一、单项选择题一、单项选择题（每小题（每小题 2 分，共分，共 20 分）分）答案：C1、下列命题,正确的是：（A）kji是单位向量（B）j不是单位向量（C）22|aa（D）2()a a ba b 答案：B（A）c b（D）ba2、设三个向量,a b c 满足关系式 0,abc则 a b（B）b c（C）ac答案：C3、旋转曲面 2220223xyz的旋转轴是（A）oz轴（B）oy轴（C）ox轴（D）直线 xyz答案：A4、下列方程中是二阶微分方程的是：（A）220 x dyy dx（D）2320yy（B）2()1y y（C）224d yyxdx答案：B5、曲线（A）0（D）4（B）1（C）2()yy x经过点(0,1),且满足微分方程 24,yyx则当 1x 时，y 答案：C6、函数（A）(,)0,0 x y xy（D）(,)|0 x yxy（B）(,)0 x y xy（C）(,)0 x y xyln()zxy 的定义域是：答案：B7、计算（A）1（D）（B）b（C）0(,)(0,)sinlimx ybxyx答案：A8、设（A）12II（D）（B）12II（C）12II2312d,d,DDIxyIxy其中 D是由圆周 22(2)(1)2xy所围成，则 无法判定 答案：C9、当级数（A）（D）（B）（C）1()nnnab答案：D10、设（A）2（D）（B）0（C）32L33ddLxyxxyy是圆域 22:2D xyx 的正向边界，则 收敛时，级数 1nna与1nnb必同时收敛 必同时发散 可能不同时收敛 不可能同时收敛 2二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共10小题，每小题小题，每小题2 分，共分，共20 分）分）1、过原点且与直线 1311xyz垂直的平面方程 为30 xyz2、点(2,1,0)到平面23450 xyz的距离为3、曲线:cos,sin,2xt yt zt在12012xyzt处的切线方程为4、曲面zxy在220 xyz1,2,2处的切平面方程为5、若21(),1f xx则6、若2,zx y则22ddxyxxydz 7、级数2221 22 3(1)nn的和是28、微分方程0 xyy满足2yx12xy的特解是()df xx9、若50301(,),f x yx y则0221(,)d dxyf x yxy10、设曲线L是分段光滑的且 512,LLL则1,d2,Lf x ys 2,d3,Lf x ys,dLf x ys 三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共7小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 42 分）分）1、求微分方程32yyyx的通解.解：原方程的特征方程为 2320rr特征根为 122,1rr（1分）对应的齐次方程的通解为 212xxYC eC e（1分）因为0不是特征方程的根.由(),f xx(1)m 知，可设01yb xb（1分）将 0,yb 0y 代入原方程,得 00132()bb xbx即001232b xbbx 比较一次项的系数,得（1分）012b 代入上式,得 134b 于是,原方程的通解为 2121324xxYC eC ex（1分）（1分）122,xyuxfyefx221212222xyxyffufxy efyexxx解：（3分）(1分)2、已知22(,),xyuf xy e求,ux22.ux (2分)1111222212222(2)(2)xyxyxyxyfxxfyefy efyexfyef222212111222244xyxyxyfy efx fxyefy ef解：作草图(略).211dddxDxyxyyx 2211d2xyxx321d22xxx (1分)d,Dxy1,2yx由直线3、计算二重积分其中D及 yx所围成.（1分）将积分区域视为 X型（1分）（1分）（1分）242184xx（1分）98解：积分曲面 22d1d dxySzzxy ()d,xyzS5yz为平面 4、计算曲面积分其中被柱面 2225xy所截得的部分.（1分）其投影域 22(,)25xyDx y xy而:5,zy21 0(1)d dxy 2d dxy（1分）()dxyzS2(5)d dxyDxxy(1分)（1分）25002d(5cos)drrr125 2.故2(5)d dxyDxyyxy (1分)(1分)(1分)(1分)解：ddd,xyyz,ABCA为有向闭折线 5、计算其中而 ,A B C依次为（1分）ddddddABxyyzxyyz 000:,:,:111zxyABBCCAxyyzxz 1,0,0,0,1,0,0,0,1.dddBCxyyzdddCAxyyz（2分）01110 dx 101 00 dx120212yy 1.2010 11ydy (1分)(1分)(2分)解：因为 333dddddd,xyzyxzzxy2221xyz为球面 6、计算其中的外侧.（2分）333ddddddxyzyxzzxy2223,3,3PQRxyzxyz（2分）由高斯公式得 222(333)dxyzv其中2221xyz为球体 2140003ddsindrr 2223()dxyzv125(1分)222(333)dxyzv（利用球面坐标）(1分)解：由比值判别法有 1(1)11nnnnx7、求级数 的收敛域.（1分）11|1|x1|()|11limlim|()|1|1|1|nnnnuxnuxnxx（1分）(1)当|1|1,x原级数绝对收敛.即 0 x 或 2x 时,11|1|x（1分）(2)当|1|1,x原级数绝对发散.即 20 x 时,|1|1x（1分）(3)当 0 x收敛，故级数的收敛域为(,2)0,)或 2x 当 0 x 时，级数为 1(1),nnn发散，当 2x 时，级数为 11,nn（1分）（1分）四、应用题（本大题共四、应用题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题6分，共分，共12分）分）1、将一长度为a解方程组(2)0(2)0Sy axyxSx ayxy (2分)解：设三段长度分别为 的细杆分为三段,试问如何分才能使三段长度之乘积为最大.yxayx,则它们的乘积为()Sxy axy其中 0,0 xy且 xya (2分)(1分),33aa得唯一驻点为 (1分)所以,当三段长度都为 327a它们的乘积最大且为 3a时,解：根据对称性有 cos,sinxryr222222()2()xyaxyD所围成区域 2、求曲线和 22xya的面积.（1分）14,DD其中 （1分）,ra1D是 D在第一象限内的部分 利用极坐标变换222xya由 2cos2ra222222()2()xyaxy,6Aa（1分）2cos2,rara联立 解得交点 1d d4d dDDDSxyxy14d dDrr（1分）故所求面积 2cos2604ddaarr（1分）23.3a（1分）五、证明题五、证明题(本大题共本大题共1小题，共小题，共6 分分)证明：所以由级数性质知 2212nnnab(1分)又因为 22,2nnnnaba b所以由比较判别法知级数 1nnna b绝对收敛.(1分)1、若级数 21nna及 21nnb收敛，证明：级数 21()nnnab也收敛.因为级数 21nna和 21nnb都收敛，也收敛.(1分)故由级数性质知 21()nnnab(2分)而 21()nnnab也收敛.(1分)221112nnnnnnnaa bb221(2)nnnnnaa bb。