李群的概要课件1.4变换李群的无穷小算符 设n维欧氏空间中坐标变换的总体构成变换李群G，其中：在上式变换下，n维欧氏空间中任一函数(x)的变换为上式可看作函数变换算符PR的定义因为空间同一点的函数值不变，故 其中省去带撇号：其中 为变换R的逆元素的参数),(),(2121rnxxxx)()()(xPxxR)()()(1xRxxPR的变换是由xxR1),()()(1xfxRxPR),();,2,1(),(xfxnxfxxR李群的概要课件对于无穷小变换，k为无穷小，引入r个无穷中小算符：则原式为：因为(x)是任意的，故 投影算符Zk变换李群的无穷小算符，它的个数等于李各的阶数kk010),(),()(rkkkRxfxfxP0),(),(),()(kkkxfxfxfxxxxfxnkrkk)(),()(011nkkxxf10),()()()(1xxxPkrkkRkkkRP1-(*)xxf0|),(李群的概要课件可以证明：李群的无穷小算符的对易式可表为该群的无穷小算符的线性组合，并且同李群的生成元一样，满足同样的对易式其中 为李群结构常数kkijkjiC,kijC-()李群的概要课件ex.1 （r=2,n=1）当 时是恒等变换，故在 随近展开。
其中：对易式：满足前页（）式21xx),(,21xfaxf0,1210,1211,;,012201112121xfuxxfuxxuxxxu2211,122121,22222)(xxxxxxxxxxxx221,李群的概要课件ex.2 二维转动群SO（2）它是单参数，r=1,只有一个无穷小算符据定义：令 这是角动量Z分量算符（=1）),(cossin),(sincos21yxfyxyyxfyxx),(,),(21021yxxxxyxfkyyxxyx00)sincos(cossinyxxy)(,xyyxiJiJzz则李群的概要课件ex.3单位元：1=4=1,2=3=0 在此附近展开对易关系：同理：)();(2122413221122111axxfxxxaxxfxxx10111113241xfu00112213241fu224141231322212,0,0,0,xuuxuuuxu1121121110 xxxxxxujjj;224213122xxxxxx12212122222xyxyxxyxxy242413431432331;0;x1=x,x2=y李群的概要课件令a=i3/2,b=2/2+i1/2ex.4 求SU(2)群的无穷小算符和对易关系 SU(2)，U=（有三个独立参量，a,b是复数）*abba),(,baIbagvuabbadvvduu*1*1vuiiii3121232122122121321123,2212vufviuiuduuu321312,2221vufviuivdvvvvifuuu2011a,b很小*11abba李群的概要课件同理：同理可以验证同理 这个李代数称为A1 viuuiuuuvuuiuvuvuv2,2,21,21,233221vuuvivuuuvu211131221212vvuuivvuuivuuv2;2132213132;李群的概要课件ex.5 三维转动变换SO(3)实空间中的无穷小转动为其中ij为无穷小参数，由于正交性，则可知：ij仅有三个独立参数jjjiijjjijiixxRxx)(jkkiijiikiijRRRRkjjkikkiijji)(2Oijikikijikijkkijkijxx031kkijmmkmkmxx310)(kmmkijkmxx0,mkkmkjimmmjkixxx,0ijjixxxx李群的概要课件设证：J1，J2，J3正是量子力学中的角动量算符，它们 的对易关系：233211xxxxiJ311321xxxxiJ122131xxxxiJlljklkjJiJJ,)3,2,1(,123312231kiJkk李群的概要课件1.5 有限群元的生成 群G生成元是在=0附近求得的，它反应了整个G的性质),2,1(rkk 0kkg证明：在g(0)附近g()当并不很小时而很大时。
在21)0()(Oggkrkk点上N 001gNgNgiriig(0)g()群空间分成N段P此算子使g(0)变到g(/N)2102NgNgNgNgirii李群的概要课件 NNggNNgNriiiNrNgNNNg121)0(,NiriiNNgg1)0()(limirii1exp令N李群的概要课件ex.1 SO(2)群元素 定轴转动 无穷小生成元 令 ，则 cossinsincos)(g 01100ddg001001egN)exp(limNNNegppP0!10110III432,100101100110李群的概要课件完全决定了g()，即由g()得到的决定g()0!1pppgcossinsincos0sinsin0cos00cossincos1)!12(11)!2(101220IqIq李群的概要课件根据李群的无穷小算符，来导出相应的函数变换PR在变换李群的无穷小变换R下，函数变换算符为其中 Zk为变换李群的无穷小算符当k不很小时，亦可将其分为N等分krkkRP11kkkRNP1 eNPNkkkR1xxfnkk10),(对多参数李群，如SO(3)，可以求出绕x,y,z轴分别转1，2，3角的转动算符:xxxJiRJiRJiRePePeP332211,321,JJJk李群的概要课件绕空间任意方向 (方位角,)，转过角的转动算符，可表为；这是因为：取则 =(1 2 3)为正则参数如选欧拉(Euler)角,为SO(3)群参数。
相继施行三个转动，则这是因为Jx Jy Jz三个分量是不可对易缘故欧拉角,为非正则参数 ncossinsincossinexpexpzyxRJJJiJniPnzzyyxxJnJnJnJncos;sinsin;cossinzyxnnnzyxRJiJiJiPn321exp)(,zyxzyxJJJiJiJiJiReeeePcos;sinsin;cossin321李群的概要课件1.6 不变积分 李群的表示 1.61 不变积分 在有限群中，群G上的函数f(A)(AG)具有下列求和不变式：（根据是有限群中各元素R都具有同样的权重weightfs)其中B为G中任意元素对于李群(无限群)，是否也有相应的不变式呢？首先，应将上面求和改为对群参数的积分，并且必须引入权重函数:r群为的阶这样使得群上函数f(R)的积分在参数的变换下保持不变：上式即为不变积分GAGAGAGAGAAfABfABfBAfABf)()(11 rWW,21 GGGdwRRfdwRRfdwRf11（*）R为任意元素李群的概要课件一般来说，上式成立是有条件的，可以证明：定理：对于紧致李群，可求得这样的权函数，使不变积分（*）存在ex.SO(3)用欧勒角,，作参数时，权函数为：sin,W李群的概要课件1.62 密度函数（权函数）设有参数空间 群元素：现将群元素R平移:其中：i.e.rraaaSSaaaRaRR,;,2121 raaaRaRaRaSSR ,21),(aaa rrkkaaaaaaa,2121平移不变性要求：)(GSdSRFdRFGRGR GrrGGGadaRaRFadaaaaaaaaaRaRFdaaRaRFdaaRaRaSF2121,(RSRajaidaadR)(adadSR )(李群的概要课件比较上式左右得：or:简记作：将单位元素 取作基准元素R(a)这样 （这时R(a0)已同群元数无关）例：其又例：rraaaaaaaaaRaR 2121,aRaaaaaaRrr 2121,aaaaarr),(,2121 raaaRaR0,02010,aaaa,0 aaaaxxxaaxx,0;0基元参数 aaa则,00 aaaaaaxxxaaxx则令则,1,;1,00李群的概要课件于是就有：再将则：其中：aaaaaaarr021210,aaaaaaaa,记记aaa,0而aaaa,aJaa平移平移0 000000000032122221112112121,ararararaaaraaaarraaaaaaaaaaJ平移李群的概要课件ex.1 变换群 等密度在该群上的不变积分为：这是真接应用公式，如不用公式直算，则更直观：axxaaaa,00 1,00aaaJa平移 001aaa平移 daaRFG首先：GdaaRaRFI GadaRaRF李群的概要课件另一方面：取 则I=II，为不变积分实际上，上面不变积分即为其中c为任意实常数，的积分限即为参数全空间。
daaRaRaSFIIG)()(daaRaaRFG)(00 aa adaaaaRaRFaaG 00)(adEaRFG )(,)(0aEaRdcxfdxfdxfG 令李群的概要课件ex.2 变换群 解：在群上的不变积分为：axx 10aaaa,aaaaaaaaJa1,010变变 GdaaaRF1常量（对a积分时）李群的概要课件另一解法，令 在群上的不变积分为 daaRaRFIGadaRaRFG daaRaRaSFIIG daaRaaRFGaaa 10a adaaaRaRFIIaaG 10 adaaRaRFaaG 101 ERRaR10 adaEaRFG 1 GdaaaRF1 adaaRaRFG 10（即 ）aa 对 积分时，它是常量a 李群的概要课件ex.3 变换群：群上不变积分为：21axax2212211110201,0,1aaaaaaaaa10122122110111022011022011,0,0,aaaaaa 2111012221121100202101aaaaJaa变 21021,aaaaa变变 212121212121,dadaaaaFdadaaaaRFGG2211122112121)(:aaxaaxaaxaxxxxxxx 定理：在紧致无限群的情况下 aa右左李群的概要课件1.63 李群的表示Def.1 如果存在非奇异的l阶矩阵集合D(G)，它同给定李群G同构或同态，则称D(G)为李群G的一组l阶线性表示。
一般说来，D(G)也是一个李群，表示的阶l可以是有限的，D(G)的个数也为无穷多个Def.2 若有一组基底，使表示的所有矩阵都取如下形式：则此表示称为可约表示如果上式中Y(G)对RG均为零，那么这表示称为完全可约的RDRYRGRD210有限群的线性表示等价于么正表示，因此，总可通过相似变换，使D(R)化为么正表示，从而Y(R)=0所以有限群的可约表示必定是完全可约的，但对于李群，这个结论不一定对李群的概要课件ex.一维平移群 （非紧致群）可以找到一组基函数在平移变换下，基函数变为：在这组基函数下，该平移群的一个二维表示为：它是可约的，但由于找不到一个相似变换使它对角化，所以它不是完全可约的xx1 121xxx 1101121xxxxGD101101101101)(2121李群的概要课件定理：(对于紧致李群)有限群表示论中的结论都可以移置到紧致李群中来例如：不可约么正表示的矩阵元有正交关系：其中nj为D(j)的维数，j:为某独立的表示jj jvvjjndwdwRDRD*李群的概要课件1.64 李群表示的生成元设D(G)为李群G的一个表示，其表示矩阵D()可用r个参数 k(k=1,2，r)来表示，即设单位阵（对应于李群的单位元素）的参数为零，当很小时 其中r个矩阵 称为李群G的表示D(G)的生成元。
由Xk可求出群中任意元素R在表示D(G)中的表示矩阵D(G)，其步骤同群元素生成元可求任意群元素一样rDD,11 00kkkDDDkkkX1 rkDXkk2,10李氏第一定理：简单李群（即群空间是连通的）的线性表示完全由它的生成元决定李群的概要课件非奇异矩阵（detA0）的全体按照一般的矩阵乘法显然构成一个李群以nn的非奇异矩阵为例：封闭性：矩阵之积为矩阵 单位元素：单位矩阵 逆元素：非奇异矩阵总有逆矩阵存在，（矩阵代数）组合律：矩阵的乘法遵从组合律(AB)C=A(BC)解析性：nn非奇异矩阵为n2参量矩阵，参量就是n2个矩阵元，当矩阵相乘时：参数之间的函数关系 显然为解析函数nnnnnnnnnnnnnnnnnn212222111211212222111211212222111211nkkjikij1,即1.7 矩阵群李群的概要课件1.71 一般线性群GL(n)（General Linear Grasp）这是表示n维空间上的线性变换的最一般的矩阵，除了要求矩阵行列式不能为零（非奇异）之外，没有其他附加条件i=1,2n）注意：GL(n)群不是紧致（致密）群两种情况：显然，（实包含在复之内）njjijixx1xxxjijnnnnnnnnxxxxxx2121222211121121),(,2),(2cnGLnCij记作个参量复域),(,),(2RnGLnRij记作个参量实域RnGLcnGL,李群的概要课件1.72 特殊线性群(么模群)SL(n)(Special Linear Group)（i=1,2,n）特征：有两种情况：个参量 个参量显然若以C表示复数乘法群（除0以外的复数对乘法所构成）若以R表示实数乘法群（除0以外的实数对乘法所构成）则有：njjijixx1 xx,1det22,2nCji0detIm1detRe:222个约束条件个虚部个实部nn1,2nRji约束条件个实部1det2nRnSLCnSLCnGLRnSLRnGLCnGL,RRnSLRnGLCCnSLCnGL,李群的概要课件ex.GL(2)单位元素：逆元素：乘积元素：矩阵乘积 22212122121111xxxxxx222112111001e0 1 李群的概要课件1.73 么正群U(n)(Unitary Group)(i=1,2,n)or 么正：自动保证det 0 即 么正条件 即约束条件：i.e 当 j=j 时 共n个 (只有实部)当 jj 时 共 个(分虚实两部)故共有约束条件 个 参量数：xxIj jiij iijj iji*niiniixx1212xxxxxxj jnij iij1*0*1nij iijjjnjj;,2,1,21nn2212nnnn2222nnnnjjijixx1I112niij为紧致的)(,12nUij李群的概要课件ex.U(2)得约束条件：共有4个（22）约束条件。
另外，满足条件：的线性变换群记作U(p,g)，显然U(n,0)=U(0,n)=U(n)212212211121xxxxxxxx22221212212111221xxxxxx*21*2221*12112222221221221211xxxx2*122*2112*11xx2221xx011*2221*1211222212221211022*2112*11pigppjjipigppjjixxxx112211220Im0Re*2221*1211*2221*1211李群的概要课件1.74 特殊么正群（么模么正群）SU(n)i.e.参量数=n2-1 由+=I得|det|2=1，即det=eia a为任意实数，而么模条件“det=1”要求a=0这就是一个限制条件，而不是两个，数量参量数为n2-1，而不是n2-2，因为det=1只增加1个限制条件，而不是两个，尽管是复数1det,Ixx CnSLnUnSU,李群的概要课件1.75 正交群O(n)与特殊正交群SO(n)（i=1,2,n）正交条件 即则有约束条件：i,e.当j=j时 （j=1,2,n）共n个 当j j时 （j,j=1,2,n;j j）共 个I ij iijij ijij j1 niinjixxeixxxxxx1212.j jijiij112niij01nij iij21nn个约束条件有对于个约束条件有对于nnnnnRnOnnnnnCnO12121,)1(212,njjijixx1xx李群的概要课件参量数i)O(n,C)有参量 个ii)O(n,R)有参量 个 这样，的变化域分成两det=+1与det=-1两个互不连接的叶，而不能从一个叶连续地变到另一个叶。
O(n)群是不连通的 det=+1的子区域（叶）包含单位矩阵I，它组成O(n)的一个不变子群SO(n)（i.e么模正交群）在物理上，SO(4)群同构于洛伦茨群而且其商群 ，同构于离散的二阶群例如反演群E,而 )1(212222nnnnnn)1(21212nnnnnn1det1det2I nSOnO ,EnSOnO李群的概要课件在这里要注意：么模条条件是从两个连通区选出一个来，它由正交条件自然地引伸出来，并不是额外附加的约束，因此，比起O(n)来，SO(n)的参量数并未减少，这是正交群异于么正群的一点，此外，显然有满足条件 的线性变换群（矩阵群）记作O(p,g),若再加上么模条件，则为SO(p,g)SO(1,3)就是著名的Lorentz群 nOnSLnSO gppjipiipigppjiixxxx121211222423222124232221xxxxxxxx李群的概要课件1.76 率群Sp(2n)Def.1 对于N维线性空间中的矢量 作非退化的（non-degenerate）双线性型：其中度规张量矩阵为斜反对称的：对角线上元素为零则该双线型称为矢量 与 的斜积（show product）记作：（gki=-gik）nxxxxx321nyyyyy321nnnnnnnnyyygggggggggxxxyGx2121222211121121,ikkiikyxgikkiggxyGxyx,y李群的概要课件Def.2 对于N维线性空间中各矢量进行线性变换：若矢量的斜积在变换 下不变：则要求 这样的变换 的全体所构成的群称为率群，记作Sp(N)由于 为斜反对称的，故有 detG=(-1)Ndet G 当N为奇时，detG=0，即G为奇异矩阵。
由此可知仅当N=2n（偶数）时，才能定义SP(2n)xAxyAyA yAGxAyAxAyx,yAGAxyGxyx,GAGAG GGGGNdet1detdetdetA李群的概要课件率坐标基我们可以在这个2n维空间中选取一组适当的基，使得斜积 具有简单的规范形式首先，取一个任意的非零矢量作为第一个基 ，其次，取一个使 的 （这是可能的，因为斜积 为非退化的）并乘上一个适当的常数因子后作为第二个基 ，使得 于是，这两个基满足下列条件：例：二维：ikkiikyxg1e0,1yeyyx,1e1,0,0,111111eeeeee111 ee211122212121122121222112112100gxgxxxxxggxxxxggggxx021121221gxxgxx1221gg而且由于gki=-gik，而且 为线性独立的111ee11,ee李群的概要课件证：假如 不线性独立，则必有则 同理 必定是线性独立的在这2n维空间中，满足条件的矢量 全体构成一个（2n-2）维的子空间，整个2n维空间中任何一个矢量 都可表示为式中 1,ee011 ee1111111,eeeeeee0,0100,111eee0,0,11zezezzexexx1111 1111111111,ezeexeexexexx 11111111111,ezeexeexexexx1,eex李群的概要课件对于上述（2n-2）维子空间，继续进行上述手续，最后可以得到一组率坐标基它们满足条件：空间中任何两个矢量：的斜积就是：),(2121nneeeeeeijjiijjijijieeeeeeee,0,0,nnnnnnnneyeyeyeyeyeyyexexexexexexx2211221122112211ninjjjjjiiieyeyexexyx111,ijijijjijijijijijieeyxeeyxeeyxeeyx,iiiiiyxyx李群的概要课件这样，斜积定义中的度规张量矩阵必须是：nnnIIIG200yGxyx,nnnnnnyyyyIIxxxxxx11212100,nijiiinnnnyxyxyyyyxxxxxx1112121,nnnnyxyxyxyxyxyx22221111使得李群的概要课件例 n=2 根据以上的讨论，一般对于率群的定义为：在2n维复空间中，使矢量的斜积2211221121212121212121210010000110000100yxyxyxyxyyyyxxxxyyyyxxxxnnnnyyyyyyyxxxxxxx,21212121niiiiiyxyxyx1,在变换前后保持不变的线性变换全体所组成的群称为率群，记作SP(2n,C)李群的概要课件这个群的矩阵 具有性质 ，其中 In为n维单位矩阵Sp(2n,R)的参量数目为 个Sp(2n,C)的参量数目为 个Sp(2n)表示么正率群：AnnIAIA22002nnnIII1221221nnnn122122nnnn)2(,22nUCnSpnSp。