第六章1 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积. (1)r=3cosq 及r=1+cosq 解 曲线r=3cosq 与r=1+cosq 交点的极坐标为, . 由对称性, 所求的面积为 . (2)及. 解 曲线与的交点M的极坐标为M. 所求的面积为 . (3)摆线x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱, y=0, 绕直线y=2a. 解 . 2 求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值. 解 设弦的倾角为a. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为 . 显然当时, A1=0; 当时, A1>0. 因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 . 3证明 由平面图形0£a£x£b, 0£y£f(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为 . 证明 如图, 在x处取一宽为dx的小曲边梯形, 小曲边梯形绕y轴旋转所得的旋转体的体积近似为2px×f(x)dx, 这就是体积元素, 即 dV=2px×f(x)dx, 于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为 . 4计算抛物线y2=2px 从顶点到这曲线上的一点M(x, y)的弧长. 解 . 5在摆线x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)上求分摆线第一拱成1: 3的点的坐标. 解 设t从0变化到t0时摆线第一拱上对应的弧长为s(t0), 则 . 当t0=2p时, 得第一拱弧长s(2p)=8a. 为求分摆线第一拱为1: 3的点为A(x, y), 令 , 解得, 因而分点的坐标为: 横坐标, 纵坐标, 故所求分点的坐标为.6直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？ 解 由玻-马定律知: . 设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x厘米时压强 为P(x)牛/厘米2, 则 , . 功元素为, 所求功为 (J). y7. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体, 尺寸如图所示. 当水箱装满水时, 计算水箱的一个端面所受的压力. 解 建立坐标系如图, 则椭圆的方程为 . 压力元素为 , 所求压力为 (吨)=17.3(kN). (提示: 积分中所作的变换为)8设有一长度为l、线密度为m的均匀细直棒, 在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M, 试求这细棒对质点M的引力. 解 建立坐标系如图. 在细直棒上取一小段dy, 引力元素为 , dF在x轴方向和y轴方向上的分力分别为 , . , . 9. 设有一半径为R、中心角为 j 的圆弧形细棒, 其线密度为常数 m . 在圆心处有一质量为m的质点F. 试求这细棒对质点M的引力. 解 根据对称性, Fy=0. , . 引力的大小为, 方向自M点起指向圆弧中点. 10求圆盘绕y轴旋转而成的旋转体的体积. 解 . . 证明见第三题11抛物线被圆所需截下的有限部分的弧长. 解 由解得抛物线与圆的两个交点为, , 于是所求的弧长为 . 12半径为r的球沉入水中, 球的上部与水面相切, 球的比重与水相同, 现将球从水中取出, 需作多少功? 解 建立坐标系如图. 将球从水中取出时, 球的各点上升的高度均为2r. 在x处取一厚度为dx的薄片, 在将球从水中取出的过程中, 薄片在水下上升的高度为r+x, 在水上上升的高度为r-x. 在水下对薄片所做的功为零, 在水上对薄片所做的功为 , 对球所做的功为 . 13. 边长为a和b的矩形薄板, 与液面成a 角斜沉于液体内, 长边平行于液面而位于深h处, 设a>b, 液体的比重为r, 试求薄板每面所受的压力. 解 在水面上建立x轴, 使长边与x轴在同一垂面上, 长边的上端点与原点对应. 长边在x轴上的投影区间为[0, bcosa], 在x处x轴到薄板的距离为h+xtana. 压力元素为 , 薄板各面所受到的压力为 . 14. 设星形线, 上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方, 在原点O处有一单位质点, 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力. 解 取弧微分ds为质点, 则其质量为 , 其中. 设所求的引力在x轴、y轴上的投影分别为Fx、Fy, 则有 , ,所以. 第七章1设向量的方向余弦分别满足(1)cosa=0; (2)cosb=1; (3)cosa=cosb=0, 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？ 解 (1)当cosa=0时, 向量垂直于x轴, 或者说是平行于yOz面. (2)当cosb=1时, 向量的方向与y轴的正向一致, 垂直于zOx面. (3)当cosa=cosb=0时, 向量垂直于x轴和y轴, 平行于z轴, 垂直于xOy面. 2一向量的终点在点B(2, -1, 7), 它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4, -4, 7. 求这向量的起点A的坐标. 解 设点A的坐标为(x, y, z). 由已知得 , 解得x=-2, y=3, z=0. 点A的坐标为A(-2, 3, 0). 3（1）设a、b、c为单位向量, 且满足a+b+c=0, 求a×b+b×c+c×a . 解 因为a+b+c=0, 所以(a+b+c)×(a+b+c)=0, 即 a×a+b×b+c×c+2a×b+2a×c+2c×a=0, 于是 （2）设|a|=3, |b|=4, |c|=5, 且满足a+b+c=0, 求|a´b+b´c+c´a| 解 c=-(a+b), a´b+b´c+c´a=a´b-b´(a+b)-(a+b)´a=a´b-b´a-b´a=3a´b, |a´b+b´c+c´a|=3|a´b|=3|a|×|b|=3×3×4=36. 4. 设质量为100kg的物体从点M1(3, 1, 8)沿直线称动到点M2(1, 4, 2), 计算重力所作的功(长度单位为m, 重力方向为z轴负方向). 解F=(0, 0, -100´9. 8)=(0, 0, -980), . W=F×S=(0, 0, -980)×(-2, 3, -6)=5880(焦耳). 5求向量a=(4, -3, 4)在向量b=(2, 2, 1)上的投影. acosφ 解 . 6试用向量证明直径所对的圆周角是直角. 证明 设AB是圆O的直径, C点在圆周上, 则, . 因为, 所以, ∠C=90°. 7画出下列方程所表示的曲面: 先旋转再伸缩(1)4x2+y2-z2=4; (2)x2-y2-4z2=4; (3). 8分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线的柱面方程. 解 把方程组中的x消去得方程3y2-z2=16, 这就是母线平行于x轴且通过曲线的柱面方程. 把方程组中的y消去得方程3x2+2z2=16, 这就是母线平行于y轴且通过曲线的柱面方程.9求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程. 解 由前两个方程得x2+y2=a2, 于是螺旋线在xOy面上的投影曲线的直角坐标方程为 . 由第三个方程得代入第一个方程得 , 即, 于是螺旋线在zOx面上的投影曲线的直角坐标方程为 . 由第三个方程得代入第二个方程得 , 即, 于是螺旋线在yOz面上的投影曲线的直角坐标方程为 . 10求上半球与圆柱体x2+y2£ax(a>0)的公共部分在xOy面和zOx面上的投影. 解 圆柱体x2+y2£ax在xOy面上的投影为x2+y2£ax, 它含在半球在xOy面上的投影x2+y2£a2内, 所以半球与圆柱体的公共部分在xOy面上的投影为x2+y2£ax. 为求半球与圆柱体的公共部分在zOx面上的投影, 由圆柱面方程x2+y2=ax得y2=ax-x2, 代入半球面方程, 得(0£x£a), 于是半球与圆柱体的公共部分在zOx面上的投影为 (0£x£a), 即z2+ax£a2, 0£x£a, z³0. 11. 求旋转抛物面z=x2+y2(0£z£4)在三坐标面上的投影. 解 令z=4得x2+y2=4, 于是旋转抛物面z=x2+y2(0£z£4)在xOy面上的投影为x2+y2£4. 令x=0得z=y2, 于是旋转抛物面z=x2+y2(0£z£4)在yOz面上的投影为y2£z£4. 令y=0得z=x2, 于是旋转抛物面z=x2+y2(0£z£4)在zOx面上的投影为x2£z£4. 12 分别按下列条件求平面方程: (1)平行于zOx面且经过点(2, -5, 3); 解 所求平面的法线向量为j =(0, 1, 0), 于是所求的平面为 0×(x-2)-5(y+5)+0×(z-3)=0, 即y=-5. (2)通过z轴和点(-3, 1, -2); 解 所求平面可设为Ax+By=0. 因为点(-3, 1, -2)在此平面上, 所以 -3A+B=0, 将B=3A代入所设方程得 Ax+3Ay=0, 所以所求的平面的方程为 x+3y=0, (3)平行于x轴且经过两点(4, 0, -2)和(5, 1, 7). 解 所求平面的法线向量可设为n=(0, b, c). 因为点(4, 0, -2)和(5, 1, 7)都在所求平面上, 所以向量n1=(5, 1, 7)-(4, 0, -2)=(1, 1, 9)与n是垂直的, 即 b+9c=0, b=-9c , 于是 n=(0, -9c, c)=-c(0, 9, -1). 所求平面的方程为 9(y-0)-(z+2)=0, 即9y-z-2=0. 13用对称式方程及参数方程表示直线. 解 平面x-y+z=1和2x+y+z=4的法线向量为n1=(1, -1, 1), n2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为 . 在方程组中, 令y=0, 得, 解得x=3, z=-2. 于是点(3, 0, -2)为所求直线上的点. 所求直线的对称式方程为 ; 参数方程为 x=3-2t, y=t, z=-2+3t. 14求过点(3, 1, -2)且通过直线的平面方程. 解 所求平面的法线向量与直线的方向向量s1=(5, 2, 1)垂直. 因为点(3, 1, -2)和(4, -3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量s2=(4, -3, 0)-(3, 1, -2)=(1, -4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为 . 所求平面的方程为 8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0, 即 8x-9y-22z-59=0. 15试确定下列各组中的直线和平面间的关系: (1)和4x-2y-2z=3; 解 所给直线的方向向量为s=(-2, -7, 3), 所给平面的法线向量为n=(4, -2, -2). 因为s×n=(-2)´4+(-7)´(-2)+3´(-2)=0, 所以s^n, 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(-3, -4, 0)不满足平面方程4x-2y-2z=3, 所以所给直线不在所给平面上. (2)和3x-2y+7z=8; 解 所给直线的方向向量为s=(3, -2, 7), 所给平面的法线向量为n=(3, -2, 7). 因为s=n, 所以所给直线与所给平面是垂直的. (3)和x+y+z=3. 解 所给直线的方向向量为s=(3, 1, -4), 所给平面的法线向量为n=(1, 1, 1).因为s ×n=3´1+1´1+(-4)´1=0, 所以s^n, 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(2, -2, 3)满足平面方程x+y+z=3, 所以所给直线在所给平面上. 16求点(-1, 2, 0)在平面x+2y-z+1=0上的投影. 解 平面的法线向量为n=(1, 2, -1). 过点(-1, 2, 0)并且垂直于已知平面的直线方程为 . 将此方程化为参数方程x=-1+t, y=2+2t, z=-t, 代入平面方程x+2y-z+1=0中, 得 (-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0, 解得. 再将代入直线的参数方程, 得, , . 于是点(-1, 2, 0)在平面x+2y-z+1=0上的投影为点. 17求点P(3, -1, 2)到直线的距离. 解 已知直线的方向向量为 . 过点P且与已知直线垂直的平面的方程为 -3(y+1)-3(z-2)=0, 即y+z-1=0. 解线性方程组 , 得x=1, , . 点P(3, -1, 2)到直线的距离就是点P(3, -1, 2)与点间的距离, 即 . 18画出下列各曲面所围成的立体图形: (1)x=0, y=0, z=0, x=2, y=1, 3x+4y+2z-12=0; 截距式19设a+3b^7a-5b, a-4b^7a-2b, 求 . 解 因为a+3b^7a-5b, a-4b^7a-2b, 所以 (a+3b)×(7a-5b)=0, (a-4b)×(7a-2b)=0, 即 7|a|2+16a×b-15|b|2 =0, 7|a|2-30a×b+8|b|2 =0,又以上两式可得 , 于是 , . 20设a=(2, -3, 1), b=(1, -2, 3), c=(2, 1, 2), 向量r满足r^a, r^b, Prjcr=14, 求r. 解 设r=(x, y, z). 因为r^a, r^b, 所以r×a=0, r×b=0, 即 2x-3y+z=0, x-2y+3z=0. 又因为Prjcr=14, 所以, 即 2x+y+2z=42. 解线性方程组 , 得x=14, y=10, z=2, 所以r=(14, 10, 2). 另解 因为r^a, r^b, 所以r与平行, 故可设r=l(7, 5, 1). 又因为Prjcr=14, 所以, r×c=42, 即 l(7´2+5´1+1´2)=42, l=2, 所以r=(14, 10, 2).21设a=(-1, 3, 2), b=(2, -3, -4), c=(-3, 12, 6), 证明三向量a、b、c共面, 并用a和b表示c . 证明 向量a、b、c共面的充要条件是(a´b)×c=0. 因为 , (a´b)×c=(-6)´(-3)+0´12+(-3)´6=0, 所以向量a、b、c共面. 设c=la+mb, 则有 (-l+2m, 3l-3m, 2l-4m)=(-3, 12, 6), 即有方程组 , 解之得l=5, m=1, 所以c=5a+b . 22求通过点A(3, 0, 0)和B(0, 0, 1)且与xOy面成角的平面的方程. 解 设所求平面的法线向量为n=(a, b, c). , xOy面的法线向量为k=(0, 0, 1). 按要求有, , 即 , 解之得c=3a, . 于是所求的平面的方程为 , 即 , 或. 23 设一平面垂直于平面z=0, 并通过从点(1, -1, 1)到直线的垂线, 求此平面方程. 解 直线的方向向量为s=(0, 1, -1)´(1, 0, 0)=(0, -1, -1). 设点(1, -1, 1)到直线的垂线交于点(x0, y0, z0). 因为点(x0, y0, z0)在直线上, 所以(x0, y0, z0)=(0, y0, y0+1). 于是, 垂线的方向向量为 s1=(-1, y0+1, y0). 显然有s×s 1=0, 即 -y0-1-y0=0, . 从而. 所求平面的法线向量可取为 , 所求平面的方程为 , 即x+2y+1=0 24. 求过点(-1, 0, 4), 且平行于平面3x-4y+z-10=0, 又与直线相交的直线的方程. 解 过点(-1, 0, 4), 且平行于平面3x-4y+z-10=0的平面的方程为 3(x+1)-4(y-0)+(z-4)=0, 即3x-4y+z-1=0. 将直线化为参数方程x=-1+t, y=3+t, z=2t, 代入平面方程3x-4y+z-1=0, 得 3(-1+t)-4(3+t)+2t-1=0, 解得t=16. 于是平面3x-4y+z-1=0与直线的交点的坐标为(15, 19, 32), 这也是所求直线与已知直线的交点的坐标. 所求直线的方向向量为 s=(15, 19, 32)-(-1, 0, 4)=(16, 19, 28), 所求直线的方程为 . 25. 求锥面与柱面z2=2x所围立体在三个坐标面上的投影. 解 锥面与柱面交线在xOy面上的投影为 , 即, 所以, 立体在xOy面上的投影为. 锥面与柱面交线在yOz面上的投影为 , 即, 所以, 立体在yOz面上的投影为. 锥面与柱面z2=2x与平面y=0的交线为 和, 所以, 立体在zOx面上的投影为 . 。