主要概念：1． 位势涡度及无粘浅水流体的位势涡度守恒定律位势涡度：在旋转流体中，流体运动时存在着一个保守性或守恒性的较强的组合物理量，称/ ① + 20 «为位势涡度，且定义为( )-vx =兀P位势涡度的引入有两种方法：A.可以从涡度方程出发de 「- VpxVp 「 3涡度方程： —a = e -Vu — e V• u + +Vx —dt a a P P影响涡度变化的因素可概括为：涡管的倾斜效应，涡管的伸缩效应，斜压性以及摩擦作用位势涡度方程：d (巳)-vx =[坐-VO ] + vx - {VpxVp} + vx (Vx 3)dt P P P 3 P P因此，当满足以下三个条件时：1. 3 = 0摩擦可忽略2. X是守恒量，O = 03. x仅是P , p的函数，VX- (VpxVp) = 0，或流体是正压的则有d [(ea) -VX ] = 0 Ertel涡旋定理(位涡守恒定理),位涡是dt Pe(a) - VX =兀P浅水中引入守恒量x =z—hBH则兀=C+ f ) k -V( ) = C+ f)h ph故浅水位涡守恒豊鬻 =0B. 从浅水方程出发，按上述方法推导也可得出浅水位涡守恒2. 地转风和热成风地转风：在大尺度旋转流体运动中，其Rossby数的量级0(8)W10-1，在旋转流体水平运动过程中若略去0(10-1 )以上的量，流体则在科氏力和压强梯度力的作用下达到平衡，此时的 运动即为地转运动 ，此时的风为地转风。
风沿等压线的方向，在北半球高压在右厂 1 L =k x VpPf热成风：地转风随高度的变化或为两个等压面之间地转风的差字 =f V Txkdp pf pdu d0 dv 50又：c0 = — 0， 0 = 0 热成风dz dy dz dx3． Taylor-proudman 定理在均质或正压旋转流体中，流体准定常和缓慢的运动，其速度在沿°的方向上将不改变也就是说，均质或正压旋转流体，准定常和缓慢的运动，其速度将独立于旋转轴的方向, 即运动将趋于两维化4． 地球上流体大尺度运动UU大尺度运动的定义：R = — —10 2 ° L fL物理意义：流体相对运动的时间尺度大于地球自转周期，流体在其运动的时间尺度内几 乎感不到地球的自转也就是说，大尺度大气与海洋运动正是他们相对于地球运动的一 个小偏差—惯性力/科氏力一旋转时间尺度/平流时间尺度一相对涡度/牵连涡度一相对速度/牵 连速度至1Rossby 数反映了各种动力学特征量与其相应旋转作用的比较5． Brunt-Vaisala 频率地球流体是具有层结结构的层结流体由于受扰抬升或下降的流体元在上升或下降时，其密度按一定的规律随高度变化，而四周环境流体的密度是按层结分布随高度变化的。
因此，流体元绝热地位移到新高度的时候，这一流体元本身的密度与环境密度差异将促使其产生振一一 一 (z d0) 2荡运动，又称为浮力振荡，其频率为N三TT-—，称作Brunt-Vasala频率其中，z为I0 dz 丿高度坐标，6是位温Brunt-Vasala频率为流体层结稳定或静力稳定的稳定度判据d0/dz > 0时，层结是稳定的；当d0 dZ < °时，层结是不稳定的对于海洋，流体元在小位移中所受的压缩性影响可以忽略，其表达式可简化为层结流体的准地转位势涡度方程：dt忆0 +时-1aP(P w ) P a zsd大气中天气尺度运动的准地转位涡方程：胖匚0+py+pa ( pIz (se )] = 1 f (P")0 P I z ss在无加热时，准地转涡度方程为：0+py+丄1(匕eP Iz ss0)]=0相应的流函数形式位涡方程：i a P a®+ (―s ) + py ] — 0ax ay ay ax ax2 ay 2 P az s azs［It+雲匚—雲匚］［竺+学海洋中天气尺度的准地转位涡方程：-耳 + ws二田dt1無 +卩y-?(匕)2?(竺)dt 0 Iz s Iz s0+ Py ~Iz (W0 无加热N丄g迥2I P比丿当°P3z v 0时为稳定层结，当°P3z > 0时，为不稳定层结。
6． 均质流体和层结流体(三种情况下)的准地转位势涡度方程虽=(|Ui + |Vi)0 I y Ix I y均质流体的准地转涡度方程：孚=学 + u 事 + vdt It 0 Ixa a® a a® a a i a®at ax ay ay ax az s azcc—— —，f 207． Rossby 变形半径 是一个与波动本身性质无关、只与流体深度和地球旋转有关的特征参数1) Poincare波：在旋转特征周期(2Q)-1这一时间尺度上，波速为c° -暑珂 的浅水重力波传播的特征距离 2) Kelvin 波：在边界处，波振幅取最大值，从边界向内区过渡，振幅呈指数减小振幅3衰减的e-折尺度为R三c=0可将Rossby变形半径理解为个特征距离尺度，在这个距离尺度上，科氏力使自由面变形的趋势与重力（或压强梯度力）使自由面复原的趋势相平 衡d（3）准地转位涡守恒方程：｛匚-Fn +n ｝二odt 0 0 B准地转近似下的无量纲的位涡为：兀=匚-Fn +ng 0 0 BV2n和Fn两项比较看F = （—）2:0 0 RF << 1, n的变化可以忽略,比Rossby半径小的水平尺度运动可视为刚盖运动（自 由面起伏对大尺度运动的高度贡献不大）。
F >> 1，V2n项可忽略，比Rossby半径大的水平尺度运动o（l）量级上的相对涡度是次 要的因此, Rossby 波半径又可解释为这样一个特征距离尺度,在此距离上,相对涡度和表面 高度起伏对位势涡度有同等重要的贡献8． Rossby 数, Ekman 数,雷诺数, Froude 数（旋转/层结）UUR0 — 2QL = ff惯性力/科氏力f旋转时间尺度/平流时间尺度f相对涡度/牵连涡度f相对速度/牵 连速度至1Rossby 数反映了各种动力学特征量与其相应旋转作用的比较Ekman 数：E =fUuU / L u,表示分子粘性力和科氏力之比的无量纲参数垂直 Ekman 数: E=哈2 (Re)yA水平 Ekman 数：E” = 2^h=2s=(RTeH雷诺数:R = U / LeAHA 为垂直湍流粘性系数 H(R )evDU2“ r为垂直涡粘性的雷诺数；（R ） KLveHUL为水平涡粘性的雷诺数KvFroude 数（旋转）：定义n* = N0n，N0 =fULU f 2 L2=s FD , F = f2L2 g fL g gDF是表征运动的水平尺度L相对于Rossby变形半径R的大小的一个参数。
层结：N2D2s = s f 2 L20N D = (g' D)1；f f0 0L D 为内 Rossby 变形半径—卩2ol 6AK 2 + F 6y由此可见振幅为的传播速度： cgxP (k 2 — 12 — F) = 6o __K2 +F 莎cgyPklK 2 + F6oIT ► ►=ci + c j，g gx gydA以速度cg移动的观察者(因为玄=0)所看到的振幅为常数，将此速g 60其中，g'为简化重力(g' = D s )0 6zs*9． 群速度在简化条件卩>> 1下，由线性化准地转位涡守恒方程:6 qO[V2° - F°] + B = 0 和波动的表达式0 = A(x,y,t)cos(kx +ly —ot)6t 6x可以得到精确到最低阶的 Rossby 波频散关系： 以及反映振幅变化的方程：IA—Kk+£ |A6t K ； + F 6x度定义为群速度：c =V o =V (kc) = c + K c = c + K c ( C丰C时为频散波) g k k K k k g10．共振三波组对于非线性准地转位涡 方程(无量纲)：6 6® 6 6® 6 6®(V 2® — F®) + -^― (V 2®) — ^― (V 2®) + P^ = 0 6t 6x 6y 6y 6x 6x卩=p0 U >> 1 o Rossby波的特征周期远远地小于质点运动的平流时间尺度。
~ L ~令t = (p L)-11 = t ( t为新的无量纲时间变量)* 0 Ut = PtP L20—UP>> 1时，~为无量纲快变量，其特征值(P 0L)—1要小些t为无量纲慢变量，其特征值(：)要大些无量纲位涡方程则要求表示为：d(V2申—F 申)+ctCx1「C申 c P Cy Cxc申c Cx Cy(V 2 申)]显然非线性项的量纲为：P-1，是否忽略非线性作用的条件是由P决定 求解方法是利用对小参数(丄)的摄动展开P令申(x,y,~,卩)=申(x, y,~) + 申(x, y,~) + 申(x, y,~) +...0 P 1 P 2 2C Ce得: (P-1)(0)：吞(V2^0-恥"IT二°是一个线性方程kZ-k2 +l2 + Fjj其解可表示为平面波的线性叠加申二工a cos0 ° j j j0 = k x +1 y — cy t + a ， cj j j j j(P -1)(1) : 略(2 5°°-2 5°4)此式说明了第m个波和第n个波相互作用产生了关于e方程的强迫项，此强迫项也是一个 1周期作用，其波矢为：K = K 土 K ；频率w =c ±cmn m n mn m n通过数学处理，可得强迫振荡e的振幅：1a a B(K ,K )A = m_n m n—1mn (K 2 + F)(® -c )mn mn mn明确：c 是e方程的固有频率；① 是强迫项的频率；K 是强迫项的波矢mn mn mnB(k , k )二丄(K - K )Z - (K x K )m n 4 m n n m这意味着在强迫作用下出现了第三种波动，且满足：k + kmn (k + k )2 + (1 +1 )2 + Fm n m nkkW = — m — n mn k 2 + 1 2 + F k 2 + 1 2 + Fm m n n当c与3无限接近时，会出现共振。
mn mn非线性问题的解(精确到1)：e=e+ (p)a o0 P 1 mn0 +0 )二e + a o 0 +0 )m n 0 1 mn m n何时才会发生共振呢？第三个波相-0 +0j m n则要求：k + k + k — 0 , l +1 +1 — 0 , O' (k , l ) + O' (k , l ) + ◎ (k , l ) — 0j m n j m n j j j m m m n n n 即：三个波矢之和为零k k k第三个条件可写为： m + n + j — 0k 2+l 2+F k 2+l 2+F k 2+l 2+Fm m n n j j我们称满足上述条件的波矢构成共振三波组11. f平面近似，卩平面近似f平面近似：运动的经向水平尺度远小于地球半径时,L « 1，取f - f，把f作为常数处 a0理，称为 f 平面近似P平面近似：f — f +0 y*,考虑了由于地球的球面性引起的f变化的线性部分，f的变化 00对 f 而言是个小量，但与相对涡度比较已不能忽略012.球面0效应与地形0效应等价性（P81）在0—平面模式中，浅水位涡为：其中，G y* + f h* /D）为环境位涡的变化部分。
可见，科氏参数随纬度的变化4 y*）与0 0 B 0地形的变化f h* /D）在位涡动力学中具有精确的动力学等价性球面0效应与地形0效应 0B动力学等价性相当于00 - U卩13 . Rossby 驻波加上纬向流扰动后，流函数为：9--Uy + e（x,y,t）,代入准地转无界波动的位涡方程，得：[+ U— ][V2^-砂]+ [0 + FU] + J,V2^-砂）—0Qt Qx Qx取解的形式为：0= Acos（kx + ly -°t）（无界平面波）该解要成为方程的精确非零解应满足频散关系：k B + FU 入 Bc = (UK2 — B) T c = U - B ，当U 二丄 tq 二 0K2+F x K2+F K2从此频散关系我们可以看出：(1) 若B> 0当U = 1西风基本流时若K2 > B , c >0较快波向东传播；若K2
14．旋转减弱时间DT ==旋转流体受扰动后，如去掉产生扰动的外力，则流体运动要调整到地转平衡2 KV延伸到下垫面附近的流体因受到摩擦力的作用在其附近形成Ekman层，能联将从摩擦不起作 用的区域流入Ekman层被摩擦消耗掉，流体运动在下垫面摩擦的作用下减弱，最终达到一种静止状态，称为“旋转减弱”，把摩擦引起的涡度随时间的衰减的时间尺度称为“旋转减弱 时间”旋转衰减的机制(1) 从相对涡度方面考虑：当正涡度存在时，下Ekman层将把流体向上抽吸到低压内，上 Ekman层则向下抽吸，二者联合效应使涡管以-冗的速度被压缩相对涡度随时间减小0反之亦然2) 从能量角度：Ekman抽吸作用，使内区低压中心的流体向外流动，必定克服压强梯度力故的功，消耗能量，此能量的消耗率为：W = P三刃转化为Ekman层的动 能，又进而转化为湍流动能15． Sverdrup 关系dwSverdrup关系：Bv二f 通过行星涡度f拉伸和在行星涡度梯度B方向的经向运动构成oz的涡度平衡，为对混合层下的流体元才有效的局地微分平衡关系Sverdrup平衡：v° = k - curh，由海表的风应力旋度确定流体的经向速度，适用于内区。
16. Munk layer， Stommel layer摩擦附属层，惯性边界层17．Ekman 上升流（1） 风吹过海洋产生Ekman漂流，漂流与风之间有一夹角根据一个简单的理论知此夹 角为90北半球向右）因此当风沿岸界吹的时候，产生的Ekman漂流方向不是向 岸，便是离岸，岸界作为障碍存在北（南）半球岸界在左（右）侧时，沿岸吹的风 产生离岸流此时上层水减少，压力降低，强迫低层的水向上移动以补充离岸流造成 的空缺这种现象称为沿岸上升流2） 沿赤道的上升流，沿赤道，稳定的信风总是从东向西吹在赤道以北， Ekman 漂流 向右，或者说离开赤道；而在南侧，它偏向左，也是离开赤道沿赤道必然发生水平 辐散，质量守恒要求上升流 3） 气旋中心会出现 Ekman 上升流4） 在高纬，上升运动通常发生在冰边缘，称之为冰区边缘带均匀风在冰面和开阔水域 上有不同的应力作用；紧接着移动的冰对其下的海洋有应力作用对风与冰边缘之间 特定的角度，流辐散，发生上升流以补偿水平流辐散方法（掌握）1. 尺度分析法 合理的估计出一个函数，一个物理作用在问题中量级的大小，根据每个作用的相对大 小将一些小项略去，保留重要性较大的项。
这样可以使主要因子筛选出来，使复杂的问题得 到简化2. 小扰动线性化法3. 摄动法4. 平面波求解方法5. 边界层中坐标变换方法6. Rossby 波能量传播图作图法（通过波矢量来表示群速度的一种几何方法）Bk原理：k 2 +12 + F - = 0B B 2若：k > 0 （正数）b< 0 , [k — ： ]2 +12 = - F-2c 4c 2对于某一频率c，波矢必须位于k-l平面的一个圆上，其圆心坐标是（B ,0），半径是 - 2cB 2（ -F ）12 04c 2当B ,F一定时，圆心位置与半径完全由频率决定平均能通量矢量的方向可以用OW的方向来表示而对于振幅和频率都相同的Rossby波，能通量也相同波矢端落在APB上的波向右传播能量（波数大，短波）波矢端落在AOB上的波向左传播能量（波数小，长波）（P122）利用能量传播图表示九，反射平面波的关系的步骤：<1>根据已知x-y平面上入射波的能量方向< $ >和9角在k-l图上确定w点i i i<2>连接原点和w点确定入射波对应的波矢量kii<3>根据入射角=反射角，在k-l图上确定owr<4>连接原点与W得到反射波波矢量和平均能通量< $ > ri<5>将k和< $ >平行地绘制x-y平面图上，同时绘出C和相平面（等相位线），等位相线 r r r之间间距与k呈反比。
主要内容：1．浅水方程的导出（尺度分析法）步骤：1 ） 确定基本量： T， L， U， D, 、， du dv dw 一 亠，2） 利用质量寸恒方程：〒+〒+ = 0，进行尺度分析，dx dy dzD得到垂直速度尺度应受到的约束条件：W < o（--U）L故W < o（6 U），事实上W 远小于o（6 U）3） 估计动量方程各项以简化动量方程其 P 是可变压力场尺度，为了保持水平压力梯度项在动量方程中的作用，根据尺度分析，应有：max4) 根据对垂直速度变化方程的尺度分析，［专,罕］P= 故:PD 故*0申)=粕T L maxPDmaxmaxTL讨论：若R = U沁0(1)或更大，上式右边量级为5 2fL若R < 1，上式右边量级为5 2r故精确到0(6 2)量级时，大尺度大气海洋运动中很小可忽略不计由于垂直运动方程中不可能只有一个大项，故dWWdt dt和<■都可忽略不计dz故总压力：dp 二—pg + o(5 2)，若 z=h, P=Podz o,dP dh dP dhP = Pg(h — z) + P T = Pg , = Pg ， h为自由表面的咼度0 dx dx dy dy得到水平压力梯度不随z变化。
水平运动方程可简化为浅水方程:du dv dw 小+ + = 0 dx dy dzdu du du dh+ u + v — fv = — g dt dx dy dxdv dv dv dhdt dx dy dy利用上下边界条件，并对连续方程进行垂直积分，则可将连续方程写成：dh d d石+dx{(h - hB)u}+dy{(h - hB)v}=0这就是大气海洋中浅水运动的动力学方程组2．浅水中的平面波及频散特性和传播特性(小扰动线性化法)d d2基本方程：〒［(+ /2—v • d)］ — gfj(h，耳)=0 dt dt2 0 0平面波：n = Ren ei(kx+ly -Ct)00(一)Poincare波：无水平边界，H = const0d d 2描述方程简化为：寸[( + f2)n-v-(c2vn)] = 0 (齐次方程)Ct dt2 0取其解的形式为：n = Ren e i（kx+ly-Ct）00 将解代入描述方程求其频散关系（重点）可得出，C = +{f2 + c2K2}12， f = 0 时，C =±c K，c = ±c0 0 0可以得到以下结论：（讨论）1） 无限平面等深波是二列方向相反，频率大小相同的波动。
2） 旋转（地转）使波速增大频率大于f,周期小于地转周期即频率大大地超 过大尺度大气海洋缓慢地运动频率C3) (—)2 = 1 + R 2 K 2（其中R为Rossby变形半径=q/f）短波RK >> 1，浅水重力波,长波RK << 1， c q f,惯性振荡4） 质点运动的 水平速度矢量的矢端随时间描绘出椭圆的轨迹C 2 n 2U 2 + U 2 = c 2 0—” 丄 f 2 H 20C因为f > 1，故平行K方向的最大速度大于垂直于方向的最大速度流体的运动处于非地转平衡状态主要发生在沿着压力梯度Vn的方向vn =n oV05） 位涡守恒线性化形式为n)=波峰处产生正的相对涡度，波谷处产生负的相对涡度，自由面时升时降二）Kelvin波：无限长渠道，Ho = constC C2描述方程为：訂(齐+ f2)n-V・(c2 Vn)] = 0边界条件：受边界条件影响，其解应取为：求其频散关系(将解分别代入描述方程和边界条件，由描述方程得出关于振幅通解，再代入到边界条件中，使其有非零解的充要条件即是频散关系)：(g 2 — f 2)Q 2 — k 2 c 2)sin aL = 0分三种情况讨论上式：(1) sinaL = 0 , a = “兀 / L, n=l,2…G 2 — f 2 , n 2 兀 2有.a2 = — k2 =c 2 L20此波特点是类似于无限平面等深浅水中的平面波，亦是向正，反两个方向传播的，不同之处兀在于y方向的波数只是—的整数倍，不可能任意取值，称为Poincare波。
L(2) G=±ck时特征方程也被满足，此解为一个与旋转参数f无关沿着x方向传播的 0kelvin 波a2G2—f2f2c20c2求解为：h=ue"cocos(k(x-co°+e)u = ae—“c°cos(k(x — c t) + 0) H00v=0特点：1) 在波动传播的x方向满足地转平衡，整个波动是非地转的2) y方向上只有波动振幅的变化且随y的变化呈指数衰减，在y方向上存在一个与波动场无关的特征尺度R = —0 (Rossby 变形半径)，也是 e-folding scale for the cross - channel波高在观测者的右方最高3) 波动沿正负x方向传播，波峰线与y轴平行4， kelvin 波只能在有界域内出现5) kelvin 波是 Poincare 波的极限形式3) g =± f惯性振荡，为(2)中的一种，此时已不能根据n的表达式来得到u，v的解三)Rossby波：f-平面的渠道模式，H = D (1 — Sy)，s << 1为地形坡度 0 0 ld d 2 描述方程：h[( + f 2)n — V(c2V^)] — gfJ(H，耳)=0& dt 2 0 0边界条件：y = 0， L设其解：耳二Re叮（y）ei（心），与Kelvin波相同。
欲使耳有非零解（欲使A，B不同时为零）则必有：［Q 2 -f 2) -k2c2 + f C0 ]sinaL = 00 G 2即［（G2 - f 2）Q2 -k2c2）sinaL = 0 （与平底的有界域波动频散关系的形式一样，但«的值不同） 讨论：( 1 )G = ±c k Kelvin 波0说明：有界是Kelvin波的存在条件，”小”的地形坡度并不影响其存在 2)sinaL 0 时，a = l，n — L2.3...，略去的o( /L^)项，故有:fksc 2 n 2兀 2 f 2三次代数方程）G 2 - 亠-c2（k2 + + ）二 0 GL 0 L2 C 20 此方程有两类完全不同的解第一类若f < 1快波Gn 2兀2则：G2 = f 2 +呻k2 + L2 ），高频的Poincare波基本上不受底边界小坡度的影响第二类 若G二o（s）慢波（G 2可忽略不计）―――地形 Rossby 波的频率公式，此波是G = -(f) s k——rL , n 2k 2 1k 2 + + ——L2 R 2频散波波动特性：（1）只有 f， s 均不为零时才存在地形 Rossby 波，即 Rossby 波是地形坡度与旋转两种因素 联合作用的产物，因此地转与地形坡度同时存在，才会产生Rossby波。
G fs n 2k 2 f（2） c = =- /（k2 + + ）单向传播x k L L2 c 20对于北半球f > 0，对于所有的k,位相传播的方向是使的一个跟随波峰一起前进的观测者看到浅流体在它的右方对于南半球则相反3) G =max2L(n 2k 2 +c20< f，故小坡度地形Rossby波是低频波4）高波数地形 Rossby 波与 Poincare 波以及 Kelvin 波相反，频率随波数增加而减小 注：通道中的 Poincare 波， Kelvin 波和 Rossby 波的频散关系图 P68 3．浅水准地转位涡方程的推导，各项的物理意义（尺度分析，摄动法）借助尺度分析的方法从浅水方程出发，研究满足（l） £= U « 1，小Rossby数，（2）=fT << 1，时间尺度远大于f的运动H = H (x,y) +n = D +n- h = D(1 + 竹耳一hB) = D(1 + 旳一伫)0 B D D D从浅水方程出发，实行无量纲化，引入特征量：fULgU f 2 L2F二竺 gD(R)2方程可写作:du , du Qu、 亦£ +£ (u + v ) - v =--T dt dx dy dxdv , dv dv、 dq£ + £ (u + v ) + u = 一 -T dt dx dy dy£ F 巴+ £F(u 殂 + v殂)-u© (仅)-v©(仅)+ ｛1 + £Fq-仅｝｛竺 + 竺｝ = 0T dt dx dy dx D dy D D dx dy令£ = £T， £ 是一个小量，将未知变量对£ 展开。
设 u(x, y, t, £) = u (x, y, t) + £u (x, y, t) + £ 2u (x, y, t) +—0 1 2（式中u ,u ,u…等与£无关）012其他未知量也做类似展开，代入方程关于£ 的同次幂项须分别平衡，对于两个运动方程dq dq对于£ 0 : v = 4, u = — 0o dx 0 dy无法确定各未知量，地转退化du du du dq对于 £ 1 : O + (u O + v o) — v = — 1dt 0 dx 0 dy 1 dxdv+ v0+u1dqF{% + u 竺0 + v 竺} - u 竺B - v 竺 + （乞 + 巴）=0 dt 0 dx 0 dy 0 dx 0 dy dx dy此式说明：（1） 非地转速度u , v完全由于处于地转平衡的运动u和v的加速度及压力场与地转平1 1 0 0 衡时的压力场偏差产生的2） 非地转运动的水平散度不为零，由于（A）地转运动自由面的起伏（B）底边界起伏所 造成的流体柱伸缩来平衡该散度一级近似方程整理后：垄0 =£ + u互+ v生=（勢+竹），其中匚dt dt 0 dx 0 dy dx dy 0dv0dxdu物理意义是：相对速度的变率等于非地转运动的辐合，其量级为O（£ ）在& '近似条件下，由于匚<< f，故低阶近似中只有行星涡的挤压才有相对涡度的变化。
du dv d消去 i + i得到：丁忆—Fn +n ｝二0dx dy dt 0 0 Bd dn d dn d既：[+ 0 — 0 ][V2n —Fn +n ] =0为准地转位涡守恒方程dt dx dy dy dx 0 0 B地转位涡（兀二：—Fn +n ）由相对涡度匚、波高n和环境位涡三部分组成波高 g 0 0 B 0 0 B的贡献取决于参数 F 的大小4．惯性边界流的动力学特点根据准地转位涡方程讨论，若&T& << 1，局地变率远小于平均项：d® d d® d[-7®——^®—]（V2® — F®+n）= 0 dx dy dy dx BJ（®,兀）=0,等o线与等兀 线相重合gg物理意义：相对涡度与环境涡度之和沿流线是守恒的，涡管的伸缩不会因自由面的变化 而是因底边界坡度的变化而变化引入函数：k（®）= v2®+n =v2n +n，一旦k（®）确定，n即可解出解椭圆B 0 B 0方程）若在均匀流的前方置一侧壁（x=0）, H = DQ-sf），0L二 £ y 二5( U)y 二卩y，其中卩二 s故有 V 2P + Py 二 K(p)由于无穷远处是均匀定常流故V2p = 0, K(p ) = py ,oo 00而 p = y - y , K (p ) = Bp + By ,所以函数 K (p)二卩 p+Py =V 2P + Py0 00为了将非齐次方程V 2p-卩申=-卩(y - y )变为齐次方程，若令：0p = (y - y )+p(x, y)，则 V2p - Pp = 0。
0. 36e 的边界条件：x T g,6 T 0 ； x = 0, = —1(u = 0)3y故解的形式可能形如6 = (y — y )X(x)0代入方程后得到：p = (y — y )(1 — e」Px) ---惯性边界流函数0—U =竽=(1 — e— Px)，v 二孚= P (y — y )e一 &)3y 3x 、 0讨论此解：(1)P 很小时运动几乎是无旋的此结论可由p = y(1 — e-)二 y[1 — 1 + JBx + …]二 P -r2xy 得出(此时 y二 0)(2)若 P 较大运动是有旋的3v 3u p = (y — y )(1 — e— px) ； v = yp 12e—心；匚=一 —一 =—Pye一邙x ； f vdx = y 0 3x 3y0A. 涡度随离侧边界距离的x的增大而呈指数性衰减，随y的变化(地形的变化)而线性增 大，底地形的坡度越陡，变化的越快B. P 值越大，流体沿等深线运动的主导作用越大，流体元(即流体的的运动越是沿等深线 的)偏转的位置距边界越近，边界层厚度越薄C. 南北流速V随y，P的增大而增大，单位厚度由南北但总的输送量为y此仅与地形有关。
D. 在靠近侧边界的狭窄区域里，流体改变运动方向被引入沿侧壁运动的路径这个区域为 惯性(无粘)边界层，此厚度为P— 12这是因为x >0- 12后，侧边界对流的修正作用 就减小到e -1以下此层厚度：§ = Lp -；2 = { *-f （）/D*E. 在边界流区域内，尽管流速U可能很大但是只要S为小量，£仍为小量局地 Rossby 数：£ = U* / f ” =卩-fLe一"'加=（sy）e-''加* * fL若其他条件不变，S变号，深度随y的增大而减小的情况下，则不存在惯性边界流，而是产 生一个定常的驻波，它在无穷远处对运动有反作用，波长与P有关从 § 二{- *-f （——} \中也可得惯性边界流存在的条件是:）/D*dHody < ° （若u，f皆为正）5. Rossby 波机制能量传播及边界反射的特性6. Ekman 层的动力特性「 \2K~（1） Ekman厚度（§ p—^v ）为§与U无关（与大尺度运动无关），仅由f及K决e Y f e V定（注意实际上K与大尺度运动有关）当表示地球旋转效应的f趋于零时，Ekman V层的厚度趋于无穷Ekman层是旋转与粘性共同作用下流体运动的一个特殊的层。
2） 水平速度的垂直切变造成行星涡旋倾斜引起涡度的变化，将与摩擦阻滞作用产生的涡 度相平衡（摩擦作用产生的涡度势必引起水平速度的垂直切变）3） 摩擦作用破坏了地转平衡，压强梯度力对流体作功以维持消耗的动能，动\ K f能消耗率为：W - P U2 {㊁ （参考余志豪等p153）为维持边界条件不变，必须向大尺度运动提供能量4） 在无外界能源供给的条件下，地转流将衰竭，其时间尺度为K PU 2D D= = 为旋转减弱时间w 2W （2K f）'EV（5） 地面速度为地转速度左方45 °6）刚体表面施加于流体的总应力：巴=--^U（i + j）§E且总的质量通量M = I \udz +1 L~dz =§ U （-i + j）E ° ° e 2总的质量通量M =^4k依赖于云，这是由于边界层作为一个整体，它只受气压梯度力， E pf科氏力和下边界摩擦力这三个外力，而在大尺度为地转运动的前提下，压强梯度力恰于地转速度所对应的科氏力相平衡，因此地转偏差所造成的质量输送仅与外摩擦力方有关，且E垂直于方在方的右边这种地转偏差所对应的科氏力在M的右边与T相平衡E7． 有摩擦准地转动力学（内区，上，下边界层区）8． 自由面上的 Ekman 层9． 摩擦和地形对准地转位涡守恒的影响10．均质大洋环流模式的推导及各项的物理意义 将大洋分为三层（上表层为薄的 Ekman 层，中间为特征深度为 D 的内区，海底为倾斜底 表面上的薄 Ekman 层），此模式的数学表达式为：（根据第三章结论）：d (C+ f) = % + Ah V 2匚(4.1)其中 f = 20 sin0 ， P0df 20 cos 0-5相应下边界：w*（x，y,hB） = u W +孑匚(4.2)- - r上边界：w (x, y, D) = V - M = k • curl -* E pf(4.3)其中为T外应力。
因为内区均质，且满足地转关系，u, v, Z与z无关故对方程（4.1）垂直积分，并利用上,下边界条件（D - h ）｛d + vP - A V2匚｝ = k • cu 5eB dt 0 H 2（4.4）就是均质大洋环流的数学表达式（有量纲） 1） 尺度分析，无量纲化：4.4)(X, y) = L(x', y')，(u,v) = U(u',v')，C = U: ',t =LLUt''f =f0+Py= f0(1+y')，=ctg0 •—〜o(L) < o(1)引入：5/2 D = EV2h=—BD£r = e-2D£得到无量纲模式方程：4.7)相对涡度个别变化是由（1）外应力旋度；（ 2）底 Ekman 的抽吸；（ 3） 侧边界效应对涡度的扩散；（ 5）牵连涡度的转换，五个因素决定，每项此式的物理意义是： 底地形的影响；（4） 大小由无量纲量的特征值大小相比 在方程中，相对涡度项在一般情况下为小项外应力旋度与牵连涡度二者平衡意味着T L PL T07 = P = 0 ，U = 0 这个尺度也是风生环流的速度尺度pDU2 U pDP L0根据对 U 的 尺度的确定，方程（4.5）可进一步简化为：1 垄+ v 二 curlT — u -Vn / P—穆匚 + 時 P dt B P P Re若运动是严格地转的：4.10)害{譽4-[V29+n ]—?[V29+n ]} + 譽二curlT—PV2Q+罟 P dx dy B dy dx B dx p p Re方程（4.10）反映了风应力作用下定常运动所应满足的约束。
11.层结流体中的Rossby波及其标准模态在层结流体中从准地转位涡方程出发，推导Rossby波研究对象：无界流体，波动尺度上S为常数（N 2为常数）1 4pH -1 = s = const， H为密度标咼p 4zs4 49 4 49 4 4 29 49 4 29 4 29 49位涡方程为：牙+ — ][s-1 —(sH)-1 + + ]+P =04t 4x 4y 4y 4x 4z 2 4z 4x2 4y2 4x设平面波解形式：9 = Aez2h cos(kx + ly + mz —ct)则层结流体中Rossby波的频散关系为：cPkk 2 +12 + s —i(m 2 + 打 H 2)若波的垂直尺度远小于 D，Bkk2 +l2 + s—1m2m 2 L二 m2（ ）2s LD所以涡度方程：L2（Tvm^，为水平尺度与Rossby半径之比D0 + Py)=4 4w w 4p 4w(p w ) = 1 + 1 s 沁 1p 4z s 1 4z p 4z 4zss■sd m 2则：d0 （匚0 - s叶卩y）= 0 （精确到忽略H 一1）这与绝热情况下浅水运动涡度方程务（匚0+旳）二0本质相同。
M=0说明波的位相与z无关, 波是正压的，垂直速度w也为零，波动不干扰平衡的密度面，流体元的运动在水平面上 分析其频散关系及群速度可得，除了在垂直方向有波动和能量传播外，浅水均质流体中 的 Rossby 波一切结论都使用于层结流体Rossby 波的标准模态：垂直结构方程d rd20 d20 1 Q 4 郎考虑线性化位涡方程：吞［W+*+raz（QtQzQ20QtQz垂直上边界：z = zT = |1?大气 t a大气z = 0下边界条件（忽略地形，加热，底摩擦）z 二 1令位涡方程有形如0二Reei（kx+iy-0）0（z）（垂直结构函数）的解,1 d p d① 、壬 f Bk ,、则： s ——九①（其中九=—{ + k2 +12}）p dz s dz 0s（ 1）对于海洋上，下边界条件九-0对应正压流场，九北0时，若s, p都视为常数①二C0S［（九S） S z］是满足上，下边界 s条件的解，其中：n 2 兀 2 Bk九—九— ,n — 1,2,…对于每一个n,对应有0 — — （ z e ［0,1］），n较n S n k 2 + 12 + 九nf 212ghn，其大解在 z 方向上“摆动”较厉害。
所以较高模态有利于能量向西传播，但传播的速度较慢，由于历史上的原邸n中h为相当深度，因此层结流体第n个Rossby模态的传播性质完全由深度为相当深度hnnN 2D2 h的均质流体层中的Rossby波给出：h — —n n gn 2兀 2（2）对于大气由于上边界特殊性，不易求解。