1第十一讲 磁场2动生电动势自感电动势安培力洛伦茨力sinFqvBFBlI sinsinBlvILt（1，2，3，4，5，6）（7，8，9，10，11，12）3 1空间有一足够大的水平匀强磁场区域，磁感应强度B的方向如图所示场区中a、b两点相距s，a、b连线水平且与B垂直带电量为qo、质量为m的粒子,以初速V0从a点对着b点射出，为使粒子能击中b点，试问V0可取什么值?4解：如果 0mgqBv则粒子可沿直线运动到 b记此时粒子速度 0v等于：qBmgv01当然还可取 00102vvv 由01v 引起的洛伦兹力来平衡重力产生的洛伦兹力使粒子做圆周运动，周期为qBmT2要击中b点，必须在时间为 T的整数倍时，使 的位移恰为 s即01v01sv nT1,2,.n代入上式2222*n m gsq B1,2,.n因此,若*ss0v必须为 01v若*ss0v可为任意值 5 2如图，横截面积为矩形的管道长为l，宽为a，高为b，上下两个侧面是绝缘体，前后两个侧面是电阻可忽略的导体，与负载电阻RL相连整个装置放在匀强磁场B中含有正、负带电粒子的电离气体持续匀速地流经管道，已知流速与电离气体所受的摩擦力成正比，且无论有无磁场存在时，都维持管两端电离气体的压强差为p，如果无磁场存在时电离气体的流速为v0，那么有磁场存在时此磁流体发电机的电动势的大小是多少?电离气体的平均电阻率为。
6解1从力的角度来解：设有磁场存在时电离气体(相当于长度为a的导体)的流速为 v，其产生的横向感生电动势为=vaB当电离气体匀速流动时，管两端的压力差给气体一个向前的力，而感应电流(当外电路接通时存在)受到的安培力和摩擦力给气体一个向后的力，这两部分力应该相互平衡由欧姆定律可知I=/R=/(a/lb+RL)管内气体所受安培力 F=Iba=Ba/(a/lb+RL)当管周围无磁场时，用f表示摩擦力，应有 pab=f当管周围有磁场时，用f表示摩擦力，应有 pab=F+f因为流速与摩擦力成正比，所以v0/v=f/f=pab/(pab-F)由以上诸式可解得BvpblbaRBapabL0/7解2从能量守恒的角度来考虑：无磁场时，外界压力的功率=克服摩擦力的功率pabv0=kv0v0(k为比例系数)有磁场时，外界压力的功率=克服摩擦力的功率+消耗在磁流体本身及负载电阻上的功率2/Lpabvkv va lbR avBBav当气体稳定时，应有lbaRaBvpbBpbL/2202BvpblbaRBapabL0/、代入可得同样可得8 3如图(a)所示，半径为R的圆筒形真空管中有两个隔板A和A，中心有小孔，相距L。
区域I中有水平方向的电场，中有水平方向的匀强磁场，中无电、磁场由阴极K发出的电子由电场加速后穿过小孔A成发散电子束进入区域，设所有电子穿过小孔A时的水平分速度都为v调节区域中的磁感强度使之为能使电子束穿过A小孔的最小值B，从这时开始计时，且使B的方向做周期为T的变化(图b)设真空管中碰到管壁的电子均不弹回1）求有电子束穿过A时T的最小值T0；（2）设T=2T0，哪些时间内有电子束穿过A?（3）进入区域的电子中，运动方向与管轴间的最大夹角为多少?9解：这是一个典型的磁聚焦问题题中所谓将区域中的磁场调节到能使电子束穿过A的最小值，就是使电子在磁场中经过一个螺距后到达A，即T=L/v，如果这些电子在区域中运动的时间不到T，它们将不能穿过A，因此要使电子穿过A的最小周期T0=2T=2L/v如果T=2T0，那么每一次改变磁场方向前的T0/2时间,穿过A的电子将能穿过A，即在图中时间轴上波纹线部分所表示的时间内，有电子穿过设斜入射到区域中的电子在垂直于管轴方向上的速度为 ,则电子做圆周运动的半径r和周期T分别为v，10eBmvreBmT22BeBmvmeBRv2只有2rR的那些电子才能不与管壁碰撞而到达A，即，利用vLeBmT2，可消去B得到LRvLRtg1因此穿过A后的电子运动方向与管轴间的最大夹角为11 4图中为一离子源，它能机会均等地向各方向持续地发射正离子，离子的质量均为，电量均为，速度均为。
在离子源的右侧有一半径为的圆屏，图中是通过圆屏的圆心并垂直于屏面的轴线，位于轴线上离子源和圆屏所在的空间有一范围足够大的匀强磁场，磁感应强度的大小为，方向垂直于圆屏向右在发射的离子中，有的离子不管的距离如何变化，总能打到圆屏面上求这类离子的数目与总发射离子数之比不考虑离子间的碰撞12 解：由S发出的粒子都作螺旋线运动（类似于磁聚焦），设为离子发射方向和OO的夹角，速度为v0，其平行于OO的分量为v0cos，垂直分量为v0sin，作螺旋运动的半径为r，则 qv0sinB=m(v0sin)2/r无论SO多大总能打到圆屏上的离子，须满足rR/2，可得：0sin2qBRmv这些离子的发射方向须在以S为顶点，以OO为轴线，以2m为顶角的圆锥内这些离子和总离子数之比应等于球冠面积A和球面积之比A1=2R2(1-cosm)1322212 20111 cos11224mAR B qkAm v思考：以什么角发射的离子，在SO变化的过程中，有50%概率击中圆屏？14 5A1和A2是两块面积很大、互相平行又相距较近的带电金属板，相距为 d两板问的电势差为U同时，在这两板间还有方向与均匀电场正交而垂直纸面向外的均匀磁场一束电子通过左侧带负电的板A1上的小孔，沿垂直于金属板的方向射入，为使该电子束不碰到右侧带正电的板A2，问所加磁场的磁感应强度至少要多大?设电子所受到的重力及从小孔进入时的初速度均可不计15解：按题意，电子在刚进入两板间时，初速度为零.我们设想：此时电子具有沿如图所示的y（平行于板）方向的速度+v和-v，使+v这个速度所引起的磁场力正好与电子板间所受的电场力相平衡，即v的大小满足 evB=eE=eU/d，或写成 v=U/(Bd)式表明，这个正值是恒定的照此设想，电子在其后的运动过程中将受到三个力，一个是沿x方向的电场力，一个是由于电子沿y轴向上运动而产生的-x方向的磁场力，另一个是电子向下运动产生的x方向的磁场力这第三个力所相应的加速度引起电子速度的改变，它和原来电子向下运动的速度的合成正是一种匀速率圆周运动模式，而电子向上运动这个分速度没有改变，也就是说，它所引起的磁场力和电场力始终保持平衡于是，电子的运动综合起来，16可视为是一个速度为v的向上运动和一个速率为v的匀速圆周运动的合成对匀速圆周运动，有evB=mv2/R而要求电子不碰到A2板，则必须Rd/2 deBmUeBmvRd2/2/2/2edmUB 将和式代入式，即17 6。
618解：对m在x、y两个方向上用NSL：yxxqv Bkvma X：Y：xyyqv Bkvma 处理*式：xvyxqBkmttt 遍乘t，再求和：0sinqBdkxmv同理可得:0cosqBxkdmv 上两式消去x：122222222220sincossind q Bkd q Bkq Bkvdm qBkmm 此时应为1tan(k/qB)*19解2021 7两个互相咬合(良好导通)的金属齿轮A、B，它们均可绕水平轴自由转动，匀强磁场B与轮面垂直，与A共轴的轮C上绕有绝缘细绳，下挂一重物，带动轮子转动A、B、C三轮的半径分别为l1、l2和l3，O1、O2处用电刷、导线与电阻R相连，其余电阻均不计，摩擦也不计若重物下落达到匀速运动时速度为v，求重物的质量.2212IR解：该系统的等效电路如图所示金属齿轮A产生的感应电动势为1齿轮B产生的感应电动势为2 流过电阻R的电流设重物匀速下落时的运动速度为v，则齿轮A边缘上的点的线速度13Alvvl齿轮B边缘上的点的线速度与A的相同13BAlvvvl此时211 2112233112222ABBl vBll vBlvBl vll所以流过R的电流2131 23121123/2/2()2Bl vlBll vlBl v llIRRlR23根据能量的转化和守恒定定律，当重物匀速下落时重力做功的功率应该等于整个系统消耗的电功率，即221123()2Bl v llmgvI RRlR解得2 2211223()4B l llmvRgl24 8.252627 8.282930 9。
电源的电动势为U,电容器的电容为CMN、PQ是两根位于同一水平面内的平行光滑长导轨，它们的电阻忽略不计两导轨间距为L，导轨处在磁感强度为B的均匀磁场中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面l1和l2是两根横放在导轨上的导体棒，不计摩擦两小棒的电阻相同，质量分别为m1和m2，且m1m2开始时两根小棒均静止在导轨上，现将开关S先合向1，然后合向2求：（1）两根小棒最终的速度大小：（2）整个过程中的焦耳热损耗31 解：1开关S由1合向2之后，电容器通过导轨及两小棒构成的回路放电，外磁场B对两小棒施加安培力，使两小棒从静止开始向右做加速运动开始时两棒受到的安培力相等，但由于两棒质量不等，故加速度不等，导致1棒的速度较大，产生的感生电动势亦较大，使流经该棒的电流较小，以致1棒所受的安培力小于2棒，相应的加速度亦变小最终导致两棒以相同的速度运动，两棒产生的感生电动势均等于电容器两端的电压，流经两棒的电流为零，它们所受的安培力消失32此时作用于l1与l2上的安培力分别为11BLif(1)22BLif(2)tttvmtBLitf111在 到时间内,两棒增加的动量由动量定理给出(3)即vmtBLitf222(4)由于开始时两棒均静止,最终两棒速度相等,设最终速度为v,则有 vmtBLi11(5)vmtBLi22(6)上两式相加,得vmmtiiBL)()(2121(7)33任何时刻,通过l1与l2 的电流的代数和等于电容器的放电电流i,即iii21(8)而 12()iiti tQq (9)式中Q为刚开始放电时电容器正极板带的电量,q为小棒达到最终速度时电容器正极板带的电量,显然QCU(10)qCBLv(11)由(7)(8)(9)(10)(11)式得vmmBLvUBLC)()(21解得CLBmmBLCUv222134棒达到最终速度时电容器的储能为24432122212qB LC UW2C2(mmB LC)两棒的最终动能为22222212122221211()()22()B L C UWmm vmmmmB L C整个过程中的焦耳热损耗为21201222212()()2()mm CUWWWWmmB L C2.电容器开始放电时,所具有的电能为2012WCU35 10.36IBavLtBavtLI,解：BaSLIvBaImt,消去I：22vB a SmLt 作简谐运动。
30.5 0.32811.9/0.1 10Barad smL mvA40.33611.9mvAm*因为A比l1大得多，所以BC边肯定会冲过磁场在BC冲出磁场，AD尚未进磁场时，线圈匀速运动，其中电流不变AD进入磁场后，线圈作加速运动，AD出磁场时，速度恢复到v0，如此往复371sin8.56ObOabOa11808.5611.90.0126s BC边进入磁场的时间 线圈跨越磁场做匀速运动的速度10cos8.563.96/vvm s 这段时间1210.048alsv其它时间120.193526llats12220.532Tts38 11.假想有一水平方向匀强磁场，磁感强度B很大有一半径为R，厚度为d（dR）的金属圆盘，在此磁场中竖直下落，盘面始终位于竖直平面内并与磁场方向平行，如图所示若要使圆盘在磁场中下落的加速度比没有磁场时减小千分之一（不计空气阻力）试估算所需磁感强度的数值假定金属盘的电阻为零，并设金属盘的密度 千克/米3，其介电常数为 库2/牛米231091210939解：当圆盘以速度v下落时，圆盘两面的电势差U=Bvd将圆盘的两面看成一个电容器 2SRCdd22RQCUBvdR Bvd2QvIR Btt安培力 22vFBIdR B dtNSL：vmgFmt即 22vvmgR B dmtt4022vmgatmR B d代入 2mR d可得 21gaB据题意0.999ag20.9991ggB210B代入数据 B=106T，4112.42解：反向 因超导体内的磁感强度必为零（why？），而上述中因上、下两环通以反向电流，所以z=0平面内的磁场也必为零，两者情况相似。
所以A环受的力也和相似由力的平衡有2002222II rMgIlBIrhh即2002rIhMg x2200000122mI rI rxFFMgMgMghxhh 如A环向上偏离，则A所受的合外力 432020002rIMggh Mhh M022hTg振动的角频率：。