三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心三角形垂心的性质设AABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂 心为H,角A、B、C 的对边分别为 a、b、c，p=（a+b+c）/2．1、 锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、 三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内 心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在/BC的外接圆上4、△ABC 中，有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似的直角 三角形，且AH・HD=BH・HE=CH・HF5、 H、A、B、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的 垂心（并称这样的四点为一—垂心组）6、△ABC,ABH ,BCH ,ACH的外接圆是等圆7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于 P、Q，则 AB/AP・tanB+AC/AQ・tanC=tanA+tanB+tanC8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2倍9、设0,H分别为△ABC的外心和垂心，则ZBAO=ZHAC, zABH=zOBC ,ZBCO=ZHCA10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外 接圆半径之和的2倍。
11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内 接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短12、西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上13、设锐角SBC内有一点T,那么T是垂心的充分必要条件是 PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA垂心的向径定义设点H为锐角三角形ABC的垂心，向量OH=h，向量OA=a , 向量OB=b，向量OC=c ,则 h=（tanA a +tanB b +tanC c）/（tanA+tanB+tanC）・ 垂心坐标的解析解：设三个顶点的坐标分别为（a1, b1）（a2，b2）（a3，b3），那么垂 心坐标 x=Ax/2/A, y=-Ay/2/A其中，A=det([x2-x1, x3-x2 , y2-y1, y3-y2]);A X=det([(x1+x2)*(x2-x1)+(y1+y2)*(y2-y1),y2-y1;(x2+x3)*(x3-x2)+(y2+y3)*(y3-y2)，y3-y2]);°w®«+ f Eh皿脚卑三垂脚卑h@ o ws 率39壬阜垂DO童’vooo=ao-vo申率 9V 壬阜垂 DO ftMk ' V000=30>80 QH 率 DV 壬阜垂 90 ffi ' 0=aO>VD o=ao*bo-vo) o=aooo-ao*vo& ' 3O-SO=9O-VO 申 mn 却脚卑0 W 1 VOOO=DO•ao=8O-vo •剖'O 聲一 M D8V 爼卑三:J([(Ex-ix)¥(ix-zx)+(1几£心(1心 eA) 'IX-ex!(zA-eA)¥(eA+zA)'乙 x-£x])gp" V三角形重心已知:△ABC中，D为BC中点，E为AC中点,AD与BE交于O,C 0延长线交AB于F。
求证：F为AB 中点证明：根据燕尾定理，S^AOB=S AAOC，又S^AOB=S △B0C,・・3A0C=SaB0C,再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证重心的几条性质：1•重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2 : 12•重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小4•在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系 —— 坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标:(Z1+Z2+Z3)/35•重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分证明：刚才证明三线交一时已证6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点其它规则图形的重心注：下面的几何体都是均匀的，线段指细棒，平面图形指薄 板・ Sam蛊聲swlh・ sslan^s—^SSMSS^3M^£ss«^kl§aE840EaB3nsis^ffi^^an^£s^ ・庭mm 兽B(dlr川»戟SlB彗»壽翻Bsigl盘書s□sn^ w£4mm<^»wms益・ smn^mBS 9S-sB.BhM就是△ABC的一个旁心。
三角形任意两角的外角平分线和第三个 角的内角平分线的交点一个三角形有三个旁心，而且一定在三 角形外若设O为^ABC的旁心,用向量表示则有aOA=bOB+cOC1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于 —点，该点即为三角形的旁心2、每个三角形都有三个旁心内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切 线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线 上点到角两边距离相等）内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点该点叫做三角形的内心注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径）■内心定理其实 极易证若三边分别为11,12,13,周长为p，则内心的重心坐标为(I1/p,12/p,13/p)直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的 差的二分之一双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴 的射影为对应支的顶点三角形内心的性质 设丄ABC的内切圆为0 0（半径 r），角A、B、C的对边分别为 a、b、c,p=（a+b+c）/21、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径 r。
r=S/p证明：S △ ABC=S △ 0AB+S △ 0AC+S △OBC=(cr+br+ar)/2=rp,即得结论△ABC 中，zC=90°,r=(a+b-c)/25、zBOC=90°+A/26、点0是平面ABC上任意一点，点0是/ABC内心的充要条件是：a（向量OA）+b（向量OB）+c（向量0C）=向量07、 点O是平面ABC上任意一点，点I是Z ABC内心的充 要条件是:向量 OI=[a（向量 OA）+b（向量 OB）+c（向量 OC）]/（a+b+c）8、 ZABC 中，A（x1, y1） , B（x2 , y2） , C（x3 , y3），那么ZABC内心I的坐标是:(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)9、（欧拉定理）Z ABC中，R和r分别为外接圆为和内切的半径，O和I分别为其外心和内心，则OIA2=RA2-2Rro10.（内角平分线分三边长度关系）角平分线分对边与该角的两边成比例证明：^ABC中，AD是ZA的角平分线，D在BC 上, abc是角 的对边 ABC， d=AD。
由于正弦定理 b/sinB=c/sinC半径，R2是^ACDd=R1sinB=R2sinC , R1 是△ABD 的外接的外接半 径 ， 所 以 R1/R2=sinC/sinB=c/b. 又BD=R1sinBAD , CD=R2sinCAD, z CAD= z BAD ,所以BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点，三角 形的三个顶点就在这个外接圆上.三角形外心的性质设Z ABC的外接圆为O G(R)，角A、B、C的对边分别为a、 b、c, p=(a+b+c)/2 ・1：(1)锐角三角形的外心在三角形内；(2 )直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；(3)钝角三角形的外心在三角形外・2 : zBGC=2zA，(或z BGC=2(180 °-zA)・3:点G是平面ABC上一点，那么点G是Z ABC外心的充 要条件是：(向量GA+向量GB)•向量AB=(向量GB+向量 GC)・向量 BC=(向量GC+向量GA)•向量CA=向量 0.4:点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点， 那么点G 是ZABC外心的充要条件是：(1)向量 PG=((tanB+tanC)向量 PA+(tanC+tanA)向量 PB+(tanA+tanB)向量 PC)/2(tanA+tanB+tanC)・或(2)向量 PG=(cosA/2sinBsinC)向量 PA+(cosB/2sinCsinA)向量 PB+(cosC/2sinAsinB)向量 PC.5 :三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角 形外接圆的圆心•外心到三顶点的距离相等。
6 : R=abc/4S /ABC.正弦定理： 2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC 。