白银市第一中学白银市第一中学 张学忠张学忠用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解一、问题的提出一、问题的提出NEXT问题:问题:(1 1)函数)函数f(x)=lnx+2x-6f(x)=lnx+2x-6在区间(在区间(2 2,3 3)内有零点,)内有零点,那么如何找到这个零点?那么如何找到这个零点?试解:如果依据定义:试解:如果依据定义:f(x)=0f(x)=0,即,即lnx+2x-6=0lnx+2x-6=0显然这个方程求解是有困难的,那么如何解决这个问题呢?这个方程求解是有困难的,那么如何解决这个问题呢?()有有1212个乒乓球特征相同,其中只有一个重量异个乒乓球特征相同,其中只有一个重量异常,现在要求用一部没有砝码的天平称三次,将那个常,现在要求用一部没有砝码的天平称三次,将那个重量异常的球找出来重量异常的球找出来二、实际情景二、实际情景创意假设这个重量异常的球比其它11个球重,则首先将12个球分一半称,那个较重的球必定在其中一边上再将称出的6个较重的球再分一半称取下天平上的球,从刚才称出的较重的3个球中任意拿出2个分别放在天平两端,如果天平两边不等,则较重的那一边上的球就是那个重量异常的球。
如果此时天平两端重量相等,则剩余的第3个球就是那个重量异常的球反之,如果那个球比其它11球轻,方法则亦然首先将首先将1212个球分一半称,那个个球分一半称,那个较重的球必定在其中一边上较重的球必定在其中一边上再将称出的再将称出的6 6个较重个较重的球再分一半称的球再分一半称从刚才称出的较重的从刚才称出的较重的3 3个球中任意拿出个球中任意拿出2 2个分个分别放在天平两端,如果天平两边不等,较重的那别放在天平两端,如果天平两边不等,较重的那一边上的球就是那个重量异常的球一边上的球就是那个重量异常的球如果此时天平两端重量相等,则剩余的第3个球就是那个重量异常的球NEXT分析:分析:如果沿着线路一小段一小段查找,如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点要爬一次电线杆困难很多,每查一个点要爬一次电线杆子,子,10km10km长,大约有长,大约有200200多根电线杆子多根电线杆子想一想,维修线路的工人师傅怎样工作想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?最合理?三、分析问题三、分析问题在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的线路发生故障,这是一条洪指挥部的线路发生故障,这是一条10 km10 km的线路,如何迅速查出故障所在?的线路,如何迅速查出故障所在?NEXT二、分析问题二、分析问题这样,每查一次,就可以把待查的线路缩成一半,这样,每查一次,就可以把待查的线路缩成一半,故经过故经过7次查找就可将发生故障的范围缩小到次查找就可将发生故障的范围缩小到50m100m之间,即一两根电线杆附近。
之间,即一两根电线杆附近闸门闸门指挥部指挥部D DC CE EA AB B再到再到CDCD中点中点E E来查在到在到BCBC中点中点D D,这次发现,这次发现BDBD正常,可见故障正常,可见故障出在出在CDCD段;段;解决方案:解决方案:如图,首先查处如图,首先查处C C点,用随身带点,用随身带的话机向两端测试时,发现的话机向两端测试时,发现ACAC段正常,则断段正常,则断定故障出在定故障出在BCBC段四、启发应用四、启发应用以上两个例子对我们有什么启发呢?以上两个例子对我们有什么启发呢?我们将方程的根看作商品的价格或故障点我们将方程的根看作商品的价格或故障点,故尔故尔可以采取以上的方法可以采取以上的方法,来寻找方程的零点来寻找方程的零点.设零点设零点为为Xo.Xo.第一步:将区间第一步:将区间aa,bb一分为二一分为二,即即a,cc,ba,cc,b 然后验证零点所处的区间若然后验证零点所处的区间若f(a)f(c)f(a)f(c)0 0,则,则零点在区间零点在区间aa,cc上,即上,即XoaXoa,cc若f(c)f(c)f(b)f(b)0 0,则,则XocXoc,bb第二步:将上面的工作重复进行,使区间的两个第二步:将上面的工作重复进行,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值。
端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值五、得出结论五、得出结论定义:对于在区间定义:对于在区间a.ba.b上连续不断,且上连续不断,且f(a)f(a)f(c)f(c)0 0的函数的函数y=f(x)y=f(x)通过不断地把通过不断地把函数函数f(x)f(x)的零点所在的区间一分为二,使区的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点进而得到零点近间的两个端点逐步逼近零点进而得到零点近似值的方法叫做二分法(似值的方法叫做二分法(bisectionbisection)定义分析:定义分析:(1 1)在没有公式可用来求方程根时,可联系相关函数,用二分法)在没有公式可用来求方程根时,可联系相关函数,用二分法求零点,用二分法求出的函数一般是零点的近似值求零点,用二分法求出的函数一般是零点的近似值2 2)并不是所有函数都可以用二分法求零点,必须满足在区间)并不是所有函数都可以用二分法求零点,必须满足在区间 a.ba.b上连续不断且上连续不断且f(a)f(a)f(b)f(b)0 0两个条件的函数才能用用二分两个条件的函数才能用用二分法求得零点的近似值法求得零点的近似值NEXT六、实际应用六、实际应用例例1-1-(1)(1)下列函数图象下列函数图象x x轴均有交点,其中不能用轴均有交点,其中不能用二分法求零点的图象是:二分法求零点的图象是:yxoyxoyxoyxo(A A)(B B)(C C)(D D)答案:答案:A A、C C六、实际应用六、实际应用例例-(2)-(2):已知函数:已知函数f(X)f(X)的图象是连续不的图象是连续不断的,且有如下对应表:断的,且有如下对应表:X1234567 f(X)136.13615.552-5.9210.88-52.488-232.06-782.78函数函数f(X)f(X)在哪个区间内有零点?在哪个区间内有零点?答案答案:(2,3),(3,4),(4,5)(2,3),(3,4),(4,5)六、实际应用六、实际应用例例2 2:借助计算器用二分法求方程:借助计算器用二分法求方程2 2x x+3x=7+3x=7的的近似解(精确到近似解(精确到0.10.1)解答:第一步,原方程为解答:第一步,原方程为2 2x x+3x-7=0+3x-7=0,令,令f(x)=2f(x)=2x x+3x-7+3x-7用计算器或计算机作出函数用计算器或计算机作出函数f(x)=2f(x)=2x x+3x-7+3x-7的对应值及图象。
的对应值及图象142754021103-2-6f(x)=2 +3x-776543210 xx第一步:作大致图象如下:第一步:作大致图象如下:1 12 2y yx xo o六、实际应用六、实际应用1 12 2y yx xo o第二步:观察图象可知:第二步:观察图象可知:f(1)f(1)f(2)f(2)0 0,说明这个,说明这个函数在区间(函数在区间(1 1,2 2)内有零点)内有零点XoXo取区间(取区间(1 1,2)2)的的中点中点X X1 1=1.5=1.5,计算可知,计算可知f(1.5)0.33f(1.5)0.33,所以,所以f(1)f(1)f(1.5)f(1.5)0 0,所以,所以Xo(1,1.5)Xo(1,1.5)六、实际应用六、实际应用1 12 2y yx xo o第三步:再再取取(1(1,1.51.5)的中点X X2 2=1.25,=1.25,用计算器可算得用计算器可算得f(1.25)=-0.87f(1.25)=-0.87所以所以,f(1.25)f(1.5)0,所以,所以X(1.25,1.5)同理同理,可得可得Xo(1.375,1.5).Xo(1.375,1.4375)第四步第四步:由于由于1.375-1.4375=0.06251.375-1.4375=0.06250.1,0.1,故区间故区间(1.375,1.4375)(1.375,1.4375)的两个端点精确的两个端点精确到了到了0.1,0.1,且近似值都是且近似值都是1.4,1.4,故方程的近似解故方程的近似解为为1.4.1.4.六、实际应用六、实际应用NEXT七、练习巩固七、练习巩固例例3 3:求:求 的近似值。
的近似值32分析:若设分析:若设 X=X=,则有,则有X =2X =2,即,即X -2=0X -2=0,故而方,故而方程程X -2=0X -2=0近似的解就是它的近似值,以下用二分法求近似的解就是它的近似值,以下用二分法求其零点323 33 33 3解:设解:设X=X=,则有,则有X -2=0X -2=0,令,令f(X)=X -2f(X)=X -2,则函数,则函数f(X)f(X)的零点的近似值就的零点的近似值就 是的近似值,以下用二分是的近似值,以下用二分法求其零点法求其零点3 33 33232由由f(1)=-1f(1)=-10 0,f(2)=8-2=6f(2)=8-2=60 0,故取区间,故取区间11,22为计算的初始区间为计算的初始区间NEXT端点(中点)坐标端点(中点)坐标计算中点的函数值计算中点的函数值取区间取区间F(1)=10F(2)=601、2 区间区间1.257811.25781、1.265621.26562的长度的长度:1.26562-1.25781=0.00781:1.26562-1.25781=0.007810.010.01故:中点就是函数零点近似值故:中点就是函数零点近似值。
11 2x1.52 21 1.5x1.252 31.25 1.5x1.3752 7x1.25781 F(XF(X3 3)=0.5996)=0.59960 0F(XF(X2 2)=)=0.490.490 0F(XF(X1 1)=1.375)=1.3750 0F(XF(X7 7)=-0.01)=-0.010 011、1.51.51.251.25、1.51.51.251.25、1.7351.7351.257811.25781、1.265621.2656226571.1226562.125781.18X。