江苏专用）2018版高考数学专题复习专题9平面解析几何第62练抛物线练习文（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题9 平面解析几何 第62练 抛物线练习 文 训练目标熟练掌握抛物线的定义及几何性质，能利用定义、几何性质解决有关问题．训练题型(1)求抛物线方程；(2)利用定义、几何性质求最值、参数范围、弦长等．解题策略(1)利用定义进行转化；(2)掌握关于弦长、焦半径的重要结论；(3)恰当运用函数与方程思想、数形结合思想.1．(2016·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P(1,3)，则其焦点到准线的距离为________．2．(2016·洛阳统考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若AF＝5，则BF＝________.3．已知抛物线C：y2＝4x，顶点为O，动直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C交于A，B两点，则·的值为________．4．若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为________．5．(2016·无锡模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若BC＝2BF，且AF＝3，则抛物线的方程是______________．6．(2016·宁波质检)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．7．(2016·常州模拟)如图，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为抛物线C上的点，以F为圆心，为半径的圆与直线AF在第一象限的交点为B，∠AFO＝120°，A在y轴上的投影为N，则∠ONB＝________.8．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________．9．(2016·龙岩质检)已知抛物线的焦点为椭圆＋＝1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线的方程为__________________．10．(2016·镇江模拟)已知过拋物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O是坐标原点，AF＝2，则BF＝______，△OAB的面积是________．11．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．12．(2016·石家庄质量检测二)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点．若tan∠AMB＝2，则AB＝________.13．过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若AB＝8，AF＜BF，则BF＝________.14．(2016·扬州中学月考)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，并且△ABC的重心是抛物线的焦点，BC边所在的直线方程为4x＋y－20＝0，则抛物线的方程为__________．答案精析1. 2. 3.54．－解析 抛物线的标准方程为x2＝y.由条件得2＝－，a＝－.5．y2＝3x解析 分别过点A，B作准线的垂线AE，BD，分别交准线于点E，D，则BF＝BD，∵BC＝2BF，∴BC＝2BD，∴∠BCD＝30°，又AE＝AF＝3，∴AC＝6，即点F是AC的中点，根据题意得p＝，∴抛物线的方程是y2＝3x.6.解析 记抛物线y2＝2x的焦点为F(，0)，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值．结合图形不难得相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离．因此所求的最小值等于 ＝.7．30°解析 因为点A到抛物线C的准线的距离为AN＋，点A到焦点F的距离为AB＋，所以AN＝AB，因为∠AFO＝120°，所以∠BAN＝60°，所以在△ABN中，∠ANB＝∠ABN＝60°，则∠ONB＝30°.8．2解析 由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l于点A1，过点B作BB1⊥l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l于点M1，则MM1＝.因为AB≤AF＋BF(F为抛物线的焦点)，即AF＋BF≥6，所以AA1＋BB1≥6,2MM1≥6，MM1≥3，故点M到x轴的距离d≥2.9．y2＝－4x解析 由c2＝9－4＝5，得抛物线的焦点坐标为(－，0)，又抛物线的顶点坐标为(0,0)，∴抛物线方程为y2＝－4x.10．2 2解析 设A(x0，y0)，由抛物线定义知x0＋1＝2，∴x0＝1，则直线AB⊥x轴，∴BF＝AF＝2，AB＝4.故△OAB的面积S＝AB·OF＝×4×1＝2.11．2解析 如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2 米．12．8解析 根据对称性，如图所示，不妨设l：x＝my＋1(m＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，x1x2＝·＝1，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2.∵tan∠AMB＝tan(∠AMF＋∠BMF)，∴＝2，即＝2，解得y1－y2＝4m2，∴4＝4m2，解得m2＝1(负值舍去)，∴AB＝AF＋BF＝x1＋1＋x2＋1＝4m2＋4＝8.13．4＋2解析 由y2＝4x，得焦点F(1,0)．又AB＝8，故AB的斜率存在(否则AB＝4)．设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝k(x－1)代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，故x1＋x2＝2＋，由AB＝AF＋BF＝x1＋x2＋2＝8，得x1＋x2＝2＋＝6，即k2＝1，则x2－6x＋1＝0，又AF＜BF，所以x1＝3－2，x2＝3＋2，故BF＝x2＋1＝3＋2＋1＝4＋2.14．y2＝16x解析 设抛物线的方程为y2＝2px，由可得2y2＋py－20p＝0，由Δ＞0，得p＞0或p＜－160，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则y1＋y2＝－，所以x1＋x2＝5－＋5－＝10－(y1＋y2)＝10＋，设A(x3，y3)，由三角形重心为F(，0)，可得＝，＝0，所以x3＝－10，y3＝，因为A在抛物线上，所以()2＝2p(p－10)，从而p＝8，所以所求抛物线的方程为y2＝16x.12。
