界应力总图，总图说明如下：图 16-131） 当X>X p时，是细长杆，存在材料比例极F艮的稳定性问题，临界应力用欧 拉公式计算2） 当人'（或七）<七时，是中长杆，存在超过比例极卜艮的稳定问题，临界应 力用直线公式计算3） 当人〈七（或孔）时，是短粗杆，不存在稳定性问题，只有强度问题，临 界应力就是屈服强度Q ,或抗压强度Q b由图16-13还可以看到，随着柔度的增大，压杆的破坏性质由强度破坏逐渐 向失稳破坏转化由式（16-5）和式（16-9），可以绘出采用抛物线公式时的临界应力总图，如图 16-14所示。
图 16-1416.5压杆稳定性计算从上节可知，对于不同柔度的压杆总可以计算出它的临界应力，将临界应力 尿以压杆横截而面积，就得到临界力值得注意的是，因为临界力是由压杆整体 变形决定的，局部削弱(如开孔、槽等)对杆件整体变形影响很小，所以计算临界 应力或临界力时可采用未削弱前的横截而面积A和惯性矩/压杆的临界力七,与压杆实际承受的轴向压力F之比值，为压杆的工作安全系 数它应该不小于规定的稳定安全系数nst因此压杆的稳定性条件为n = / > nst (16-11)由稳定性条件便可对压杆稳定性进行计算，在工程中主要是稳定性校核通 常,nst规定得比强度安全系数高，原因是一些难以避免的因素(例如压杆的初弯 曲、材料不均匀、压力偏心以及支座缺陷等)对压杆稳定性影响远远超过对强度 的影响式(16-11)是用安全系数形式表示的稳定性条件，在工程中还可以用应力形式 表示稳定性条件A 叫 (a)其中X 二 (b)"st式中[y]t为稳定许用应力由于临界应力C^随压杆的柔度而变，而且对不同柔 度的压杆又规定不同的稳定安全系数nst，所以，口戏是柔度人的函数在某些 结构设计中，常常把材料的强度许用应力t]乘以一个小于1的系数甲作为稳定许 用应力t] t，即t]st*t] (c)式中甲称为折减系数。
因为t]是柔度人的函数,所以甲也是人的函数,且总有 卜1几种常用材料压杆的折减系数列于表16-3中，引入折减系数后，式(a)可写为t= F <9t] (16-12)A泰16-3 Q 235钢和41铜中心受压衿件的折减系戮机0l234547g 1901, UUOb血LOGO1. ooo队9如0- 999o- s?ea泗0. 907|V:100-950.始d0. 9330.顷0：瞬珏9龄Q-航80.抑0. 9日5a睫3.200, 98]0. 979ol mO.S750L 9730.97】加网9由9睫0-侦E 96130・95思Q. 9560-蜘0“ 930怯9470. 944・ 941a 337(L 934a $31404 927GM £30. 520①916sm0-鸿m 9010,邮机啄soC.做o.ma 8790.8750.地0-柄I0. 8时aw*47600-心Q. S3?0- S32机蛔如&X♦都60 fill0.皿O.fiOD0. 795700- 7890. T760-7720. 767队我】Q ?ss0. ?4 7430, 737睑17310. 7250- 7100.7130. 707
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・ 156A 155*, 1540. 152E2fla 1510. 149如1470. 1的0 H5544U114201412300. 139Xp，此压杆属细长札 要用欧拉公式来计算临界应力maxbcr兀 2E 兀 2 x 200 x 103 = MPa = 142MPaXmax2117.92Fcr = Ab cr = 35.5x 10-4 x 142 x 106 N=504.1 x 103 N = 504.1kNn = Fr =世=2.57 > nF 200 st所以此压杆稳定。
200MPa,气= 235MPa，承受轴向压力F=110kN若nst=3，试校核连杆的稳定性例16-2 如图16-16所示连杆，材料为Q235钢，其E=200MPa, °p图 16-16解 根据图16-16中连杆端部约束情况，在xy纵向平面可视为两端铰支；在xz平面可视为两端固定约束又因压杆为矩形截面，所以Iy W/根据上面的分析，首先应分别算出杆件在两个平面的柔度，以判断此杆将在 哪个平面失稳，然后再根据柔度值选用相应的公式来计算临界力1)计算人在xy纵向平面，|i= 1，z轴为中性轴=l' L =土 = £cm = 1.732cm、A 2"3 2t3日l 1x94人=匚_ =二^ = 54.3z i 1.732z在xz纵向平面，p = 0.5，y轴为中性轴七=\‘‘ 勺=会=Mcm=0.722cm.口 l 0.5 x 90 _ _人=—= =62.3i 0.722y卜 ＞七，、ax=%= 62.3连杆若失稳必发生在xz纵向平面2)计算临界力，校核稳定性. ■' E '200 x109入=兀 V =兀 V ~ 99.3人 〈人，该连杆不属细长杆，不能用欧拉公式计算其临界力这里采用直线公式，查表 16-2, Q235 钢的 a = 304MPa, b = 1.12MPaX =工=些孕=61.6s b 1.12X □st F 110 st该连杆稳定。
例16-3 螺旋千斤顶如图16-17所示起重丝杠径 d = 5.2cm，最大长度l = 50cm材料为 Q235 钢，E=200GPa, b s = 240MPa，千斤顶起重量 F =100kN若nst= 3.5,试校核丝杠的稳定性图 16-17(1)计算X丝杠可简化为下端固定，上端自由的压杆..T ，'兀 d 4 64I = 1，—= _d* A I'兀 d 4 4 4口 l 4口 l 4 x 2 x 50 v人= = = 牝 77i d 5.2(2)计算F，校核稳定性"=兀 \ 0.57b2°0 xl°9 5200.57 x 240 x106"与，采用抛物线公式计算临界应力f人Y「「f 77 )2kJv c 7 _=240 x 1 - 0.43 x〔12J_MPa = 197.5MPab =bcr s冗 x 5 22 X10-4Fcr = Ab cr =—— x 197.5 x 103kN = 419.5kNn =乙=乌=4.2外］st F 100 st千斤顶的丝杠稳定例16-4 某液压缸活塞杆承受轴向压力作用巳知活塞直径D = 65mm,油 压p = 1.2MPa活塞杆长度l = 1250mm，两端视为铰支，材料为碳钢，bp = 220MPa， E=210GPa。
取ln]st = 6，试设计活塞直径d解(1) 计算Fcr活塞杆承受的轴向压力F = -D2p = -^5x 10-3) x 1.2x 106N = 3982N4 4活塞杆工作时不失稳所应具有的临界力值为Fcr > n^F = 6x3982N = 23892N(2) 设计活塞杆直径因为直径未知，无法求出活塞杆的柔度，不能判定用怎样的公式计算临界力为此，在计算时可先按欧拉公式计算活塞杆直径，然后再检查是否满足欧拉公式必42 兀 E , *的条件F = 一厂= 也> 23892NCr侦l力 124 ','64X 23892 x1.252d> m = 0.0246m兀 3 x 210 X 109可取d = 25mm，然后检查是否满足欧拉公式的条件E = / 宇=200X =兀，—=兀 p [9 1220 x106I p由于X〉、，所以用欧拉公式计算是正确的例16-5简易吊车摇胃如图16-18所示，两端铰接的AB杆由钢管制成，材料为Q235钢，其强度许用应力t]= i40MPa,试校核AB杆的稳定性D图 16-18解(1)求AB杆所受轴向压力，由平衡方程-2000 Fq = 0Z Mc = 0， F X1500 X Sin30F = 53.3KN得(2)计算x=—\'D 2 + d 2 = k 7502 + 402 mm = 16mm\ A 4 41 1500lx 『出=cos 30 =108i 16(3)校核稳定性据X= 108，查表16-3得折减系数中=0.55，稳定许用应力t] =^Ly]= 0.55 x140MPa = 77MPastAB杆工作应力F / 53.3 x10-3t = — = —/ —\ MPa = 75.4MPaA - 502 -402 410-64t < t] t，所以AB杆稳定。
例16-6由压杆挠曲线的微分方程，导出一端固定，另一端铰支压杆的欧 拉公式解一端固定、另一端铰支的压杆失稳后，计算简图如图16-19所示为使杆件 平衡，上端铰支座应有横向反力f于是挠曲线的微分方程为图 16-19d2v M (x) dx 2 — EIF v——―cr—EI+ F (l - x)EI设k 2 = M，则上式可写为EId2 v F一 + k 2 V = — (l - x)dx 2 EI以上微分方程的通解为v = A sin kx + B cos kx +毕(l—— x)cr由此求出v的一阶导数为dv F—=Ak cos kx - Bk sin kx dx Fcr压杆的边界条件为x = 0 时， v = 0, -= 0 dxx = l 肘， v = 0把以上边界条件代入v及dv中，可得dxFB + ——l = 0FcrAk ——F = 0FcrA sin kl + B cos kl = 0因为A , B和土不能都为零，所以Fcr这是关于A , B和上的齐次线性方程组Fcr其系数行列式应等于零，0 1 lk 0 -1 = 0sinkl coskl 0展开得tgkl = kl上式超越方程可用图解法求解。
以kl为横坐标，作直线y = kl和曲线y = tgkl （图16-20），其第一个支点得横坐标Kl =4.49显然是满足超越方程得最小根由此求得图 16-20Fcr=k 2 EI =戏些 "*■l2 (0.7/)216.6提高压杆稳定性的措施通过以上讨论可知，影响压杆稳定性的因素有：压杆的截面形状，压杆的长 度、约束条件和材料的性质等因而，当讨论如何提高压杆的稳定件时，也应从 这几方面入手1.选择合理截面形状从欧拉公式可知，截面的惯性I越大，临界力七,越高从经验公式可知柔 度人越小，临界应力越高由于人=上1,所以提高惯性半径i的数值就能减小人的 数值可见，在不增加压杆横截而面积的前提下，应尽可能把材料放在寓截而形 心较远处，以取得较大的I和i,提高临界压力例如空心圆环截而要比实心圆 截而合理如果压杆在过其主轴的两个纵向平面约束条件相同或相差不大，那么应采用 圆形或正多边形截而；若约束不同，应采用对两个主形心轴惯性半径不等的截面形状，例如矩形截面或工字形截面，以使压杆在两个纵向平面有相近的柔度值这样，在两个相互垂直的主惯性纵向平面有接近相同的稳定性2.尽量减小压杆长度由式（16-4）可知，压杆的柔度与压杆的长度成正比。
在结构允许的情况下,应尽可能减小压杆的长度；甚至可改变结构布局，将压杆改为拉杆（如图16-21a 所示的托架改成图16-21b的形式）等等图 16-213.改善约束条件从本章第三节的讨论看出，改变压杆的支座条件直接影响临界力的大小例如长为l两端铰支的压杆，其|i= 1 , Fr =生詈若在这一压杆的中点增加一个中 间支座或者把两端改为固定端（图16-22）则相当长度变为p i = 2，临界力变为Fcr兀 2 EI 4 兀 2 EIw p图 16-22可见临界力变为原来的四倍一般说增加压杆的约束，使其更不容易发生弯曲变 形，都可以提高压杆的稳定性4.合理选择材料由欧拉公式(16-5)可知，临界应力与材料的弹性模量E有关然而，由于各 种钢材的弹性模量E大玫相等，所以对于细长杆，选用优质钢材或低碳钢并无很 大差别对于中等杆，无论是根据经验公式或理论分析，都说明临界应力与材料 的强度有关，优质钢材在一定程度上可以提高临界应力的数值至于短粗杆，本 来就是强度问题，选择优质钢材自然可以提高其强度。