不定积分不定积分习题课习题课 积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分一、主要内容一、主要内容基本积分表基本积分表 kCkxkdx()1(是常数是常数)1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3(dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8(xdx2secCx tan xdx2sin)9(xdx2cscCx cot dxax)13(Caax ln Cxxdxcoslntan)16(Cxxdxsinlncot)17(Cxxxdx)tanln(secsec)18(Cxxxdx)cotln(csccsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22Cxaxaadxxa ln211)22(22Caxdxxa arcsin1)23(22Caxxdxax )ln(1)24(2222Caxaxadxax ln211)21(22Cx sh)14(xdxch xdxCx ch)15(sh四种类型分式的不定积分四种类型分式的不定积分;ln.1CaxAaxAdx ;)(1()(.21CaxnAaxAdxnn ;4/2/arctan4/2/ln2.32222CpqpxpqMpNqpxxMdxqpxxNMx dxqpxxMpNqpxxdxpxMdxqpxxNMxnnn)(2/)()2(2)(.4222此两积分都可积此两积分都可积,后者有递推公式后者有递推公式二、典型例题二、典型例题例例1 1 dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 dxxxxx求求 1)23()23(23ln12xxd 123ln12tdt dttt)1111(23ln21Ctt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21Cxxxx tx)23(令令例例2 2解解.cos1)sin1(dxxxex求求 dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2原式原式 dxxexexx)2tan2cos21(22tan)2(tan(xxdexxde )2tan(xedx.2tanCxex 例例3 3解解.1122 dxxxx求求,1tx 令令dttttt)1(1)1(111222 原式原式dttt 211 22212)1(11ttddttCtt 21arcsin.1arcsin12Cxxx (倒代换倒代换)例例4 4解解.1632 xxxeeedx求求,6tex 令令,ln6tx ,6dttdx dttttt61123 原式原式dtttt )1)(1(622211)1)(1(6tDCttBtAttt 设设)1()()1()1)(1(622 ttDCttBtttA解得解得.3,3,3,6 DCBAdttttt)133136(2 原式原式Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62.arctan3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 例例5 5解解.)1ln(arctan2 dxxxx求求dxxx)1ln(2 )1()1ln(2122xdx .21)1ln()1(21222Cxxx 21)1ln()1(21arctan222xxxxd 原式原式xxxxarctan)1ln()1(21222 dxxxx1)1ln(21222 例例6 6解解.)2(10 xxdx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdCxx )2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110Cxx .2)1ln(23)1ln()1(arctan212222Cxxxxxxx 例例7 7解解.cos1sin dxxxx求求dxxxxx 2cos22cos2sin22原式原式dxxdxxx 2tan2cos22dxxdxxxx 2tan2tan2tan.2tanCxx 例例8 8解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dxxfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 例例9 9解解.,1max dxx求求,1max)(xxf 设设,1,11,11,)(xxxxxxf则则,),()(上连续上连续在在xf).(xF则必存在原函数则必存在原函数.1,2111,1,21)(32212 xCxxCxxCxxF须处处连续，有须处处连续，有又又)(xF)21(lim)(lim12121CxCxxx ,21112CC 即即)(lim)21(lim21321CxCxxx ,12123CC 即即.1,12111,211,21,1max22 xCxxCxxCxdxx故故.1,2132CCCC 可得可得,1CC 联立并令联立并令).(,0)0(1101)(ln10 xffxxxxf求求及及设设例例 teetetfttt010101)(解解 tCetCttft00)(212201limCCett ）（110limCCtt 0)0(1 Cf12 C xexxxfx010)(.)(,sin)(dxxfxxxf求求的的原原函函数数为为一一、设设 )()(xfxddxxfx解解 dxxfxfx)()(Cxfxfx )()(21cos2121cos)(sin)(xxxxxxf2312cos41)sin()21()(xxxxxf).(,cos)(sinxfxxf求求二、设二、设 tdtfdxxfxfsin)(sin)()(解解tdtttd 2cossincosdtt 212cosCtt 242sin.arcsin21122Cxxx 练习练习 .)(,ln)(2ln)1(222dxxxxfxxxf求求且且三、设三、设xxxxfxxxfln1)(1)(ln)(1111ln)1(222 解解,11)(xxx则则.1ln2121)(Cxxdxxxdxx .)(1,arcsin)(dxxfCxdxxxf 求求四、设四、设211)(xxxf 解解21)(1xxxf )1(1211)(1222xdxdxxxdxxf 则则.)1(31232Cx .)(1)()(,sin)(2dxxfxarctgfxfxxf 求求五、已知五、已知)()()(1)()(2xdarctgfxarctgfdxxfxarctgfxf Cxarctgf 23)(32.sin3223Cxarctg )4(xxdxCx 2arcsin2)22arcsin(Cx 或或注注 )4(xxdx 21)(4xdxx xdx2)(42Cx 2arcsin2或或 )4(xxdx 2)2(4xdx 2)2(4)2(xxdCx 22arcsinCxxxx cotsinlncot xdxxxxxd2cotsinlncotcotsinln dxxx2sinsinln dxxx2sinsinlnCxxxxdxxxx cotsinlncot)1csc(sinlncot2 Cxadxxacot1sin11222 dxxbxa2222cossin1 dxxb22cos11 dxxbxa2222cossin1 dxxbxa2222cossin1 )(tantan1222xdbxaCxbaab )tanarctan(1当当a=0，b0时时Cxb tan12当当a0，b=0时时 计算计算 ,cossin12222dxxbxa其中其中a，b是不全为是不全为0的非负常数的非负常数解解 当当a0，b0时时计算计算Cxxxx|1|ln1ln求求.sin2xdxx解解 原式原式=dxxx22cos1 xxdxdx2sin4121 xdxxxx2sin412sin4142Cxxxx 2cos812sin4142 .)1(ln2dxxx dxxxxxdxxxxxdxxx)111(1ln1111ln)1(ln2 求求 .123dxxx解解 原式原式=)1(12222xdxx)1()111(21222xdxx Cxx 2123)1()1(3122 求求 .1dxexexx解解 令令,1 xeu则则),1ln(2ux ,122duuudx 从而从而 dxexexx1 duuuuuu22212)1ln()1(duu)1(ln22 duuuuu22214)1ln(2Carctguuuu 44)1ln(22Cearctgeexxxx 141412 .)1(2dxxxex求求 xxdxsin2)2sin()1(cossin2xdx解法解法1 原式原式=Cxx|2tan|ln412tan812 )2(tan2tan2tan1412xdxx 2cos2tan)2(tan413xxxd 2cos2sin)2(413xxxd解法解法2 原式原式=2)2sin2(cosxxdxCx 2tan12dxxx 22)2tan1(2secdxxxd 2)2tan1()2tan1(2ceeedxeexxxxx )1(74)1(34.14/74/342 计算不定积分计算不定积分dxxxx )1(arctan22解法解法1 原式原式=dxxxdxxx 221arctanarctanCxxxxx 2221ln21)(arctan21arctan22)(arctan21)1(arctanxxxdxxx 解法解法2 令令,tantx 原式原式=dttt)1(csc2 Ctttt 221|sin|lncot 221sincoscottdtttttCxxxxx 22)(arctan211|lnarctan 计算计算 dxxex22)1(tan解解 原式原式=xdxexdxexxtan2sec222 xdxexdxexexxxtan2tan2tan222Cxex tan2 dxxxx)9()3(22Cxx 3arctan2ln 计算计算 dxxxxln1ln1Cxxx 1lnlnln dxxxx22)1(lnCxxxx 2221ln411ln21 dxxx82)1(dxxdxxdxxdxxx87682)1(1)1(2)1(1)1(11 xdxxxx2222sec1sinCxarcx cottan dxxexxx)1(1Cxexexx )1ln()ln(21xxdx dxxaxx2Cxxx )1ln(arcsin212)2(22arcsin32xaxaaxa Cxaxxa )2(2 )2()3(3xxdxcxx 122 222xdxxacaxaxax arcsin1122分部积分或三角代换分部积分或三角代换 dxxx23)(ln dxxxearctgx232)1(Cxxxx 6ln6)(ln3)(ln123Cexxarctgx 2121设设 xdxntan 21tan11 nnnIxnI ,并求并求 xdx5tan.xxdxsin1cos1 xxdxcos)sin45(dxxx56sincos2tan)1ln(21111ln42xtcttt xdx3sec求下列不定积分求下列不定积分（用以前学过的方法）：（用以前学过的方法）：1 1、dxxx31；2 2、dxxxxsincos1；3 3、241xxdx；4 4、dxxx32cossin；5 5、dxxx283)1(；6 6、dxxx sin1sin；7 7、dxxxxx)(33；8 8、dxexexx2)1(；9 9、dxxx22)1ln(；10 10、xdxx arcsin12；11 11、dxxxxx cossincossin；1212、)(xbaxdx.1 1、Cxx 11)1(212；2 2、Cxx )sinln(；3 3、Cxxxx 233213)1(；4 4、Cxxxx )tanln(sec21cos2sin2；5 5、Cxxx 484arctan81)1(8；6 6、Cxx 2tan12,或或Cxxx tansec；答案答案7 7、Cxx 66)1(ln；8 8、Ceexexxx )1ln(1；9 9、Cxxxxxxx 2)1ln(12)1ln2222；1010、xxxxarcsin124)(arcsin22 Cx 42；1111、Cxxxx sin21cos21ln221)cos(sin21；1212、Cxbax arctan2.一、一、选择题：选择题：1 1、设设)(,)(21xFxF是区间是区间I内连续函数内连续函数)(xf的两个不的两个不 同的原函数，且同的原函数，且0)(xf,则在区间则在区间I内必有内必有（）（A A）CxFxF )()(21；（B B）CxFxF )()(21；（C C）)()(21xCFxF；（D D）CxFxF )()(21.2 2、若、若,)()(xfxF 则则)(xdF=（）（A A）)(xf；（B B）)(xF；（C C）Cxf)(；（D D）CxF)(.测测 验验 题题3 3、)(xf在某区间内具备了条件在某区间内具备了条件（）就可保证它的）就可保证它的 原函数一定存在原函数一定存在（A A）有极限存在；有极限存在；（B B）连续；）连续；（B B）有界；有界；（D D）有有限个间断点）有有限个间断点 4 4、下列结论正确的是、下列结论正确的是（）（A A）初等函数必存在原函数；初等函数必存在原函数；（B B）每个不定积分都可以表示为初等函数；每个不定积分都可以表示为初等函数；（C C）初等函数的原函数必定是初等函数；初等函数的原函数必定是初等函数；（D D）CBA,都不对都不对.5 5、函函数数2)()(xxxf 的的一一个个原原函函数数)(xF()（A A）334x;（B B）234xx;（C C)(3222xxx;（D D）)(322xxx .6 6、已已 知知 一一 个个 函函 数数 的的 导导 数数 为为xy2 ，21 yx时时且且,这这个个函函数数是是（）（A A）;2Cxy （B B）;12 xy （C C）Cxy 22;（D D）.1 xy7 7、下列积分能用初等函数表出的是、下列积分能用初等函数表出的是（）（A A）dxex2；（B B）31xdx；（C C）dxxln1；（D D）dxxxln.8 8、,)()(CxFdxxf且且,batx 则则 dttf)(（）（A A）CxF)(；（B B）CtF)(;（C C）CbatFa )(1;（D D）CbatF )(.9 9、dxxx2ln（）（A A）Cxxx 1ln1;（B B）Cxxx 1ln1;（C C）Cxxx 1ln1；（D D）Cxxx 1ln1.10 10、10)14(xdx（）（A A）Cx 9)14(191；（B B）Cx 9)14(1361；（C C）Cx 9)14(1361；（D D）Cx 11)14(1361.二、求下列不定积分：二、求下列不定积分：1 1、dxxx1cos12;2 2、522xxdx;3 3、dxxxx2215)1ln(;4 4、dxxx222)1(;5 5、211xdx;6 6、dxxxx1122;7 7、)1(2xxeedx;8 8、xdxx arccos2;9 9、234811xxdxx;10 10、dxxx32)1(arccos.三、设三、设 0,)32(0,)1ln()(22xexxxxxxfx，求，求 dxxf)(.四、设四、设xbxaefxcossin)(,(,(ba,为不同时为零的为不同时为零的 常数常数)，求，求)(xf.五、五、0 x设当设当时，时，)(xf连续，求连续，求 dxexxfxxxfx2)()1()(.一、一、1 1、D D；2 2、D D；3 3、B B；4 4、D D；5 5、D D；6 6、B B；7 7、D D；8 8、B B；9 9、D D；10 10、C.C.二、二、1 1、Cx 1sin；2 2、Cx 21arctan21；3 3、Cxx 3225)1ln(32；4 4、xarctan21Cxx 2121；5 5、Cxxxx arcsin112；测验题答案测验题答案 6、Cxxx 1arcsin12；7、Ceexx )arctan(；8、Cxxxx 22323131)1(91arccos31；9、4144 xCxx )2ln()1ln(44；10、Cxxxx 221ln21arccos1.四、四、)sin(ln)(2)(xbaxxfCxab )cos(ln)(.五、五、Cxexfx)(.三、三、dxxf)(0,1)14(0,)1ln(21)1ln(2122222xCexxxCxxxxx.。