模块综合检测 (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每个小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在极坐标系中，圆ρ＝sin θ的圆心的极坐标是( )A. B．(1,0)C. D.解析：选C 将圆的极坐标方程ρ＝sin θ化成直角坐标方程为x2＋2＝，可知圆心的直角坐标为，化为极坐标为.故选C.2．在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是( )A．ρ＝2 B．θ＝C．ρcos θ＝2 D．ρsin θ＝2解析：选D 极坐标为的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y＝2，其极坐标方程为ρsin θ＝2.3．在同一坐标系中，将曲线y＝2sin x变为曲线y′＝sin 2x′的伸缩变换是( )A. B.C. D.解析：选B 设则μy＝sin 2λx，即y＝sin 2λx，∴解得故选B.4．若曲线C的参数方程为(t为参数)，则下列说法中正确的是( )A．曲线C是直线且过点(－1,2)B．曲线C是直线且斜率为C．曲线C是圆且圆心为(－1,2)D．曲线C是圆且半径为|t|解析：选A 曲线C的参数方程为(t为参数)，消去参数t得曲线C的普通方程为x－y＋2＋＝0.该方程表示直线，且斜率是.把(－1,2)代入，成立，∴曲线C是直线且过点(－1,2)，故选A.5．点M的极坐标是，它关于直线θ＝的对称点坐标是( )A. B.C. D.解析：选B 当ρ<0时，它的极角应在反向延长线上．如图，描点时，先找到角－的终边，又因为ρ＝－2<0，所以再在反向延长线上找到离极点2个单位长度的点即是点.直线θ＝就是极角为的那些点的集合．故M关于直线θ＝的对称点为M′，但是选项没有这样的坐标．又因为M′的坐标还可以写成M′，故选B.6.已知双曲线C的参数方程为(θ为参数)，在下列直线的参数方程中，① ② ③④ ⑤(以上方程中t为参数)，可以作为双曲线C的渐近线方程的是( )A．①③⑤ B．①⑤C．①②④ D．②④⑤解析：选A 由双曲线的参数方程知，在双曲线中对应的a＝3，b＝4且双曲线的焦点在x轴上，因此其渐近线方程是y＝x.检验所给直线的参数方程可知只有①③⑤适合条件．7．已知过曲线(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P与原点O的连线PO的倾斜角为，则点P的坐标是( )A．(0,3) B.C．(－3,0) D.解析：选A 曲线的普通方程为x2＋y2＝9(0≤x≤3)，∵点P与原点O的连线PO的倾斜角为，∴点P的横坐标为0，将x＝0代入x2＋y2＝9得y＝3(y＝－3舍去)，∴P(0,3)．故选A.8．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A. B.C. D.解析：选B 三条直线的直角坐标方程依次为y＝0，y＝x，x＋y＝1，如图．围成的图形为△OPQ，可得S△OPQ＝|OQ||yP|＝1＝.9．点(ρ，θ)满足3ρcos2θ＋2ρsin2θ＝6cos θ，则ρ2的最大值为( )A. B．4C. D．5解析：选B 由3ρcos2θ＋2ρsin2θ＝6cos θ，两边乘ρ，化为3x2＋2y2＝6x，得y2＝3x－x2，代入ρ2＝x2＋y2，得x2＋y2＝－x2＋3x＝－(x2－6x＋9)＋＝－(x－3)2＋.因为y2＝3x－x2≥0，可得0≤x≤2，故当x＝2时，ρ2＝x2＋y2的最大值为4.10．过椭圆C：(θ为参数)的右焦点F作直线l：交C于M，N两点，|MF|＝m，|NF|＝n，则＋的值为( )A. B.C. D．不能确定解析：选B 曲线C为椭圆＋＝1，右焦点为F(1,0)，设l：(t为参数)，将其代入椭圆方程得(3＋sin2θ)t2＋6cos θt－9＝0，则t1＋t2＝－，t1t2＝－，∴＋＝＋＝＝＝.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．在平面直角坐标系中，曲线C： (t 为参数)的普通方程为________．解析：直接化简，两式相减消去参数t得，x－y＝1，整理得普通方程为x－y－1＝0.答案：x－y－1＝012．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x＋y－6＝0，圆C的参数方程为(参数θ∈[0,2π))，则圆心C到直线l的距离为________．解析：圆C的参数方程(参数θ∈[0,2π))化成普通方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心为(0,2)，半径为2，∴圆心C到直线l的距离为＝2.答案：213．在极坐标系中，曲线C1 与C2 的方程分别为 2ρcos2θ＝sin θ与 ρcos θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1 与C2交点的直角坐标为________．解析：由2ρcos2θ＝sin θ⇒2ρ2cos2θ＝ρsin θ⇒2x2＝y，又由ρcos θ＝1⇒x＝1，由⇒故曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2)．答案：(1,2)14．在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为ρsin＝.若以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系xOy，则直线C1的直角坐标方程为______；若曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1被C2截得的弦长为________．解析：直线C1的极坐标方程为ρsin＝，即ρsin θ＋ρcos θ＝2，∴直线C1的直角坐标方程为x＋y－2＝0.曲线C2的参数方程(t为参数)化成普通方程为x2＋(y－1)2＝1，表示圆，圆心到直线C1的距离d＝，∴C1被C2截得的弦长为2 ＝.答案：x＋y－2＝0 三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为(α为参数)，求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．解：因为直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，所以直线l的普通方程为y＝x，①又因为曲线C的参数方程为(α为参数)，所以曲线C的直角坐标方程为y＝x2(x∈[－2,2])，②联立①②得或(舍去)故点P的直角坐标为(0,0)．16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．解：(1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝.所以直线l的极坐标方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2.从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，因为圆心C到直线l的距离d＝＝<1，所以直线l与圆C相交．17．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)．(1)以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；(2)已知A(－2,0)，B(0,2)，圆C上任意一点M(x，y)，求△ABM面积的最大值．解：(1)因为圆C的参数方程为(θ为参数)，所以普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝4.由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，可得(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ＋4)2＝4，化简可得圆C的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0.(2)由已知得直线AB的方程为x－y＋2＝0，点M(x，y)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝＝，又|AB|＝＝2，所以△ABM的面积S＝|AB|d＝|2cos θ－2sin θ＋9|＝，所以△ABM面积的最大值为9＋2.18．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0.(1)求C1的普通方程及C2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若P，Q分别为C1，C2上的动点，且|PQ|的最小值为2，求k的值．解：(1)由(t为参数)消去t可得C1的普通方程为y＝k(x－1)，它表示过定点(1,0)，斜率为k的直线．由ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0可得C2的直角坐标方程为x2＋y2＋10x－6y＋33＝0，整理得(x＋5)2＋(y－3)2＝1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆．(2)由题意知直线与圆相离．因为圆心(－5,3)到直线y＝k(x－1)的距离d＝＝，故|PQ|的最小值为－1，由－1＝2，得3k2＋4k＝0，解得k＝0或k＝－.。