北京四中编 稿：朱中串 责 编：李三山斜抛物体的运动【学习目标】(1) 知道斜抛运动的特点是初速度方向斜向上方，只受重力作用，它的运动轨迹是抛物线2) 知道斜抛运动可以看作是水平方向的匀速直线运动和竖直向上的竖直上抛的合运动3) 知道什么是斜抛运动的射高、射程和飞行时间，定性地了解它们怎样随初速度和抛射角的改 变而改变4) 知道什么是弹道曲线，弹道曲线与抛物线的区别重点、难点】重点：1、知道斜抛运动的处理方法2、能计算斜抛运动的射高、射程和飞行时间难点：灵活把握斜抛运动的处理方法知识讲解】一、斜抛物体的运动1、对斜抛运动的认识(1) 斜抛运动：它是物体具有斜上方的初速度，仅在重力作用下物体所做的运动2) 斜抛物体的运动初始条件：具有初速度V0,方向与水平方向成0角受合外力情况：空气阻力忽略不计，做斜抛运动的物体只受重力G的作用力和运动的特点：由于初速度与所受合力不共线，因此物体做曲线运动又因物体只受重力G, 故做斜抛运动的物体的加速度恒定,因此,斜抛运动的运动性质是匀变速曲线运动 2、斜抛运动的分析(1)常规方法即通过力和初始条件构建一平面直角坐标系，把实际运动分解，应明确实际运动就是合运动；与平抛运动类比可建立水平和竖直两坐标轴，先把初速度V0分解成水平方向的分速度V 0x 和竖直方向的分速度V ,其中水平方向不受力，竖直方向仅受重力，见下图示。
那么，假设G不存 y在，物体做匀速直线运动；假设v不存在，在竖直方向应做竖直上抛运动X因此，斜抛运动可以看成是水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动的合运动2)斜抛运动的规律以抛出点为坐标原点，以抛出时刻为计时时刻，以X、y轴的正方向为研究的正方向，斜抛运动的规律可由下列方程表示，两组基本方程：①、速度关系:= v0cos9Vj, = v0 sin 6 —gt忑=vj = (v0 COS0)t②、位移关系:y= (v0 sin当然在竖直方向，其它匀变速直线运动的公式同样能使用合速度即实际速度，大小为：卩j叫+9经t时间位移大小为：(3) 运动方程和轨迹特点：x= (vocos0)b 得t=——-—因 ，代入下面式子中:得：由上面的方程可知，物体的运动轨迹应为抛物线谢程：X空射高：Y(4)三个特征参量： 〔E* J日JI」射程：在斜抛运动中，从物体初抛出的地点到落地点的水平距离，用 X 表示 射高：从抛出点的水平面到物体运动轨迹最高点的高度，用 Y 表示 飞行时间：从物体被抛出到落地所用的时间，用 T 表示推导：对做斜抛运动的物体，它完成一个运动过程在竖直方向上的位移为零，即y=0。
根据 y=(v0sme)t—则 O = (v0sinG)T— 2 畝Y ：：2旳如日因为，飞行时间T不能为零，解上面的方程，得到物体的飞行时间： ①由①中物体的飞行时间，再据x = (v0cosG)t2vosin 0_ Vqsin20得：X=(v0cose)T=(v0cose) g g (其中 sin20 = 2cos0sin0)x_所以，水平射程「 ②设，物体从被抛出到上升到最高点时间为t,物体到达最高点时的竖直分速度应该为0 即，O = (vosin0)—gtt^vQsin 9得物体上升到最大高度的时间：Y=(yosin 7--gt"代入 中得物体的射高： — ③由①、②、③式可知，X、Y、T这三个物理量都只与抛体的初速度v0和抛射角0有关二、弹道曲线1、 空气阻力对抛体运动的影响 抛体运动总要受到空气阻力的影响，空气阻力对斜抛运动的影响程度除了与抛体本身的形状、空气密度有关以外，还与抛体运动的速率有关其中抛体运动的速率越大，受空气阻力影响的程度就越大；只有物体运动的速率较小的情况下 才可忽略空气阻力，抛体运动才接近于理想情况2、 考虑到空气阻力，炮弹实际在空中飞行的曲线就叫做弹道曲线。
典型例题讲解】：斜抛运动的处理方法1、把斜抛运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动，这是解决斜抛运 动的基本方法，也是最重要的方法解决斜抛运动的关键要记住两组基本方程：M =旳 cos0速度方程：位移方程：x = JJvqCos 日片y= (Hjsin例 1、如图所示，有一门迫击炮射击一个在山坡上的目标假设迫击炮弹的初速度是 v0 ，山坡的倾斜角为a射击方向跟水平方向所成的角为卩，试求炮弹将落在l为多远的地方？其中l=AB，空气阻力不计解析：因空气阻力不计，可将炮弹的抛物运动分解为沿水平方向的匀速直线运动和竖直方向的 竖直上抛运动，故从 A 到 B 时间为 t则其在水平方向与竖直方向上相应的位移为X = v0cospt ①y=v sin^t— 2 ②而炮弹落在B点，由几何关系：x = lcosa ③y=lsina ④解上四式，得：gco52Cl例2、一枪口对着一竖直靶瞄准，子弹恰可垂直射入靶中假设枪口离靶的水平距离为a,子弹 的出口速度为v°,如图所示，且可认为子弹做斜抛运动求：⑴若枪口的倾角为G,则sin20 =?(用v0、a、g表示，其中sin20 = 2sin0cos0) (2)子弹击中靶处的高度 h 与瞄准点高度 H 的关系？P解析：子弹垂直射入靶中，说明在击中靶时，子弹的竖直分速度为零，它已恰好达到斜抛运动 的最高点。
1)设，子弹射出到击中靶的时间为 t则 a=v0cos0t ①0=v0sin0—gt ②Sag由上两式可得：2sin0cos0= v°2ag即sin20=兀h=(v0sinG)t—2(2)由 y=(v0sinG)t— 可知,vosin 0再由②式得：t= g子弹的射高：h=兀— sin 0 cos 0 而 a=v0cosGt= g由几何知识：H=atanG由③④得：2、斜抛运动具有对称性 因竖直上抛运动具有对称性，因此斜抛运动也具有对称性，对称轴是通过最高点垂直于水平的 直线又因最高点仅有水平速度，故ab段应为平抛运动，且oa段与ab段对称，故t =t b，其中t oa ab oa是从ora的时间，tb是从a—b的时间，同时o点和b点速率也应相同，在处理问题时，可直接应ab用例3、从高H处的一点O先后平抛小球1和2,球1恰好直接越过竖直档板落到水平地面上B 点，球2则与地面A点碰撞一次后，也恰好越过竖直档板，而后也落到B点，如下图示，设球2与 地面碰撞遵循类似光的反射定律，且反弹速度大小与碰撞前相同，求竖直档板高度h0解析：本题要从运动的独立性为切入点考虑，由斜抛运动的对称性特点，可得 2 的运动时间是 1球的 3 倍，设 1、2球运动时间分别为 t1、t2则水平方向有：v2t2=v1t1，Vt =3t21•：v =3v12又因两球飞过竖直档板的水平位移相同，故它们过档板前的飞行时间应满足：12' = 3(设2球从第一次落地到飞至档板顶端所用时间为t,则有:故球2落地时，竖直分量为巾匕旋帀 ②球2达到档板顶端时，竖直分量为 ③且 V2，= V2〃 + gt ④h=-H由①、②、③、④式，解得：3、巧取参考系抛体运动的共同特点是加速度相同，都为g。
因此，当研究多个抛体的运动规律时，可以以做自 由落体运动的物体为参考物，则各物体的运动均为匀速直线运动，这样可简化各物理量间的关系， 因此，斜抛运动可分解为初速度方向的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动例4、如图所示，树上有一只小猴子，远处一个猎人持枪瞄准猴子，当猎枪射击时，猴子同时开始落下，不计空气阻力已知猴子开始离枪口的水平距离为s,竖直高度为h,试求子弹初速度满足 什么条件时，总能击中猴子？解析：以猴子为参照物，因不计空气阻力，即以自由落体的物体为参考物，则在子弹和猴子都落地前，子弹做匀速直线运动，子弹开始瞄准猴子，说明该速度方向正指向猴子，因此只要速度足 够大(它们均不落地)子弹总能击中猴子沿初速度方向，子弹做匀速直线运动，击中前位移为V0t,而竖直方向子弹做自由落体运动，位 移为2 ，子弹在时间t内的合位移如图OB示，则V02t2 = h2 + s2丄屮Eh由于要在猴子落地前击中，故有：’【巩固练习】1、下列各种运动中属加速度不变的运动是 ( )A、自由落体运动 B、平抛运动C、斜抛运动 D、空气阻力恒定下的竖直上抛运动2、一个小球做斜抛运动，空气阻力不计，它经2s返回与抛出点同一高度处，则小球的射高是()A、 5mC、 20mB、 10mD、因抛出时，抛射角和初速度不知，故上升高度不能确定3、 对做斜抛运动的物体，下列说法正确的是 ( )A、 它是匀变速曲线运动B、 它到达最高点时速度为零C、 它可分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动D、 若抛出点和落地点在同一水平面上，则抛出点的速度与落地点速度一定相同4、 若甲、乙两个物体都做斜抛运动，它们的初速度大小相同，甲物体的抛射角为％ = 30。
乙 物体的抛射角为02 = 60°(1) 若甲的射高为Y甲，乙的为Y乙则Y甲：Y乙为甲 乙 甲 乙A、 1： 1 B、 1： 2 C、 1： 3 D、 1： 4(2) 若甲的射程为X甲，乙的为X 乙,则X甲：X 乙为甲 乙 甲 乙A、 1： 1 B、 1： 2 C、 1： 3 D、 1： 4(3) 若甲的飞行时间为T甲，乙的飞行时间为T乙 则T甲：T 乙为甲 乙 甲 乙A、1 ： 1 B、1 ：血 C、1 ：語 D、1 ：胡5、在高空中有 a、b、c、d 四个小球，在同一位置、同一竖直面内、同时、以相同的速率抛出，抛出时抛射角都为 45°，见图示，那么 1s 后四个小球在空中的位置构成的正确图形是 ( )6、地面上的水龙头按下图示的方式向上喷水，所有水珠喷出的初速度大小均为v0，都可认为它 们做斜抛运动，假设喷出后水束的最高位置距地面5m,试求水束落地时的圆半径7、在掷铅球时，铅球出手时离地面高度为h,若出手时速度为v0,求以何角度掷球时，铅球水 平射程最远，最远射程多少？(假设空气对铝球的阻力不计)【参考答案】1、 ABC2、 A3、 AC4、 (1)C；(2)A；(3)C；5、 A。
6、提示：设某一水珠的抛射角为G,飞行到最高点时间为t,其抛射的高度为H,水平射程为s 则在水平方向s=v0cosG(2t)在竖直方向v0sin0 = gt故水平射程^Vosin VQsin20s=v0cos02\ g 丿 g又0 = 90°时，喷射最高，则v0="f莎廖)%Uh®故s =当0=45时，sin20有最大值1故水平射程的最大值s =2H=10mm因此所求半径 R= sm= 10mm7、提示：将铅球的运动分解为沿初速度方向的匀速运动和沿直竖直方向的自由落体运动其位移分别为V0t和 ，由上图得X2 = (V0t)2 — a —h)24-2 O22CT&t2=故所以， x羽汁2gh 疝；=必+2咗gh时，X2有极值，.再将t值代入—h=v°sinat，"中一 工 ..得 sina=J^+2gh% _ 则a=arcsin认I‘％+劲丿。