高考数学精品复习资料 2019.5第四篇(时间:120分钟 满分:150分) 【选题明细表】知识点、方法题号向量的概念及线性运算3、7向量的基本定理及坐标运算5、18向量的数量积及应用2、9、10、11、12、15、16、19复数的概念及运算1、4、13、14、17综合应用6、8、20、21、22一、选择题(每小题5分,共60分)1.(高考天津卷)i是虚数单位,复数7-i3+i等于( B )(A)2+i (B)2-i(C)-2+i (D)-2-i解析:7-i3+i=(7-i)(3-i)(3+i)(3-i)=20-10i9+1=2-i.故选B.2.已知两个单位向量e1,e2的夹角为θ,则下列结论不正确的是( D )(A)e1在e2方向上的投影为cos θ(B)e12=e22(C)(e1+e2)⊥(e1-e2)(D)e1·e2=1解析:由题可知e1·e2=|e1|·|e2|cos θ=cos θ,则D项错误.故选D.3.设a,b是两个非零向量,则下列选项正确的是( C )(A)若|a-b|=|a|-|b|,则a⊥b(B)若a⊥b,则|a-b|=|a|+|b|(C)若|a-b|=|a|-|b|,则a,b共线(D)若a,b平行,则|a+b|=|a|+|b|解析:若|a-b|=|a|-|b|,则a,b共线,所以选项A是错误的;若a⊥b,则以a,b为邻边构成长方形的对角线的长不可能等于两个邻边长的和,所以选项B是错误的;若a,b平行,则a,b的方向可能相同,也可能相反,如果a,b的方向相反,则|a-b|=|a|+|b|,所以选项D是错误的.故选C.4.(20xx皖北协作区联考)复数4+2i1-2i=x+yi(x,y∈R,i为虚数单位),则x+y等于( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:因为4+2i1-2i=(4+2i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=10i5=2i=x+yi,所以x=0,y=2,x+y=2.故选C.5.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,AB→=(2,4),AC→=(1,3),则BD→等于( C )(A)(2,4) (B)(3,5)(C)(-3,-5) (D)(-2,-4)解析:因为AD→=BC→=AC→-AB→=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),所以BD→=AD→-AB→=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5),故选C.6.若向量a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直,则9x+3y的最小值为( D )(A)12 (B)23 (C)32 (D)6解析:由题可得4(x-1)+2y=0,即2x+y=2,9x+3y=32x+3y≥232x+y=232=6.故选D.7.已知A、B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足OP→=1312OA→+12OB→+2OC→,则点P一定为三角形ABC的( B )(A)AB边中线的中点(B)AB边中线的三等分点(非重心)(C)重心(D)AB边的中点解析:取AB边的中点M,则OA→+OB→=2OM→,由OP→=1312OA→+12OB→+2OC→可得3OP→=3OM→+2MC→,∴MP→=23MC→,即点P为三角形ABC中AB边上的中线的非重心的一个三等分点.故选B.8.(20xx安徽淮南质检)已知向量OA→、OB→满足|OA→|=|OB→|=1,OA→·OB→=0,OC→=λOA→+μOB→(λ、μ∈R),若M为AB的中点,并且|MC→|=1,则点(λ,μ)在( D )(A)以-12,12为圆心,半径为1的圆上(B)以12,-12为圆心,半径为1的圆上(C)以-12,-12为圆心,半径为1的圆上(D)以12,12为圆心,半径为1的圆上解析:由于M是AB的中点,∴△AOM中,OM→=12(OA→+OB→),∴|MC→|=|OC→-OM→|=λ-12OA→+μ-12OB→=1,∴λ-12OA→+μ-12OB→2=1,∴λ-122+μ-122=1,故选D.9.设a、b、c是单位向量,且a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最小值为( D )(A)-2 (B)2-2 (C)-1 (D)1-2解析:依题意,设a=(1,0),b=(0,1),c=(sin θ,cos θ),则a-c=(1-sin θ,-cos θ),b-c=(-sin θ,1-cos θ),所以(a-c)·(b-c)=-sin θ(1-sin θ)-cos θ(1-cos θ)=1-(sin θ+cos θ)=1-2sinθ+π4,[来源:]则其最小值是1-2,故选D.10.已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么PA→·PB→的最小值为( D )(A)-4+2 (B)-3+2(C)-4+22 (D)-3+22解析:如图所示,设PA=PB=k,[来源:]∠APO=α,∠APB=β,则sin α=11+k2,cos α=k1+k2,cos β=cos 2α=k2-11+k2,∴PA→·PB→=k2cos β=k2·k2-1k2+1.设t=k2+1,则t>1,∴PA→·PB→=(t-1)(t-2)t=t2-3t+2t=t+2t-3≥22-3,当且仅当t=2时取等号.故选D.11.设A、B、C是同一直线上的三个点,且OA→=(-2,m),OB→=(n,1),OC→=(5,-1),若OA→⊥OB→,则实数m,n的值分别为( C )(A)m=3n=6或m=3n=32 (B)m=6n=3或m=32n=3(C)m=6n=3或m=3n=32 (D)m=3n=6或m=32n=3解析:由题意知AB→=OB→-OA→=(n+2,1-m),BC→=(5-n,-2),∵A、B、C三点共线,∴-2(n+2)=(1-m)(5-n).①又OA→⊥OB→,∴-2n+m=0,②由①②得m=6n=3或m=3,n=32.故选C.12.(高考广东卷)对任意两个非零的平面向量α和β,定义α。
β=α·ββ·β.若两个非零的平面向量a、b满足a与b的夹角θ∈π4,π2,且aa都在集合｛n2n∈Z｝中,则ab等于( D )(A)52 (B)32 (C)1 (D)12解析:ab=a·bb2=|a||b||b2|cos θ=|a||b|cos θ,ba=|b||a|cos θ,因为|a|>0,|b|>0,0<cos θ<22,且aa∈｛n2n∈Z｝,所以|a||b|cos θ=n2(n∈Z),|b||a|cos θ=m2(m∈Z),其中m、n∈N*,两式相乘,得m·n4=cos2θ,因为0<cos θ<22,所以0<cos2θ<12,得到0<m·n<2,故m=n=1,[来源:]即ab=12,故选D.二、填空题(每小题4分,共16分)13.(20xx北京西城二模)已知复数z满足(1-i)·z=1,则z= . 解析:由题意得z=11-i=1+i(1-i)(1+i)=12+12i.答案:12+12i14.(20xx苏锡常镇四市二调)若复数z满足z-2=i(1+i)(i为虚数单位),则z= . 解析:因为z=1+i,所以z=1-i.答案:1-i15.(高考浙江卷)在△ABC中,M是线段BC的中点,AM=3,BC=10,则AB→·AC→= . 解析:如图所示,AB→=AM→+MB→=AM→-12BC→,AC→=AM→+MC→=AM→+12BC→,∴AB→·AC→=AM→-12BC→·AM→+12BC→=AM→2-14BC→2=32-14×102=-16.答案:-1616.已知两个单位向量OA→和OB→,它们的夹角为120°,如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC→=xOA→+yOB→,其中x、y∈R,则x+y的最大值为 . 解析:由题意知,|OA→|=|OB→|=|OC→|=1,向量OA→、OB→的夹角为120°,∴OC→2=(xOA→+yOB→)2=x2+y2+2xy·cos 120°=x2+y2-xy=(x+y)2-3xy≥(x+y)2-3·x+y22=14(x+y)2(当且仅当x=y时等号成立),即1≥14(x+y)2,∴(x+y)2≤4,∴x+y的最大值为2.答案:2三、解答题(共74分)17.(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.解:由(z1-2)(1+i)=1-i得z1-2=1-i1+i,即z1=1-i1+i+2=(1-i)2(1+i)(1-i)+2=2-i.设z2=a+2i(a∈R),则z1· z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.又z1·z2是实数,∴4-a=0,∴a=4.∴z2=4+2i.18.(本小题满分12分)如图所示,在△ABC中,在AC上取点N,使得AN=13AC,在AB上取点M,使得AM=13AB,在BN的延长线上取点P,使得NP=12BN,在CM的延长线上取点Q,使得MQ=λCM时,AP→=QA→,试确定λ的值.解:∵AP→=NP→-NA→=12(BN→+NC→)=12BC→,又QA→=MA→-MQ→=12BM→+λMC→,∵AP→=QA→,∴12BM→+λMC→=12BC→,[来源:]即λMC→=12(BC→-BM→)=12MC→.∴λ=12.19.(本小题满分12分)(20xx南充市第一次适应性考试)已知m、x∈R,向量a=(x,-m),b=((m+1)x,x).(1)当m>0时,若|a|<|b|,求x的取值范围;(2)若a·b>1-m对任意实数x恒成立,求m的取值范围.解:(1)|a|2=x2+m2,|b|2=(m+1)2x2+x2,因为|a|<|b|,所以|a|2<|b|2.从而x2+m2<(m+1)2x2+x2.因为m>0,所以mm+12<x2,解得x<-mm+1或x>mm+1.[来源:](2)a·b=(m+1)x2-mx.由题意,得(m+1)x2-mx>1-m对任意的实数x恒成立,即(m+1)x2-mx+m-1>0对任意的实数x恒成立.当m+1=0,即m=-1时,显然不成立.从而m+1>0,m2-4(m+1)(m-1)<0.解得m>-1,m>233或m<-233,所以m>233.20.(本小题满分12分)(20xx自贡模拟)设平面直角坐标系中,O为原点,N为动点,|ON→|=6,ON→=5OM→,过点M作MM1⊥y轴于M1,过N作NN1⊥x轴于点N1,OT→=M1M→+N1N→,记点T的轨迹为曲线C.求曲线C的方程.解:设T(x,y),点N(x1,y1),则N1(x1,0).又ON→=5OM→,即OM→=15ON→=（15x1,15y1）∴M1 （0, 15y1）,M1M→ （15x1,0）,N1N→=(0,y1).于是OT→=M1M→+N1N→=（15x1, y1),即(x,y)= （15x1, y1),即x1=5x,y1=y.由|ON→|=6,得x12+y12=36,∴5x2+y2=36.故所求曲线C的轨迹方程为5x2+y2=36.21.(本小题满分12分)已知复数z1=sin 2x+ti,z2=m+(m-3cos 2x)i(i为虚数单位,t、m、x∈R),且z1=z2.(1)若t=0且0<x<π,求x的值;(2)设t=f(x),已知当x=α时,t=12,试求cos4α+π3的值.解:(1)因为z1=z2,所以sin2x=m,t=m-3cos2x,所以t=sin 2x-3cos 2x,若t=0,则sin 2x-3cos 2x=0,得tan 2x=3.因为0<x<π,所以0<2x<2π,所以2x=π3或2x=4π3,所以x=π6或x=2π3.(2)因为t=f(x)=sin 2x-3cos 2x=2sin2x-π3,因为当x=α时,t=12,所以2sin2α-π3=12,sinπ3-2α=-14.所以cos4α+π3=cos 22α+π6=2cos22α+π6-1=2sin2π3-2α-1=2-142-1=-78.22.(本小题满分14分)已知O为坐标原点,向量OA→=(sin α,1),OB→=(cos α,0),OC→=(-sin α,2),点P满足AB→=BP→.(1)记函数f(α)=PB→·CA→,α∈-π8,π2,讨论函数f(α)的单调性,并求其值域;(2)若O、P、C三点共线,求|OA→+OB→|的值.解:(1)AB→=(cos α-sin α,-1),设OP→=(x,y),则BP→=(x-cos α,y).由AB→=BP→得x=2cos α-sin α,y=-1,故OP→=(2cos α-sin α,-1).PB→=(sin α-cos α,1),CA→=(2sin α,-1),f(α)=PB→·CA→=(sin α-cos α,1)·(2sin α,-1)=2sin2α-2sin αcos α-1=-(sin 2α+cos 2α)=-2sin2α+π4,又α∈-π8,π2,故0<2α+π4<5π4,当0<2α+π4≤π2,即-π8<α≤π8时,f(α)单调递减;当π2<2α+π4<5π4,即π8<α<π2时,f(α)单调递增,故函数f(α)的单调递增区间为π8,π2,单调递减区间为-π8,π8,因为sin2α+π4∈-22,1,故函数f(α)的值域为[-2,1).(2)由(1)知OP→=(2cos α-sin α,-1),OC→=(-sin α,2),由O、P、C三点共线可得(-1)×(-sin α)=2×(2cos α-sin α),得tan α=43.sin 2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=2425.∴|OA→+OB→|=(sinα+cosα)2+1=2+sin2α=745. 。