初中数学竞赛专题选讲基本对称式一、内容提要1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质. 形如x+y和xy是两个变量x, y的基本对称式.2. 含两个变量的所有对称式，都可以用相同变量的基本对称式来表示.例如x2+y2, x3+y3, (2x－5)(2y－5), －， ……都是含两个变量的对称式，它们都可以用相同变量x,y的基本对称式来表示：x2+y2＝（x+y）2－2xy， x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)，(2x－5)(2y－5)＝4xy－10(x+y)+25, －=－, ==.3. 设x+y=m, xy=n.则x2+y2＝（x+y）2－2xy＝m2－2n；x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)=m3－3mn；x4+y4＝（x2+y2）2－2x2y2＝m4－4m2n+2n2；x5+y5＝（x2+y2）(x3+y3)－x2y2(x+y)=m5－5m3n+5mn2； ………一般地，xn+yn (n为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式：xk+1+yk+1=( xk+yk)(x+y)－xy(xk－1+yk－1) (k 为正整数).4. 含x, y的对称式，x+y, xy这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式.二、例题例1. 已知x=(+1), y= 求下列代数式的值： ①x3+x2y+xy2+y3 ； ②x2 (2y+3)+y2(2x+3).解：∵含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示. ∴先求出 x+y=, xy=.① x3+x2y+xy2+y3 ＝（x+y）3－2xy(x+y)=()3－2×=2； ② x2 (2y+3)+y2(2x+3)＝2x2y+3x2+2xy2+3y2=3(x2+y2)+2xy(x+y)=3［（x+y）2－2xy］+2xy(x+y)=3［（）2×＝－6.例2. 解方程组分析：可由 x3+y3, x+y 求出xy，再由基本对称式，求两个变量x和y.解：∵x3+y3,＝（x+y）3－3xy(x+y) ③把①和②代入③，得35＝53－15xy.∴xy=6.解方程组 得 或.例3. 化简 ＋.解：设＝x, =y. 那么 x3+y3=40, xy==2. ∵x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)， ∴ 40＝（x+y）3－6（x＋y）.设x+y=u, 得 u3－6u－40=0 . (u－4)(u2+4u+10)=0. ∵u2+4u+10=0 没有实数根， ∴u－4＝0, u＝4 . ∴x+y=4. 即 ＋＝4.例4. a取什么值时，方程x2－ax+a－2=0 的两根差的绝对值最小？其最小值是什么？解：设方程两根为x1, x2 . 根据韦达定理， 得 ∵＝＝＝，∴当a=2时， 有最小值是2.三、练习1. 已知 x－y=a, xy=b. 则x2+y2=______ ； x3－y3=______.2. 若x+y=1, x2+y2=2. 则 x3+y3=_______； x5+y5=______.3. 如果 x+y=－2k, xy=4, . 则 k=_____.4. 已知x+=4, 那么x－=____ ， =＿＿＿.5. 若.＝a, 那么x+=______, =＿＿＿.6. 已知：a=, b=.求： ①7a2+11ab+7b2 ； ②a3+b3－a2－b2－3ab+1.7. 已知＝8，则＝＿＿＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）8. 已知 a2+a－1=0 则a3－=＿＿＿＿＿.(1987年泉州市初二数学双基赛)9. 已知一元二次方程的两个根的平方和等于5，两根积是2，则这个方程可写成为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛）10. 化简： ①； ②.练习题参考答案1. a2+2b, a3+3ab 2. 2.5, 4.75 3. ±4. 2或－2， 14， 52 5. a2－2, a4－4a2+26. 109,36 7. 62 8. –49. x2 ±3x＋2＝0 10. ①1， ②2。