奥数资料一元一次方程【内容综述】 一元一次方程是最简单的方程，它是进一步学习方程、不等式和函数的基础，许多方程都是通过变形后转化为一元一次方程来解的本期主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧 只含有一个未知数（又称为一元），且其次数是1的方程叫做一元一次方程，任何一个一元一次方程总可以化为的形式，这是一元一次方程的标准形式（最简形式） 解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项，化为最简形式；（5）方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解要点讲解】 §1 含参量的一元一次方程 含有参变量的方程在求解时往往需分类讨论，关于的方程 因为未注明，所以它的解有下面三种情况： （1）当时，方程有唯一解； （2）当时，方程的解为任意数； （3）当，时，方程无解 ★例1 解关于χ的方程 思路 这是含参量的一元一次方程，需分类讨论 解： 把原方程变形为 即 当，即且时，方程有唯一解； 当且，即且时，方程无解； 当且，即时，方程的解为任意数 ★★例2 若a，b，c是正数，解方程解法一：原方程两边乘以abc，得到方程 , 移项合并同类项得 即 由，，知 , 即。
解法2：对原方程左端的每一项减去1，得 即 ∵由，，知 ∴ ∴ 说明 通过细心观察方程的自身特点，巧妙地分析为3个，为3个，使原方程易于求解 ★★例3 k为何正数时，方程的解是正数？ 思路 当方程有唯一解时，此解的正负可由a，b的取值确定： （1）若b=0时，方程的解是零；反之，若方程的解是零，b=0成立 （2）若时，则方程的解是正数；反之，若方程的解是正数，则成立 （3）若时，则方程的解是负数；反之，若方程的解是负数，则成立 解：按未知数χ整理方程得 要使方程的解为正数，需要 不等式的左端 因为，所以只要或时上式大于零，所以当或时，原方程的解是正数，因此或，即为所求§2 含有绝对值符号的一次方程 解含有绝对值符号的一次方程时，可利用绝对值的定义脱去绝对值符号，转化为普通的一元一次方程其关键是需分情况脱去绝对值符号 ★★★例4 若关于χ的方程无解，只有一个解，有两个解，则m，n，k的大小关系是（ ） （A）； （B）； （C）； （D）； 思路 对于方程， 当时，此时方程无解； 当时，此时方程的解为； 当时，此时方程的解为或。
解：无解，则 有一个解，则 有两个解，则 所以，成立，选择（A） 例5 解关于χ的方程 （1）； （2） 思路 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零点分段法”，即令 ，，分别得到χ=-2，χ=3，用-2，3将数轴分成三段：χ≥3，-2＜χ＜3，χ≤-2然后在每一段上去掉绝对值符号再求解 解：（1）当χ≤-2时，原方程化为 解得χ=-2； 当-2＜χ＜3时，原方程化为 即5=5，所以-2＜χ＜3是原方程的解 当χ≥3时，原方程化为 解得χ=3 综合以上得，原方程的解为-2≤χ≤3 （2）当χ＜2时，原方程化为 即 由知，若a>1时，解为； 当2≤χ≤3时，原方程化为 即若a=1时，解为2≤χ≤3； 当a>3时，原方程化为 即 由知，若a>1时，解为 综合以上得；当a>1时，解为；当a=1时，解为2≤χ≤3；当a<1时，无解 说明 由绝对值符号内代数式值为零解出分类“零点”；在每种情况下求得的解必须在分类条件内；对含字母的方程需要进行讨论★★★★例6 求关于χ的方程 的所有解的和。
思路 此方程有两层绝对值符号，先由，利用绝对值的定义，去掉外层的绝对值符号，使得方程转化为只含有一个绝对值符号的方程，然后再去掉里层的绝对值符号求解 解：由原方程得 即 ∴，，，， 故§3 含有高斯函数符号的一次方程 高斯函数表示不超过的最大整数，如，，，解含高斯符号的方程的基本方法是，利用定义脱去方括号符号，转化为普通一元一次方程求解 ★★★★例7 求方程的所有根的和 解：设（t为整数 则, 因为 即, t=-2, -3 对应的为,从而原方程所有根的和★★★★★例8 设n是自然数，表示不超过的最大整数，解方程 思路 因，由是n自然数，知n与n+1中必为一奇一偶，所以是整数因是整数，2，3，4，5，…，n都是整数，所以由= 解：原方程变形为 合并同类项得 即 思维训练题A级 ★1．若方程与方程是同解方程，则的值为（ ） （A）4； （B）-4； （C）8； （D）-8 ★★2．方程的解是（ ） （A）1996； （B）1997； （C）1998； （D）1999。
★★★3．是关于χ的一元一次方程，且χ有惟一解，则 χ=______________ ★★★4．如果表示不超过χ的最大整数，那么方程的解χ=____________ ★★★5．已知方程，当取何值时，方程无解？当取何值时，方程有无穷多个解？当取3时，方程的解是多少？若方程的解是-2，那么的值是多大？B级 ★★★6．已知方程有一个负根而且没有正根，那么的a取值范围是__________ ★★★7．如果关于χ的方程有无穷多个解，那么参数a的值满足条件__________ ★★★★8．若a>0, b<0，则方程的解是什么？ 9．若abc=1，解方程参考答案:A级 1．（D）； 2．（D），提示：利用拆项求和法将原方程化简为 3．1.5，提示：由题意得3a+2b=0，且a≠0 4．-2，提示：方程变形为，显然χ只能是整数，且χ<0 5．当时，方程无解；当时，方程有无穷多个解；当=3时，χ=2；当χ=-2时，=1B级 6．a≥1，提示：由方程有负根，有，从而，故；若方程有正根，则χ=χ+1，即，解出<1，从而方程没有正根应≥1 7．a=±4，提示：分χ≤-1,-1<χ<3, χ≥3，三种情况来讨论。
8．当χ≥a时，原方程化为，解得χ=当b<χ<时，原方程化为，此式恒成立当χ≤b时，原方程化为，解得χ=b，综上原方程的解是b≤χ≤a9． ∴原方程的解为χ=1999。