21信号与系统第四章 连续时间信号与系统的复频域分析4.1 拉普拉斯变换4.1.1 拉普拉斯变换的定义图4.1 几种信号的波形4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域图4.2 收敛域图4.3 例4.2的收敛域图4.4 例4.3的收敛域4.1.3 常用信号的拉普拉斯变换4.2 拉普拉斯变换的性质4.2.1 线性性质4.2.2 时移（延时）特性图4.4〓例4.3的收敛域图4.5 例4.6的4种信号的波形图图4.6 tε(t)与信号f4（t）信号之间的关系图图4.7 有始周期信号示意图图4.8 矩形脉冲序列的波形图图4.9 正弦脉冲信号图4.2.3 尺度变换（展缩性质）4.2.4 频移特性4.2.5 时域微分定理图4.10 例4.10用图4.2.6 时域积分定理图4.11 信号f（t）和f′（t）的图形图4.12 信号f（t）和f′（t）的图形4.2.7 S域微分定理4.2.8 S域积分定理4.2.9 初值定理4.2.10 终值定理4.2.11 时域卷积定理4.3 拉普拉斯反变换4.3.1 逆变换表法4.3.2 部分分式展开法（海维塞展开法）4.3.3 围线积分法（留数法）图4.13 围线积分路径4.4 LTI系统的复频域分析4.4.1 微分方程的拉氏变换解法图4.14 例4.23的电路图4.4.2 拉普拉斯变换法分析电路和S域元件模型图4.15 电阻及其S域模型图4.16〓电容及其S域模型图4.17〓电感及其S域模型图4.18 耦合电感及其S域模型图4.19 RLC串联电路图与S域模型图4.20 例4.24题电路图图4.21 例4.25的电路及S域模型图4.22 例4.26电路图与S域模型4.5 系统函数H(s)4.5.1 H(s)的定义与性质图4.23 时域分析和S域分析对应关系示意图4.5.2 利用系统函数H(s)求解连续时间LTI系统的响应图4.24 系统零状态响应的复频域分析法过程示意图图4.25 有源系统的等效电路示意图图4.26 例4.29题图4.5.3 系统的方框图表示与模拟图4.27 系统基本联接方式示意图图4.28 运算器在时域和S域中表示的符号图4.29 系统的S域模拟图图4.30 系统的S域模拟框图图4.31 系统的时域与S域模拟框图4.5.4 系统函数的零、极点与系统特性的关系图4.32 系统函数的零、极点图图4.33 因果系统H(s)的单极点与时域函数关系图4.34 用矢量来表示因子(jω-zr)和(jω-pi)4.6 系统的稳定性4.6.1 系统稳定的概念图4.35 系统S域模拟框图4.6.2 稳定性判据图4.36 反馈控制系统图4.7 习题1. 求下列信号的拉普拉斯变换及其收敛域，并画出零极点图和收敛域。
1） e-atε(t) a＜0 （2） -eatε(-t) a＞0（3） eatε(t) a＞0（4） e-a|t| a＞0（5） ε(t-4)（6） δ（t-τ）（7） e-tε(t)+e-2tε(t)（8） cos(ω0t+φ)ε(t)2. 求如图4.37所示信号的拉普拉斯变换图 4.373. 对如图4.38所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域图 4.38（1） f（t）的傅里叶变换存在 （2） f（t）e2t的傅里叶变换存在（3） f（t）=0 t＞0 （4） f（t）=0 t＜54. 针对如图4.39所示的每一个信号的有理拉氏变换的零极点图，确定：（1） 拉氏变换式；（2） 零极点图可能的收敛域，并指出相应信号的特征图 4.395. 对于下列信号，判断拉氏变换是否存在若存在，求出其拉氏变换式及收敛域1） tε(t) （2） t2ε(t)（3） te-2tε(t)（4） et2ε(t)（5） eet ε(t)（6） f（t）=e-t t＜0et t＞06. 利用拉普拉斯变换的性质，求下列信号的拉氏变换，并画出零极点图。
1） (t+1)ε(t-1) （2） te-tε(t-τ)（3） （t+1）e-tε(t)（4） t2e-atε(t)（5） sinπt[ε(t)-ε(t-1)]（6） sin(ωt)cos(ωt)ε(t)（7） sin(ωt)ε(t-τ)（8） sinω(t-τ)ε(t) （9） sin2tε(t)（10） |sint|ε(t)（11） te-atcos(ωt)ε(t)（12） sin(at)tε(t)（13） ∫t0sin(πτ)dτ（14） ∫t0∫τ0sin(πx)dxdτ（15） ddt[e-atsin(ωt)ε(t)]（16） e-α(t -t0)sin(ωt+θ)ε(t)（17） d2dt2[sin(πt)ε(t)]（18） d2sin(πt)dt2ε(t)（19） ∫t0τsinτdτ（20） e-atftbε(t)7. 求如图4.40所示单边周期信号的拉氏变换图 4.408. 求下列象函数的拉氏反变换f（t）1） F(s)=s+3s2+2s+2（2） F(s)=s2e-ss2+2s+5（3） F(s)=s（s+1）（s+2）（4） F(s)=s2s3+3s2+7s+5（5） F(s)=lns-1s（6） F(s)=s2-s+1s3-s29. 求下列各象函数的原函数f（t）的初值与终值。
1） F(s)=s+3s2+3s+2（2） F(s)=s2+5s(s2+2s+4)（3） F(s)=ss4+5s2+4（4） F(s)=e-s5s2(s-2)3（5） F(s)=s+3(s+1)2(s+2)（6） F(s)=1s+1s+110. 已知LTI因果系统的系统函数H(s)及输入信号f（t），求系统的响应y(t)1） H(s)=2s+3s2+6s+8,f（t）=ε(t)（2） H(s)=s+4s(s3+3s+2),f（t）=e-tε(t)（3） H(s)=s2+2ss(s2+9),f（t）=e-2tε(t)（4） H(s)=s+1s2+5s+6,f（t）=te-tε(t)11. 计算下列微分方程描述的因果系统的系统函数H(s)若系统最初是松弛的，而且f（t）=ε(t)，求系统的响应y(t)1） y″(t)+4y′(t)+3y(t)=f′（t）+f（t）（2） y″(t)+4y′(t)+5y(t)=f′（t）如果f（t）=e-tε(t)，系统的响应y(t)又是什么？12. 对一个LTI系统，已知：输入信号y(t)=4e2tε(-t)；输出响应y(t)=e2tε(-t)+e-2tε(t)。
1） 确定系统的系统函数H(s)及收敛域；（2） 求系统的单位冲激响应h（t）；（3） 如果输入信号f（t）为f（t）=e-t，-∞＜t＜∞求输出y(t)13. 描述某LTI系统的微分方程为y′(t)+2y(t)=f′（t）+f（t），求下列激励下的零状态响应1） f（t）=ε(t) （2） f（t）=e-tε(t)（3） f（t）=e-2tε(t)（4）f（t）=tε(t)14. 描述某LTI系统的微分方程为y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f′（t）+4f（t），求在下列条件下的零输入响应和零状态响应1） f（t）=ε(t),y（0-）=0,y′（0-）=1（2） f（t）=e-2tε(t),y（0-）=1,y′（0-）=115. 求下列方程所描述LTI系统的冲激响应h（t）和阶跃响应g（t）1） y″(t)+4y′(t)+3y(t)=f′（t）-3f（t）（2） y″(t)+y′(t)+y(t)=f′（t）+f（t）16. 已知某LTI系统的阶跃响应g（t）=(1-e-2t)ε(t)，欲使系统的零状态响应为yzs(t)=(1-e-2t+te-2t)ε(t)，求系统的输入信号f（t）。
17. 某LTI系统，当输入f（t）=e-tε(t)时，其零状态响应yzs(t)=(e-t-2e-2t+3e-3t)ε(t)，求该系统的阶跃响应g（t）18. 电路如图4.41所示在t=0之前开关K位于“1”端，电路已进入稳态，t=0时刻开关从“1”转至“2”，试求uc(t)与ic(t)图 4.4119. 已知如图4.42（a）所示的RC电路，激励信号e(t)=∑∞n=0δ(t-n)，波形如图4.42（a）所示，试求零状态响应uc(t)，并指出瞬态响应分量和稳态响应分量图 4.4220. 电路如图4.43所示，在t=0以前开关K位于“1”，且电路已达到稳态t=0时刻开关倒向“2”试求对于下列e1,e2时电容两端电压uc(t)：图 4.43（1） e1=0V， e2=e-2tε(t)（2） e1=1V， e2=0V（3） e1=1V， e2=e-2tε(t)（4） e1=1V， e2=2V21. 如图4.44所示双口网络，已知其S域阻抗矩阵为Z（s）=2s+1 1s+11s+1 1s+1，且RL=1Ω,Rs=2Ω，试求输出电压的冲激响应h（t）图 4.4422. 如图4.45所示的零状态电路，图中ku2(t)是受控源，试求：图 4.45（1） 系统函数H(s)=U3(s)U1(s)；（2） k为何值时系统稳定；（3） 取k=2,u1(t)=sintε(t)时，求响应u3(t)；（4） 取k=3,u1(t)=costε(t)时，求响应u3(t)；（5） 取k=3,u1(t)=sin2tε(t)时，求响应u3(t)。