第 九 篇 统 计 、 统 计 案 例 (必 修 3、 选修 2-3)第 1节 随 机 抽 样 编 写 意 图 随 机 抽 样 是 统 计 的 基 础 ,高 考 多 为 选 择 题 或 填 空 题 ,在解 答 题 中 与 概 率 问 题 相 结 合 ,以 命 题 背 景 的 形 式 出 现 ,题 目 比 较 简 单 ,本 节 围 绕 高 考 命 题 的 重 点 ,设 置 了 简 单 随 机 抽 样 、 系 统 抽 样 与 分 层抽 样 三 个 考 点 ,精 心 选 择 典 型 例 题 与 练 习 ,重 点 突 出 分 层 抽 样 和 系 统抽 样 . 考 点 突 破思 想 方 法夯 基 固 本 夯 基 固 本 抓 主 干 固 双 基知 识 梳 理1.简 单 随 机 抽 样(1)定 义 :设 一 个 总 体 含 有 N个 个 体 ,从 中 抽 取 n个 个体 作 为 样 本 (n N),如 果 每 次 抽 取 时 总 体 内 的 各 个 个 体 被 抽 到 的 机会 都 ,就 把 这 种 抽 样 方 法 叫 做 简 单 随 机 抽 样 .(2)方 法 : 和 随 机 数 法 .(3)简 单 随 机 抽 样 的 特 点 : 被 抽 取 样 本 的 总 体 个 数 N是 有 限 的 ; 样本 是 从 总 体 中 逐 个 抽 取 的 ; 是 一 种 不 放 回 抽 样 ; 是 等 可 能 抽 取 .逐 个 不 放 回 地相 等 抽 签 法 质 疑 探 究 1:利 用 随 机 数 表 法 抽 取 号 码 时 读 数 应 注 意 什 么 ?(提 示 :注 意 两 点 :一 是 选 定 起 点 后 的 读 数 方 向 ,可 以 向 右 、 向 左 ,也 可向 上 、 向 下 ;二 是 读 数 过 程 应 注 意 查 验 ,所 取 号 码 是 否 在 编 号 范 围 内 ,是 否 与 前 面 所 取 号 码 重 复 ) 2.系 统 抽 样系 统 抽 样 是 指 当 总 体 中 个 数 较 多 时 ,将 总 体 分 成 均 衡 的 几 部 分 ,然 后按 照 预 先 定 出 的 规 则 ,从 每 一 部 分 抽 取 1个 个 体 ,得 到 所 需 要 的 样 本的 抽 样 方 法 .要 从 容 量 为 N的 总 体 中 抽 取 容 量 为 n的 样 本 ,可 采 取 以 下 步 骤 :(1)先 将 总 体 的 N个 个 体 编 号 ,有 时 直 接 用 个 体 自 身 所 带 号 码 . (3)在 第 1段 用 简 单 随 机 抽 样 确 定 第 一 个 个 体 编 号 (l k).(4)依 据 预 定 的 规 则 确 定 其 他 段 应 抽 取 的 个 体 ,直 到 获 取 整 个 样 本 .质 疑 探 究 2:利 用 系 统 抽 样 方 法 抽 取 的 样 本 号 码 有 何 规 律 ?(提 示 :利 用 该 法 抽 取 的 样 本 号 码 构 成 首 项 为 第 一 段 抽 取 的 号 码 ,公差 为 组 距 的 等 差 数 列 )3.分 层 抽 样在 抽 样 时 ,当 总 体 由 有 明 显 差 别 的 几 部 分 组 成 时 ,将 总 体 分 成 互 不交 叉 的 层 ,然 后 按 照 一 定 的 比 例 ,从 各 层 独 立 地 抽 取 一 定 数 量 的 个体 ,将 各 层 取 出 的 个 体 合 在 一 起 作 为 样 本 ,这 种 抽 样 方 法 是 一 种 分层 抽 样 . 基 础 自 测1.(2014高 考 四 川 卷 )在 “ 世 界 读 书 日 ” 前 夕 ,为 了 了 解 某 地 5000名居 民 某 天 的 阅 读 时 间 ,从 中 抽 取 了 200名 居 民 的 阅 读 时 间 进 行 统 计分 析 .在 这 个 问 题 中 ,5000名 居 民 的 阅 读 时 间 的 全 体 是 ( )(A)总 体(B)个 体(C)样 本 的 容 量(D)从 总 体 中 抽 取 的 一 个 样 本解 析 :5000名 居 民 的 阅 读 时 间 的 全 体 是 总 体 ,每 名 居 民 的 阅 读 时 间是 个 体 ,200名 居 民 的 阅 读 时 间 是 样 本 ,故 选 A. A 2.对 于 简 单 随 机 抽 样 的 下 列 说 法 : 它 要 求 被 抽 取 的 总 体 个 数 有 限 ; 它 是 从 总 体 中 逐 个 抽 取 ; 这 是 一 种 不 放 回 抽 样 .其 中 正 确 的 是 ( )(A) (B) (C) (D) 解 析 :根 据 简 单 随 机 抽 样 概 念 可 知 都 是 正 确 的 .A 3.某 学 校 为 调 查 高 三 年 级 的 240名 学 生 完 成 课 后 作 业 所 需 时 间 ,采取 了 两 种 抽 样 调 查 的 方 式 :第 一 种 由 学 生 会 的 同 学 随 机 抽 取 24名 同学 进 行 调 查 ;第 二 种 由 教 务 处 对 高 三 年 级 的 学 生 进 行 编 号 ,从 001到240,抽 取 学 号 最 后 一 位 为 3的 同 学 进 行 调 查 ,则 这 两 种 抽 样 方 法 依次 为 ( )(A)分 层 抽 样 ,简 单 随 机 抽 样 (B)简 单 随 机 抽 样 ,分 层 抽 样(C)分 层 抽 样 ,系 统 抽 样 (D)简 单 随 机 抽 样 ,系 统 抽 样解 析 :根 据 抽 样 的 特 点 ,可 知 第 一 种 是 简 单 随 机 抽 样 ,第 二 种 是 系 统抽 样 . D 答 案 :70 5.某 班 级 有 50名 学 生 ,现 要 采 取 系 统 抽 样 的 方 法 在 这 50名 学 生 中 抽出 10名 学 生 ,将 这 50名 学 生 随 机 编 号 1 50号 ,并 分 组 ,第 一 组 1 5号 ,第 二 组 6 10号 , ,第 十 组 46 50号 ,若 在 第 三 组 中 抽 得 号 码为 12的 学 生 ,则 在 第 八 组 中 抽 得 号 码 为 的 学 生 .解 析 :易 知 组 距 为 5,因 为 在 第 三 组 中 抽 得 号 码 为 12,所 以 在 第 八 组中 抽 得 号 码 为 12+(8-3) 5=37.答 案 :37 考 点 突 破 剖 典 例 找 规 律简 单 随 机 抽 样考 点 一 (2)下 列 抽 取 样 本 的 方 式 不 属 于 简 单 随 机 抽 样 的 有 . 从 无 限 多 个 个 体 中 抽 取 100个 个 体 作 为 样 本 . 盒 子 里 共 有 80个 零 件 ,从 中 选 出 5个 零 件 进 行 质 量 检 验 .在 抽 样 操作 时 ,从 中 任 意 拿 出 一 个 零 件 进 行 质 量 检 验 后 再 把 它 放 回 盒 子 里 . 从 20件 玩 具 中 一 次 性 抽 取 3件 进 行 质 量 检 验 . 某 班 有 56名 同 学 ,指 定 个 子 最 高 的 5名 同 学 参 加 学 校 组 织 的 篮 球 赛 . 解 析 :(1)从 左 到 右 第 1行 的 第 5列 和 第 6列 数 字 是 65,依 次 选 取 符 合 条件 的 数 字 分 别 是 08,02,14,07,01,故 选 出 来 的 第 5个 个 体 的 编 号 为 01.(2) 不 是 简 单 随 机 抽 样 . 不 是 简 单 随 机 抽 样 .由 于 它 是 放 回 抽 样 . 不 是 简 单 随 机 抽 样 .因 为 这 是 “ 一 次 性 ” 抽 取 ,而 不 是 “ 逐 个 ”抽 取 . 不 是 简 单 随 机 抽 样 .因 为 指 定 个 子 最 高 的 5名 同 学 是 56名 中 特 指 的 ,不 存 在 随 机 性 ,不 是 等 可 能 抽 样 .答 案 :(1)D (2) (2)实 现 简 单 随 机 抽 样 ,常 用 抽 签 法 和 随 机 数 表 法 .(3)利 用 随 机 数 表 法 选 取 样 本 号 码 时 要 注 意 当 随 机 地 选 定 开 始 读 数 的 数 后 ,读 数 的 方 向 可 以 向 右 ,也 可 以 向 左 、向 上 、 向 下 等 等 . 在 读 数 过 程 中 ,得 到 一 串 数 字 号 码 ,在 去 掉 其 中 不 在 编 号 范 围 内 和与 前 面 重 复 的 号 码 后 ,可 以 看 成 是 从 总 体 中 抽 取 的 各 个 个 体 的 号 码 . 【 即 时 训 练 】 (1)下 列 抽 样 方 法 中 是 最 简 单 随 机 抽 样 的 是 ( )(A)从 某 学 校 教 师 、 学 生 、 后 勤 人 员 中 分 别 抽 取 6人 、 30人 、 3人 了 解 学校 发 展 状 况(B)用 随 机 数 表 法 从 50件 产 品 中 抽 取 5件 进 行 检 验(C)为 了 调 查 某 种 啤 酒 质 量 ,每 隔 5分 钟 从 传 送 带 上 取 一 瓶 啤 酒 进 行 检 验(D)某 单 位 有 老 年 人 28人 ,中 年 人 54人 ,青 年 人 81人 ,为 调 查 身 体 健 康 状 况 ,需 要 从 中 抽 取 一 个 容 量 为 36的 样 本(2)高 三 (1)班 有 50名 学 生 ,学 号 从 01到 50,数 学 老 师 在 上 统 计 课 的 时 候 ,运 用 随 机 数 法 选 5名 同 学 提 问 .老 师 首 先 选 定 随 机 数 表 中 第 21行 第 15个 数码 为 26,然 后 依 次 提 问 ,那 么 被 提 问 的 5个 学 生 是 .附 :随 机 数 表 的 第 21行 第 11个 数 开 始 到 第 22行 第 10个 数 如 下 :44 22 78 84 26 04 83 46 09 52 68 07 97 06 5774 57 25 65 76 59 29 97 68 60 解 析 :(1)A、 D两 项 不 是 简 单 随 机 抽 样 ,因 为 总 体 组 成 部 分 差 异 明 显 ,是 分 层 抽 样 ;C项 是 指 按 照 一 定 规 则 进 行 抽 样 ,不 是 简 单 随 机 抽 样 ,简单 随 机 抽 样 可 用 抽 签 法 和 随 机 数 表 法 .故 选 B.(2)由 随 机 数 表 可 知 ,抽 取 的 5名 同 学 依 次 为 26,04,46,09,07.答 案 :(1)B (2)26 04 46 09 07 考 点 二 系 统 抽 样 (2)系 统 抽 样 中 各 段 入 样 的 个 体 编 号 成 等 差 数 列 ,公 差 即 分 段 间 隔 .(3)系 统 抽 样 的 最 大 特 点 是 “ 等 距 ” ,利 用 此 特 点 可 以 很 方 便 地 判断 一 种 抽 样 方 法 是 否 是 系 统 抽 样 . 【 即 时 训 练 】 (1)为 调 查 某 校 数 学 作 业 的 情 况 ,市 教 育 局 从 全 校 的 103个 班 中 抽 取 25个 班 了 解 情 况 ,若 采 用 系 统 抽 样 法 ,则 抽 样 中 随 机 剔 除的 个 体 数 和 间 隔 分 别 为 ( )(A)1,25 (B)3,25 (C)3,4 (D)1,4(2)(2014吉 林 九 校 联 合 体 第 二 次 模 拟 )将 某 班 的 60名 学 生 编 号 为 :01,02, ,60,采 用 系 统 抽 样 方 法 抽 取 一 个 容 量 为 5的 样 本 ,且 随 机 抽得 的 一 个 号 码 为 04,则 剩 下 的 四 个 号 码 依 次 是 . 答 案 :(1)C (2)16,28,40,52 分 层 抽 样 考 点 三 【 例 3】 (1)(2014高 考 天 津 卷 )某 大 学 为 了 解 在 校 本 科 生 对 参 加 某项 社 会 实 践 活 动 的 意 向 ,拟 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 ,从 该 校 四 个 年 级的 本 科 生 中 抽 取 一 个 容 量 为 300的 样 本 进 行 调 查 .已 知 该 校 一 年 级 、二 年 级 、 三 年 级 、 四 年 级 的 本 科 生 人 数 之 比 为 4 5 5 6,则 应 从一 年 级 本 科 生 中 抽 取 名 学 生 .(2)(2014高 考 湖 北 卷 )甲 、 乙 两 套 设 备 生 产 的 同 类 型 产 品 共 4800件 ,采 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 中 抽 取 一 个 容 量 为 80的 样 本 进 行 质 量 检 测 .若 样 本 中 有 50件 产 品 由 甲 设 备 生 产 ,则 乙 设 备 生 产 的 产 品 总 数 为 件 . (2)分 层 抽 样 中 各 层 的 抽 样 比 相 同 .样 本 中 甲 设 备 生 产 的 有 50件 ,则 乙 设 备 生 产 的 有 30件 .在 4800件 产 品 中 ,甲 、 乙 设 备 生 产 的 产 品 总 数 比 为 5 3,所 以 乙 设 备 生 产 的 产 品 总 数 为 1800件 .答 案 : (1)60 (2)1800 反 思 归 纳 进 行 分 层 抽 样 时 应 注 意 以 下 几 点(1)分 层 抽 样 中 分 多 少 层 ,如 何 分 层 要 视 具 体 情 况 而 定 ,总 的 原 则是 :层 内 样 本 的 差 异 要 小 ,两 层 之 间 的 样 本 差 异 要 大 ,且 互 不 重 叠 .(2)为 了 保 证 每 个 个 体 等 可 能 入 样 ,所 有 层 中 每 个 个 体 被 抽 到 的可 能 性 相 同 .(3)在 每 层 抽 样 时 ,应 采 用 简 单 随 机 抽 样 或 系 统 抽 样 的 方 法 进 行抽 样 . 【 即 时 训 练 】 (1)某 校 高 中 生 共 有 900人 ,其 中 高 一 年 级 300人 ,高 二年 级 200人 ,高 三 年 级 400人 ,现 分 层 抽 取 容 量 为 45的 样 本 ,那 么 高 一 、高 二 、 高 三 年 级 抽 取 的 人 数 分 别 为 ( )(A)15,10,20 (B)10,5,30(C)15,15,15 (D)15,5,25(2)某 单 位 有 职 工 480人 ,其 中 青 年 职 工 210人 ,中 年 职 工 150人 ,老 年职 工 120人 ,为 了 了 解 该 单 位 职 工 的 健 康 情 况 ,用 分 层 抽 样 的 方 法 从中 抽 取 样 本 .若 样 本 中 的 青 年 职 工 为 7人 ,则 样 本 容 量 为 . 答 案 :(1)A (2)16 1.三 种 抽 样 方 法 的 共 同 点 都 是 等 概 率 抽 样 ,每 个 个 体 被 抽 到 的 概 率都 为 样 本 容 量 与 总 体 容 量 之 比 .2.利 用 随 机 数 表 法 选 取 号 码 要 注 意 查 验 号 码 是 否 在 编 号 范 围 内 以 及是 否 与 前 面 选 取 号 码 重 复 .3.系 统 抽 样 中 抽 取 的 样 本 号 码 ,依 次 构 成 等 差 数 列 .4.解 决 分 层 抽 样 问 题 的 关 键 是 根 据 抽 样 比 建 立 方 程 .助 学 微 博 思 想 方 法 融 思 想 促 迁 移 方 程 思 想 求 解 分 层 抽 样 问 题 【 典 例 】 (2014高 考 重 庆 卷 )某 中 学 有 高 中 生 3500人 ,初 中 生 1500人 .为 了 解 学 生 的 学 习 情 况 ,用 分 层 抽 样 的 方 法 从 该 校 学 生 中 抽 取一 个 容 量 为 n的 样 本 ,已 知 从 高 中 生 中 抽 取 70人 ,则 n为 ( )(A)100 (B)150 (C)200 (D)250 方 法 点 睛 分 层 抽 样 的 实 质 就 是 比 例 抽 样 ,即 各 层 中 所 抽 取 的 样 本数 与 该 层 个 体 总 数 之 比 相 等 ,这 个 比 例 也 等 于 抽 取 过 程 中 的 样 本 容量 与 总 体 容 量 之 比 ,这 就 是 我 们 建 立 方 程 求 相 关 数 值 的 依 据 . 【 即 时 训 练 】 (2013高 考 湖 南 卷 )某 工 厂 甲 、 乙 、 丙 三 个 车 间 生 产了 同 一 种 产 品 ,数 量 分 别 为 120件 ,80件 ,60件 .为 了 解 它 们 的 产 品 质量 是 否 存 在 显 著 差 异 ,用 分 层 抽 样 方 法 抽 取 了 一 个 容 量 为 n的 样 本进 行 调 查 ,其 中 从 丙 车 间 的 产 品 中 抽 取 了 3件 ,则 n等 于 ( )(A)9 (B)10 (C)12 (D)13 。