2015-2016学年河北省邢台市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合A={x|x2﹣6x+8＜0}，集合B={x∈N|y=}，则A∩B=（ ）A．{3} B．{1，3} C．{1，2} D．{1，2，3}2．若z=1﹣i，则复数z+在复平面上对应的点在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若sinα=﹣，α为第三象限的角，则cos（）等于（ ）A． B． C．﹣D．4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元5．已知f（x）=，则f（）等于（ ）A．2 B．﹣2 C．2D．﹣26．已知在△ABC中，∠A=60°，D为AC上一点，且BD=3， •=•，则•等于（ ）A．1 B．2 C．3 D．47．执行如图的程序框图，若p=4，则输出S的值为（ ）A． B． C． D．8．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A． B． C．2 D．69．下列关于函数f（x）=sinx（cosx+sinx）的说法中，不正确的是（ ）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于直线x=﹣对称C．f（x）的图象关于点（，0）对称D．f（x）的图象向右平移后得到一个偶函数的图象10．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为﹣1的直线，且l与此双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若=，则此双曲线的离心率为（ ）A． B．2 C． D．11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且A=，b+2c=8，则当△ABC的面积取得最大值时a的值为（ ）A．2B．2C． D．412．函数f（x）=loga（x3﹣2ax）（a＞0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）A．1＜a≤4 B．1＜a≤8 C．1＜a≤12 D．1＜a≤24 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数g（x）=sinx•log2（+x）为偶函数，则t= ．14．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x2+y2的取值范围是 ．15．已知点A是抛物线y2=2px上的一点，F为其焦点，若以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，且△FBC为正三角形，当△ABC的面积是时，则抛物线的方程为 ．16．已知三棱锥O﹣ABC中，OA=OB=2，OC=4，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，则三棱锥O﹣ABC的体积为 ． 三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知等差数列{an}的前5项的和为55，且a6+a7=36．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．18．在下班高峰期，记者在某红绿灯路口随机访问10个步行下班的路人，其年龄的茎叶图如图：（1）求这些路人年龄的中位数与方差；（2）若从40岁以上的路人中，随机抽取2人，求其中一定含有50岁以上的路人的概率．19．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=4．（1）求证：CE∥平面PAB；（2）若F为PC的中点，求F到平面AEC的距离．20．已知点Q是圆M：（x+1）2+y2=64上的动点（圆心为M）上的动点，点N（1，0），线段QN的中垂线交MQ于点P．（1）若点P的轨迹是E，求E的轨迹方程；（2）是否存在直线l，使原点到直线l的距离为1，并且以l截轨迹E所得的弦为直径的圆恰好过原点？如存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣（1+a）x﹣1，g（x）=﹣﹣a（x+1），其中a是常数．（1）若函数f（x）在其定义域上不是单调函数，求实数a的取值范围；（2）如果函数p（x），q（x）在公共定义域D上满足p（x）＜q（x），那么就称q（x）为p（x）在D上的“线上函数”．证明：当a＜1时，g（x）为f（x）在（0，+∞）上的“线上函数”． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A．（1）若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，求CE的长；（2）若=， =，求的值． [选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标线中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系．已知直线与椭圆的极坐标方程分别为l：cosθ+2sinθ=0，C：ρ2=．（1）求直线与椭圆的直角坐标方程；（2）若P是椭圆C上的一个动点，求P到直线l距离的最大值． [选修4-5：不等式选讲]24．不等式|2x﹣1|﹣|x+1|＜2的解集为{x|a＜x＜b}．（1）求a，b的值；（2）已知x＞y＞z，求证：存在实数k使﹣+≥恒成立，并求出k的最大值． 2015-2016学年河北省邢台市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合A={x|x2﹣6x+8＜0}，集合B={x∈N|y=}，则A∩B=（ ）A．{3} B．{1，3} C．{1，2} D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围，找出正整数解确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣4）＜0，解得：2＜x＜4，即A=（2，4），由B中y=，x∈N，得到3﹣x≥0，x∈N，解得：x≤3，x∈N，即B={0，1，2，3}，则A∩B={3}，故选：A． 2．若z=1﹣i，则复数z+在复平面上对应的点在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】化简复数求出对应点的坐标，即可得到结果．【解答】解：z=1﹣i，则复数z+=1﹣+=1﹣+=1﹣+=．对应点（，）在第四象限．故选：D． 3．若sinα=﹣，α为第三象限的角，则cos（）等于（ ）A． B． C．﹣D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，求得cos（）的值．【解答】解：∵sinα=﹣，α为第三象限的角，∴cosα=﹣=﹣，则cos（）=cosαcos﹣sinαsin=﹣•﹣（﹣）•=，故选为：D． 4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元【考点】线性回归方程．【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．【解答】解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故选：B． 5．已知f（x）=，则f（）等于（ ）A．2 B．﹣2 C．2D．﹣2【考点】函数的值．【分析】利用分段函数及三角函数性质求解．【解答】解：∵f（x）=，∴f（）=2f（）=4f（﹣）=4sin（﹣）=﹣4sin（）=﹣4sin=﹣2．故选：D． 6．已知在△ABC中，∠A=60°，D为AC上一点，且BD=3， •=•，则•等于（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可画出图形，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，并设AD=m，这样根据便可得到，从而得到m=，这样在△ABD中由余弦定理便可建立关于c的方程，可解出c=，从而有m=，然后进行数量积的计算便可求出的值．【解答】解：如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设AD=m；∵∠A=60°，∴由得：；∴；又BD=3，∴在△ABD中由余弦定理得：；∴，m=；∴．故选：C． 7．执行如图的程序框图，若p=4，则输出S的值为（ ）A． B． C． D．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出S=++…+的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算S=++…+，∵S=++…+=1﹣，又p=4，∴S=．故选：C． 8．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A． B． C．2 D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，底面直角梯形的底边长分别为：2，1；高为2，棱锥的高为：2；所以棱锥的体积为： =2．故选C． 9．下列关于函数f（x）=sinx（cosx+sinx）的说法中，不正确的是（ ）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于直线x=﹣对称C．f（x）的图象关于点（，0）对称D．f（x）的图象向右平移后得到一个偶函数的图象【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，利用正弦函数的图象和性质即可逐一判断得解．【解答】解：∵f（x）=sinx（cosx+sinx）=sin2x+=sin（2x﹣）+，∴f（x）的最小正周期T=，故A正确；由sin[2×（﹣）﹣]=﹣1，故B正确；由f（）=sin（2×﹣）+=，故C错误；将f（x）的图象向右平移后得到y=sin[2（x﹣）﹣]+=﹣cos2x为偶函数，故D正确．故选：C． 10．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为﹣1的直线，且l与此双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若=，则此双曲线的离心率为（ ）A． B．2 C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把B，C表示出来，再由向量共线的坐标表示，求出b，c与a的关系，即可求双曲线的离心率．【解答】解：设右焦点为F（c，0），过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为﹣1的直线为：y=﹣x+c，渐近线的方程是：y=±x，由得：B（，），由得，C（，﹣），所以=（﹣c，）=（，），=（﹣，﹣﹣）=（，﹣），又=，即有=•，化简可得b=a，由a2+b2=c2得， a2=c2，所以e==．故选：A． 11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且A=，b+2c=8，则当△ABC的面积取得最大值时a的值为（ ）A．2B．2C． D．4【考点】余弦定理．【分析】b+2c=8，可得S△ABC==bc=c（8﹣2c），利用基本不等式的性质可得c．再利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵b+2c=8，∴S△ABC==bc=c（8﹣2c）=c（4﹣c）≤=2．当且仅当c=2时取等号．∴b=4．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc=b2+c2+bc=42+22+4×2=28，∴a=2．故选：B． 12．函数f（x）=loga（x3﹣2ax）（a＞0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）A．1＜a≤4 B．1＜a≤8 C．1＜a≤12 D．1＜a≤24【考点】对数函数的图象与性质．【分析】函数f（x）=loga（x3﹣2ax）（a＞0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，根据幂函数类函数的递增趋势知当自变量大到一定程度，内层函数一定是增函数，由此可以判断出外层函数一定是增函数，即底数大于1，又由复合函数的单调性可以判断出内层函数在（4，+∞）上单调递增，故可以导数在该区间上恒正来得到参数的不等式，由此解出参数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=loga（x3﹣2ax）（a＞0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，故外层函数是增函数，由此得a＞1，又内层函数在区间在（4，+∞）上单调递增，令t=x3﹣2ax则t′=3x2﹣2a≥0在（4，+∞）上恒成立，即3x2≥2a在（4，+∞）上恒成立故2a≤48，即a≤24，又由真数大于0，故，64﹣8a≥0，故a≤8，由上得a的取值范围是1＜a≤8，故选：B． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数g（x）=sinx•log2（+x）为偶函数，则t= 1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=sinx•log2（+x）为偶函数，∴g（﹣x）=g（x），即﹣sinx•log2（﹣x）=sinx•log2（+x），即log2（﹣x）=﹣log2（+x），则log2（﹣x）+log2（+x）=0，即log2（﹣x）（+x）=log2（x2+t﹣x2）=log2t=0，即t=1，故答案为：1． 14．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x2+y2的取值范围是 [，5] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，根据z═x2+y2的几何意义求出z的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，z=x2+y2的几何意义表示平面区域内的点到原点的距离的平方，显然A到原点的距离最大，此时z=5，设原点到直线x+2y﹣2=0的距离是d，则d==，故z的取值范围是：[，5]． 15．已知点A是抛物线y2=2px上的一点，F为其焦点，若以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，且△FBC为正三角形，当△ABC的面积是时，则抛物线的方程为 y2=16x ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意得|BC|=|AF|=p，利用△ABC的面积是，由抛物线的定义可得×p×p=，求出p，可得抛物线的方程．【解答】解：由题意得|BC|=|AF|=p，∵△ABC的面积是，∴由抛物线的定义可得×p×p=，∴p=8，∴抛物线的方程为y2=16x．故答案为：y2=16x． 16．已知三棱锥O﹣ABC中，OA=OB=2，OC=4，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，则三棱锥O﹣ABC的体积为 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，利用体积公式，即可求出三棱锥O﹣ABC的体积．【解答】解：由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，∵OA=OB=2，OC=4，∠AOB=120°，∴三棱锥O﹣ABC的体积为=．故答案为：． 三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知等差数列{an}的前5项的和为55，且a6+a7=36．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）由等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）由bn===，利用裂项求和法能求出数列{bn}的前n项和．【解答】解：（1）∵等差数列{an}的前5项的和为55，且a6+a7=36，∴，解得a1=7，d=2，∴数列{an}的通项公式an=7+（n﹣1）×2=2n+5．（2）bn===，∴数列{bn}的前n项和：Sn===． 18．在下班高峰期，记者在某红绿灯路口随机访问10个步行下班的路人，其年龄的茎叶图如图：（1）求这些路人年龄的中位数与方差；（2）若从40岁以上的路人中，随机抽取2人，求其中一定含有50岁以上的路人的概率．【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【分析】（1）把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，求出中间两个数的平均数即是中位数；再求出这组数据的平均数与方差；（2）40岁以上有7人，其中40～50岁有4人，50岁以上有3人，分别编号，用列举法求出从这7人中抽取2人的基本事件数以及一定含有50岁以上的基本事件数，计算对应的概率．【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据，把这10个数据按照从小到大的顺序排列，排在中间的两个数是43和45，则这组数据的中位数是=44；平均数是=×（22+34+34+42+43+45+45+51+52+52）=42，方差是s2= [（22﹣42）2+（34﹣42）2×2+（42﹣42）2+（43﹣42）2+（45﹣42）2×2+（51﹣42）2+（52﹣42）2×2=82.8；（2）40岁以上的路人有7人，其中40～50岁有4人，记为a、b、c、d，50岁以上有3人，记为E、F、G；现从这7人中随机抽取2人，基本事件是ab、ac、ad、aE、aF、aG、bc、bd、bE、bF、bG、cd、cE、cF、cG、dE、dF、dG、EF、EG、FG共21种；其中一定含有50岁以上的事件是aE、aF、aG、bE、bF、bG、cE、cF、cG、dE、dF、dG、EF、EG、FG共15种；所求的概率是P==． 19．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=4．（1）求证：CE∥平面PAB；（2）若F为PC的中点，求F到平面AEC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）证法一：取AD中点M，连EM，CM，EM∥PA，从而EM∥平面PAB；推导出MC∥AB，从而MC∥平面PAB，由此能证明EC∥平面PAB．法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN，则EC∥PN，由此能证明EC∥平面PAB．（2）以A为原点，过A作AD的垂线为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出F到平面AEC的距离．【解答】证明：（1）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．∵EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EM∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴MC∥平面PAB．∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC⊂平面EMC，∴EC∥平面PAB．证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．∵∠NAC=∠DAC=60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．∵E为PD中点，∴EC∥PN∵EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，∴EC∥平面PAB．解：（2）以A为原点，过A作AD的垂线为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°E为PD的中点，PA=2AB=4，F为PC的中点，∴C（2，2，0），P（0，0，4），F（，1，2），A（0，0，0），D（0，8，0），E（0，4，2）=（），=（2，2，0），=0，4，2），设平面AEC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，2），∴F到平面AEC的距离d===． 20．已知点Q是圆M：（x+1）2+y2=64上的动点（圆心为M）上的动点，点N（1，0），线段QN的中垂线交MQ于点P．（1）若点P的轨迹是E，求E的轨迹方程；（2）是否存在直线l，使原点到直线l的距离为1，并且以l截轨迹E所得的弦为直径的圆恰好过原点？如存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．【考点】轨迹方程．【分析】（1）由线段垂直平分线性质得出|PQ|=|PN|；再分析出|PM|+|PN|为定值，则知点P的轨迹为椭，最后根据椭圆的标准方程写出答案（2）设直线y=kx+m，因为原点到直线l的距离为1，所以=1，所以m2=k2+1．代入曲线C，消去y并整理，由AB为直径的圆过原点O，可得x1x2+y1y2=0，利用韦达定理，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，可知M（﹣1，0），|MQ|=8，因为点P段NQ的垂直平分线上，所以|PQ|=|PN|又|PM|+|PQ|=|MQ|=8，所以|PM|+|PN|=8（8＞2），那么点P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其中a=4，c=1，则b2=a2﹣c2=15，所以点P的轨迹方程为=1；（2）设直线y=kx+m，因为原点到直线l的距离为1，所以=1，所以m2=k2+1．代入曲线C，消去y并整理得（16k2+15）x2+32kmx+16m2﹣240=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=．由AB为直径的圆过原点O，可得x1x2+y1y2=0，而y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•+km•（﹣）+m2=，于是x1x2+y1y2=+=0，得k=±1．满足题意 21．已知函数f（x）=lnx﹣（1+a）x﹣1，g（x）=﹣﹣a（x+1），其中a是常数．（1）若函数f（x）在其定义域上不是单调函数，求实数a的取值范围；（2）如果函数p（x），q（x）在公共定义域D上满足p（x）＜q（x），那么就称q（x）为p（x）在D上的“线上函数”．证明：当a＜1时，g（x）为f（x）在（0，+∞）上的“线上函数”．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得f（x）的导数，讨论1+a≤0，1+a＞0，解不等式可得单调区间，即可得到a的范围；（2）当a＜1时，求得g（x）﹣f（x）=﹣+x﹣lnx+1﹣a，令h（x）=x﹣lnx（x＞0），求得导数，以及单调区间，可得极小值，且为最小值1；令m（x）=，求得导数和单调区间，可得极大值，且为最大值，由不等式的性质即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣（1+a）x﹣1的导数为f′（x）=﹣（1+a），x＞0，当1+a≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增；当1+a＞0，即a＞﹣1时，当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减；当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增．则实数a的取值范围是（﹣1，+∞）；（2）证明：当a＜1时，g（x）﹣f（x）=﹣﹣a（x+1）﹣lnx+（1+a）x+1=﹣+x﹣lnx+1﹣a，令h（x）=x﹣lnx（x＞0），h′（x）=1﹣，当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）递增；当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）递减．可得h（x）在x=1处取得最小值，且为1；令m（x）=，m′（x）=，当x＞e时，h′（x）＜0，h（x）在（e，+∞）递减；当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e）递增．可得m（x）在x=e处取得最大值，且为，即有h（x）＞m（x）恒成立，即﹣+x﹣lnx＞0恒成立，由1﹣a＞0，可得﹣+x﹣lnx+1﹣a＞0，即g（x）＞f（x），当a＜1时，g（x）为f（x）在（0，+∞）上的“线上函数”． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A．（1）若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，求CE的长；（2）若=， =，求的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）首先根据题中圆的切线条件再依据割线定理求得一个线段AE的长，再根据勾股定理的线段的关系可求得CE的长度即可．（2）由已知AC=2AB，AE=3AD，从而AD=，由△ABD∽△AEC，能求出的值．【解答】解：（1）∵⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，∴由割线定理得AB•AC=AD•AE，∴AE===8，DE=AE﹣AD=8﹣3=5，又BD⊥AE，∴BE为直径，∴∠C=90°，在Rt△ACE中，由勾股定理得CE2=AE2﹣AC2=28，∴CE=2．（2）∵∠AEC=∠ABD，∠A=∠A，∵=， =，∴AC=2AB，AE=3AD，∵AD•AE=AB•AC，∴3AD2=2AB2，∴AD=，∴△ABD∽△AEC，∴=，∴=． [选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标线中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系．已知直线与椭圆的极坐标方程分别为l：cosθ+2sinθ=0，C：ρ2=．（1）求直线与椭圆的直角坐标方程；（2）若P是椭圆C上的一个动点，求P到直线l距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直接根据极坐标和直角坐标的互化公式进行求解即可；（2）利用平行线系，然后，借助于直线与圆相切，求解得到相应的最大值即可．【解答】解：（1）根据直线与椭圆的极坐标方程分别为l：cosθ+2sinθ=0，直线的极坐标方程为l：cosθ+2sinθ=0，ρcosθ+2ρsinθ=0，∴x+2y=0，根据椭圆的极坐标方程为ρ2=．∴ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4，∴+y2=1，∴直线的直角坐标方程为：x+2y=0，椭圆的直角坐标方程为： +y2=1，（2）设与已知直线平行的直线方程为：x+2y+m=0，联立，∴8y2+4my+m2﹣4=0．∴△=8﹣m2=0∴m=±2，∴d==．∴P到直线l距离的最大值． [选修4-5：不等式选讲]24．不等式|2x﹣1|﹣|x+1|＜2的解集为{x|a＜x＜b}．（1）求a，b的值；（2）已知x＞y＞z，求证：存在实数k使﹣+≥恒成立，并求出k的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）把要求得不等式去掉绝对值，化为与之等价的3个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由条件可得﹣+＞＞，从而证得结论，可得k的最大值为2．【解答】解：（1）由不等式|2x﹣1|﹣|x+1|＜2，可得①，或，或③．解①求的x∈∅，解②求得﹣＜x≤，解③求得＜x＜4，综上可得，﹣＜x＜4．再根据不等式的解集为{x|a＜x＜b}，可得a=﹣，b=4．（2）∵x＞y＞z，∴x﹣y＞0，y﹣z＞0，x﹣z＞0，∴﹣+=+=+＞+=＞，故存在实数k使﹣+≥恒成立．由以上可得，k的最大值为2． 2016年7月11日 。