二次函数与特殊三角形、四边形综合题 一、与等腰三角形、直角三角形相关【例1】 如图，在梯形ABCD中，AD 〃 BC , AD = 3 , DC = 5 , BC = 10，梯形的高为4 .动点M从B点 出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每 秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t (秒).(1) 当MN 〃 AB时，求t的值；(2) 试探究：t为何值时，△ MNC为等腰三角形.解：(1)由题意知，当M、N运动到t秒时，如图① 过D作DE〃 AB交BC于E点，则四边形ABED是平 行四边形．5分原图•・AB 〃 DE，AB 〃 MN.:DE 〃 MN ..MC NCI • —EC CD• 10 — 2t t10—3 5( 2 )分三种情况讨论：①当MN — NC时，如图②作DF丄BC交BC于F，则有MC — 2FC即. …/厂_ DF _ 4• sin 厶 C — ——，CD 53.•cos ZC ——，53t.*10 — 2t — 2 x—，5解得t — . 6分8②当MN — MC时，如图③ 过M作MH丄CD于H. 则 CN — 2CH ，.—2 (10 — 2t )x -.5t — 60 . 7 分17③当MC — CN时，如图④ 则 10 — 2t — t .10t — . 38分综上所述，、罟或晋时，△MNC为等腰三角形.【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上,OA = 1, OC = 2，点 D 在边 OC 上且 OD = 5 .4（1） 求直线AC的解析式.（2） 在y轴上是否存在点P ,直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△ DMC为等腰三角形? 若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）抛物线y = -x2经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E （点E在y轴正半轴上）,且AODE沿DE折叠后点O落在边AB上O'处?解：（ 1） OA=1，OC=2则A点坐标为（0, 1）, C点坐标为（2, 0）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b0 + b 二 12k + b 二 0k =--解得］ 2b = 1•-直线ac的解析式为y二-2x+12分⑵ p（。
少-8），少-4律+2））或 P3（0'-5心'5 - 2)正确一个得 2 分）8分(3)如图，设 O'(xl)过O'点作O'F丄OC于FOfD2 二 O'F2 + DF2 二 1 + (x - 5)24 由折叠知OD二O'D •1 + (X - 5)2 二(5)2441•- x — 或 2 10 分0 D * C第25题4【例3】在平面直角坐标系xOy中，A、B为反比例函数y = -（x > 0）的图象上两点，A点的横坐标与B点x4的纵坐标均为1,将y = -(x > 0)的图象绕原点O顺时针旋转90°, A点的对应点为A' , B点的对x应点为B'.(1) 求旋转后的图象解析式；(2) 求A'、B'点的坐标；(3) 连结AB'.动点M从A点出发沿线段AB'以每秒1个单位长度的速度向终点B'运动；动点N 同时从B'点出发沿线段B'A'以每秒1个单位长度的速度向终点A'运动，当其中一个点停止运动 时另一个点也随之停止运动.设运动的时间为t秒，试探究：是否存在使AMNB'为等腰直角三角 形的 t 值,若存在,求出 t 的值；若不存在,说明理由．-解：(1)旋转后的图象解析式为y二一 (x > 0). 1分x(2)由旋转可得A' (4, T)、B' (1, -4). 3 分(3)依题意，可知ZB'二45。
若△MNB '为直角三角形，则AMMB'同时也是等腰三角形，因 此，只需求使△ MNB '为直角三角形的t值.分两种情况讨论：①当ZB'NM是直角，B'N二MN时，如图1，•.•AB'=8, B'A'== 3^2，AM=B‘ N=MN=t,B'M=8-t，B' N 2 + MN 2 二 B' M 2 ,t2 +12 = (8 — t)2 . 4 分解得t = ~8 遜2(舍去负值)，②当ZB'MN是直角，B'M二MN时, 如图 2，• AB'=8, B'A'== 3\2 , AM=Bf N=t,t = —8 + 8 2 . 5 分:.B‘ M=MN=8-t,B' M 2 + MN 2 二 B' N 2,：.(8 — t)2 + (8 — t)2 二 12 ,解得 t = 1 6± &■' 2• 16 + 8迈 > 8, 16 — 8<2 > 3迈,:此时 t 值不存在． …………… 6 分(此类情况不计算，通过画图说明t值不存在也可以)综上所述，当t = —8 + 8辽时，AMNE '为等腰直角三角形. 7分【例4】如图，已知抛物线C : y = a (x — 2)2 — 5的顶点为P ,与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左边), 1点A的横坐标是—1.(1) 求P点坐标及a的值；(2) 如图1,抛物线C与抛物线C关于x轴对称，将抛物线C向左平移，平移后的抛物线记为C，2 1 2 3C3的顶点为M，当点P,M关于点A成中心对称时，求C3的解析式y = a(x-h)2 + k ；(3) 如图2,点Q是x轴负半轴上一动点，将抛物线C绕点Q旋转180。
后得到抛物线C .抛物14线C的顶点为N，与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边)，当以点P、N、E为顶点的三 4角形是直角三角形时，求顶点 N 的坐标.1解: (1)由抛物线C1： y二a(x — 2)2 — 5得顶点P的坐标为(2, 5) .1・分5•.点A ( — 1, 0)在抛物线C］上.・a二9 - 2分作 PRJNG 于 R.(2) 连接PM,作PHJx轴于H,作MGJx轴于G..••点P、M关于点A成中心对称，.*PM 过点 A,且 PA=MA...△PAH 述 MAG...MG = PH = 5, AG=AH = 3..•顶点M的坐标为(—4 , 5) 3分•抛物线C2与J关于x轴对称，抛物线C3由C2平移得到•抛物线C_的表达式y = — — (x + 4)2 + 5 . 4分39(3) •抛物线C4由q绕x轴上的点Q旋转180°得到 .•顶点N、P关于点Q成中心对称.由(2)得点 N 的纵坐标为 5.设点N坐标为(m, 5),作PHJx轴于H,作NGJx轴于G,•旋转中心Q在x轴上,.•EF=AB = 2AH = 6.2，8分0), R坐标为(m,.°EG = 3，点E坐标为（m - 3 , 0） , H坐标为 根据勾股定理 得PN2 = NR2 + PR 2 = m2 — 4m +104,PE2 = PH2 + HE2 = m2 — 10m + 50NE2 = 52 + 32 = 34① 当zPNE = 90° 时，PN2+ NE2 = PE2 ,44 44解得m= -二,.*N点坐标为（——,5）② 当zPEN = 90° 时，PE2+ NE2 = PN2 ,10 10解得m= -亍，/N点坐标为（一亍，5）.③ PN>NR = 10>NE , .•JNPE#90 7 分44综上所得，当N点坐标为（-丁，5）或（- 形．二、与平行四边形相关【例5】抛物线y = — x2 + 2 x + 3与x轴相交于A、B两点(点A在B的左侧)，与y轴相交于点C,顶点为D.(1) 直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；(2) 连接BC,与抛物线的对称轴交于点?，点P为线段BC上的一个动点，过点3作PF 〃 DE交抛 物线于点F ,设点P的横坐标为m :① 用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？② 设△ BCF的面积为S ,求S与m的函数关系式.解：（1） A （-1 , 0） , B （3 , 0） , C （0 , 3）. 2分抛物线的对称轴是：x=1. 3分D(2)①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b. + y把 B(3，0)，C(0，3 )分别代入得3k + b 二 0,解得：k= -1, b=3.b 二 3所以直线BC的函数关系式为：y二-x + 3.当 x=1 时，y= -1+3=2,.・.E (1, 2).当 x = m 时，y = 一 m + 3,:,P (m, 一 m+3). 在 y = -x2 + 2x + 3 中，当 x = 1 时，y = 4.:D (1,4).4分5分:线段 DE=4-2=2,线段 PF = -m2 + 2m + 3 - (-m + 3)= -m2 + 3m.6分当 x = m 时，y = -m2 + 2m + 3, ：. F (m,- m2 + 2m + 3). PF 〃 DE, :当 PF = ED 时,四边形 PEDF 为平行四边形.由-m2 + 3m = 2,解得：m = 2, m = 1 (不合题意，舍去).12因此，当m = 2时，四边形PEDF为平行四边形. 7分②设直线PF与x轴交于点M，由B(3,0), O(0,0),可得：OB = OM + MB = 3.8分•・• S = S + S△BPF △CPF即 s = - PF QBM + - PF DOM = - PF □( BM + OM) = - PF DOB2 2 2 21 ( 、x 3 \- m 2 + 3m/=239一一m 2 + m22(0 W m W 3) 9分【例6】 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4 ,0), B(0，-4), C(2 , 0)三点.(1) 求抛物线的解析式；(2) 若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m , △ AMB的面积为S .求S关于 m的函数关系式，并求出S的最大值.(3) 若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y = -x上的动点，判断有几个位置能够使得点P ,Q ,B , O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.j I )设抛物线的解析式为y -似* -欣u(4h0)・则£16^-46 十厂-04u + 2b 十「一 0■:抛物线的解析丸为V =丄+ + x -4.'2I 2 ).过点M作肋D丄x抽于点D、设A/点的世折为(⑷I j>i] ■则加“「4‘切… i 一汕十心-丄D” + 4)( -?r) + — f-A+ 4)(-yn)_ 丄 X 4x 4--2// - 2附一黑1 X—m 十悩一 4 - 2m-£5iUfi =(J) 足題意的盘壺坐标有四个，井别是 (-** ■」)(4 ---I) .(-2 + 2^5 ^-27?) .(-2-2^3【例7】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y =-寸x + 6与x轴、y轴的交点分别为A、B，将 ZOBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.(1) 直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2) 若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存 在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3) 设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T ,Q为线段BT上一点，直接写出QA- QO的取值范 围．1分解：(1)点C的坐标为(3,0).•・•点A、B的坐标分别为A(8,0), B(0,6),可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y = a(x - 3)(x - 8).1将x = 0, y = 6代入抛物线的解析式，得a = - . 2分4- --过A、B、C三点的抛物线的解析式为y = x2- x + 6 . 3分44(2)可得抛物线的对称轴为x =，顶点D的坐标为2(--,-耳)，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.2 -6直线BC的解析式为y = -2x + 6. 4分设点P的坐标为(x,-2x + 6).解法一：如图8,作OP^AD交直线BC于点P, 连结AP,作PM丄x轴于点M.•/ OP〃AD,.•・ ZPOM=ZGAD, tanZPOM=tanZGAD.25...pM = DG，即-2x + 6 = -6OM GA x 8 -11解得x =—经检验x=学是原方程的解.此时点P的坐标为(-6,-0).5分1 A C但此时 OM=亍GA=2，OM
E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向 以每秒2x3 cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1 cm的速度运动，当点P到 达点C时，P ,Q同时停止运动，设运动的时间为x秒.(1) 当点P段AO上运动时.① 请用含x的代数式表示OP的长度；② 若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);(2) 显然，当x = 0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P段AC的其他位置时，以 P ,B ,E ,Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明 理由.(1)①由题意得ZBA0=30°, AC丄BD•・• AB=2 .•・ OB=OD=1，0A=0C= f 3.•.OP’3 - 2、巨x ……2 分②过点E作EH丄BD,则EH为ACOD的中位线... EH = 2 OC =—2 VDQ=X.•.BQ=2—xi _ 1 3・•・y = S + SNBPQ .' =_x (2 - x)(薦-2爲x) + _x (2 - x) X -ABEQ 2 2 23分2）能成为梯形，分三种情况：当 PQ〃BE 时，ZPQ0=ZDBE=30°OQ 二tan300 讶_2=5DB2此时，BQ 不平行于 PE，. x=12分综上所述，时，四边形PEQB为梯形.当x= 5或4或1时，以P, B, E, Q为顶点的四边形是梯形.1分例9】 如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0 ,3）, B（1,0）,直线OP交AB于N , DC于M ,点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以<2个单位每秒速度运动，运动时间为t .求：(1) C的坐标为 ；(2) 当t为何值时，△ ANO与厶DMR相似？(3) 求厶HCR的面积S与t的函数关系式；并求以A ,B ,C , R为顶点的四边形是梯形时t的值 及S的最大值.(1) C(4,1) 2分(2) 当ZMDR=45。
时，t= 2,点H (2, 0) 2 分当ZDRM=45时，t= 3,点H(3, 0) 2 分11(3) S=— 2 t 2 +2 t(0Vt W4)； (1 分)S = 2 t 2 —2 t(t>4) (1 分)9当AR〃BC时，t二 2,1当BR〃AC时，t = 3,11s = 181 分)1 分)1339当 CR#AB 时，t= ~4 , (1 分)s = 32( 1 分)AC与x轴交于点B，将【例10】如图，在平面直角坐标系xOy中，点AG'3 ,1)关于x轴的对称点为C ,△ OCB沿OC翻折后，点B落在点D处.(1)求点C、D的坐标；(2) 求经过O、D、B三点的抛物线的解析式；(3) 若抛物线的对称轴与OC交于点E，点P为线段OC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q.① 当四边形EDQP为等腰梯形时，求出点P的坐标；② 当四边形EDQP为平行四边形时，直接写出点P的坐标.解：(1)如图所示，•・•点A(*3,1)关于x轴的对称点为C , AC与x轴交于点B ,AC 丄 x 轴于 B , B（\：3,0）,C（、込,-1）. 1 分BC 二 AB 二 1 , OB 二 3OC 二 2 , Z1 二 30。
Z3 二 60由题意可知 /2 = Z1 = 30 OD = OB = \ 3 .ZNOD = 30在 RtAOND 中，DN =2由矩形ONDM得OM = DN二2•点D在第四象限..D (—^ , — 2)2分过点D作DM丄x轴于M , DN丄y轴于N ,(2)设经过O、D、B三点的抛物线的解析式为y = ax2 + bx.'3亠瓦—3依题意得]4 2 2 3分3a + ^[3b - 0.fa — 2,4分解得｛ ••・此抛物线的解析式为y — 2x2-2v3x.lb = -2>/J.(3)V y — 2x2 -2j3x — 2(x一 )2 -,2 2.点 D 为抛物线的顶点..•・直线DM为抛物线的对称轴，交OC于E ,由题意可知 Z4 — Z3 — 60 ZODC — 90ZOEM — 60Z6 = 60・•・ Z7 二 60AEDC是等边三角形，Z8二301CE 二 DE = OE = - OC = 1.2①当点P在EC上时，四边形EDQP为等腰梯形.1 1 1•・• DM 〃 y 〃 PQ , EP与DQ不平行，.•.四边形EDQP为梯形.1 1 1 1 1 1要使梯形EDQP为等腰梯形，只需满足ZEDQ =Z6 = 60。
1 1 1• 口 = 60 •点 Q 在 DC 上.1由C（\：'3 , — 1）、D （-亍,—㊁）求得直线CD的解析式为y =—亍x — 2.又•・•点Q在抛物线上，.•・2x2 — 2訂X ='"3 x-2.- 3解得x = 3，x = （与点D重合，舍）.・• P点横坐标为丁 <3 .-3 2 2 - 3由0（0,0）、C（J3,— 1）求得直线OC的解析式为y = 一¥x .•・•点P在OC上,6分② 当 点 P2 在 OE 上 时 ， 四 边 形 EDQ2P2 为 平 行 四 边 形 ， 此 时 P2 点 坐 标 为8分综上所述，当P（芈，-3）时，EDQ-P-为等腰梯形；当P2（f,- 3）时，EDQ人为平行四边形.。