第10讲 导数的概念及运算板块一 知识梳理·自主学习 [必备知识]考点1 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数1．定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′| x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .2．几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．考点2 基本初等函数的导数公式考点3 导数的运算法则 若y＝f(x)，y＝g(x)的导数存在，则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．[必会结论]1．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同．2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( )(2)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．( )(3)′＝cos.( )(4)若(ln x)′＝，则′＝ln x．( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2．[课本改编]f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于( )A. B. C. D.答案 D解析 因为f′(x)＝3ax2＋6x，所以f′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝.故选D.3．[2018·九江模拟]已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为( )A．3 B．2 C．1 D.答案 B解析 因为y＝－3ln x，所以y′＝－.再由导数的几何意义，令－＝－，解得x＝2或x＝－3(舍去)．故选B.4．[课本改编]若曲线y＝ex＋ax＋b在点(0,2)处的切线l与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a＋b＝( )A．3 B．－1 C．1 D．－3答案 A解析 因为直线x＋3y＋1＝0的斜率为－，所以切线l的斜率为3，即y′|x＝0＝e0＋a＝1＋a＝3，所以a＝2；又曲线过点(0,2)，所以e0＋b＝2，解得b＝1.故选A.5．[2018·秦皇岛模拟]函数f(x)＝exln x在点(1，f(1))处的切线方程是( )A．y＝2e(x－1) B．y＝ex－1C．y＝e(x－1) D．y＝x－e答案 C解析 f(1)＝0，∵f′(x)＝ex，∴f′(1)＝e，∴切线方程是y＝e(x－1)．故选C.6．[2018·烟台诊断]已知曲线y＝asinx＋cosx在x＝0处的切线方程为x－y＋1＝0，则实数a的值为________．答案 1解析 因为y′＝acosx－sinx，y′|x＝0＝a，根据题意知a＝1.板块二 典例探究·考向突破考向 导数的基本运算例 1 求下列函数的导数：(1)y＝； (2)y＝x；(3)y＝x－sincos； (4)y＝ln x＋.解 (1)y′＝′＝＝－.(2)因为y＝x3＋＋1，所以y′＝3x2－.(3)因为y＝x－sinx，所以y′＝1－cosx.(4)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.触类旁通导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．【变式训练】 已知函数f(x)在x＝1处的导数为－，则f(x)的解析式可能为( )A．f(x)＝x2－ln xB．f(x)＝xexC．f(x)＝(3x2－4x)(2x＋1)D．f(x)＝＋答案 D解析 A中f′(x)＝′＝x－，B中f′(x)＝(xex)′＝ex＋xex，C中f(x)＝6x3－5x2－4x，所以f′(x)＝18x2－10x－4，D中f′(x)＝′＝－＋.分别将x＝1代入检验，知D符合．考向 导数几何意义的应用 命题角度1 求切线的方程例 2 [2017·全国卷Ⅰ]曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________．答案 x－y＋1＝0解析 ∵y′＝2x－，∴y′|x＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝1，∴切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.命题角度2 求切点的坐标例 3 [2018·江西模拟]若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．答案 (e，e)解析 设P(x0，y0)，∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x．∴k＝1＋ln x0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e，y0＝eln e＝e.∴点P的坐标是(e，e)．命题角度3 求参数的值例 4 已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为( )A．－1 B．－3 C．－4 D．－2答案 D解析 ∵f′(x)＝，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m＜0，于是解得m＝－2.故选D.触类旁通求解曲线切线方程应注意的问题(1)对于曲线的切线方程的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解．核心规律1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；[f(x0)]′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即[f(x0)]′＝0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．满分策略1.利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)′＝nxn－1与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a混淆．2.直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线只有一个公共点.板块三 启智培优·破译高考易错警示系列3——求曲线的切线方程考虑不全面致错 [2018·浙江杭州质检]若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于( )A．－1或－ B．－1或C．－或－ D．－或7错因分析 (1)审题不仔细，未对(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，不知所措，无法与导数的几何意义联系．解析 ∵y＝x3，∴y′＝3x2.设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，则在该点处的切线斜率为k＝3x，所以切线方程为：y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.又点(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝.当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，得a＝－1.综上，a＝－1或a＝－.故选A.答案 A答题启示 (1)求曲线的切线方程，首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.(2)求解切线问题时，无论是已知切线的斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在.跟踪训练[2018·山西师大附中质检]已知曲线y＝x3＋.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．解 (1)根据已知得点P(2,4)是切点且y′＝x2，所以在点P(2,4)处的切线的斜率为y′＝4.所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′＝x.所以切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.因为点P(2,4)在切线上，所以4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，所以x＋x－4x＋4＝0，所以x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.板块四 模拟演练·提能增分 [A级 基础达标]1．曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是( )A．(0,1) B．(1，－1)C．(1,3) D．(1,0)答案 C解析 由题意知y′＝＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，故点P0的坐标是(1,3)．2．[2018·海南文昌中学模拟]曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为( )A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1答案 A解析 依题意得y′＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e0＋2＝3，故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1.故选A.3．[2018·大同模拟]已知函数f(x)＝xsinx＋ax，且f′＝1，则a＝( )A．0 B．1 C．2 D．4答案 A解析 ∵f′(x)＝sinx＋xcosx＋a，且f′＝1，∴sin＋cos＋a＝1，即a＝0.4．[2018·陕西检测]已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的一条切线，则m的值为( )A．0 B．2 C．1 D．3答案 B解析 因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的切线，所以令y′＝2x－＝－1，得x＝1或x＝－(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y＝－x＋m上，所以m＝2，故选B.5．[2018·金版创新]已知f(x)＝－x2＋2xf′(2017)＋2017ln x，则f′(1)＝( )A．2016 B．6045 C．2017 D．6048答案 D解析 因为f′(x)＝－x＋2f′(2017)＋，所以f′(2017)＝－2017＋2f′(2017)＋，即f′(2017)＝2017－1＝2016.故f′(x)＝－x＋2×2016＋，f′(1)＝－1＋2×2016＋2017＝6048.故选D.6．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为( )A．1 B．2 C．5 D．－1答案 A解析 由题意可得3＝k＋1,3＝1＋a＋b，则k＝2.又曲线的导函数y′＝3x2＋a，所以3＋a＝2，解得a＝－1，b＝3，所以2a＋b＝1.故选A.7．[2018·上饶模拟]若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为( )A．1 B. C. D.答案 B解析 因为定义域为(0，＋∞)，所以y′＝2x－＝1，解得x＝1，则在P(1,1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝＝.8．[2015·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.答案 1解析 因为f(x)＝ax3＋x＋1，所以f′(x)＝3ax2＋1，所以f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝3a＋1，又f(1)＝a＋2，所以切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，因为点(2,7)在切线上，所以7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.9．直线x－2y＋m＝0与曲线y＝相切，则切点的坐标为________．答案 (1,1)解析 ∵y＝＝x，∴y′＝x，令y′＝x＝，则x＝1，则y＝＝1，即切点坐标为(1,1)．10．[2018·江苏模拟]在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．答案 －3解析 由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)，得4a＋＝－5.①又y′＝2ax－，所以当x＝2时，4a－＝－，②由①②得所以a＋b＝－3.[B级 知能提升]1．[2018·南昌模拟]已知f(x)＝2exsinx，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为( )A．y＝0 B．y＝2xC．y＝x D．y＝－2x答案 B解析 ∵f(x)＝2exsinx，∴f(0)＝0，f′(x)＝2ex(sinx＋cosx)，∴f′(0)＝2，∴曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.2．曲线f(x)＝在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为，则实数a＝( )A．1 B．－1 C．7 D．－7答案 C解析 f′(x)＝＝，∵f′(1)＝tan＝－1，即＝－1，∴a＝7.3．[2018·陕西模拟]设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．答案 (1,1)解析 y′＝ex，则y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k＝1，又曲线y＝(x＞0)上点P处的切线与y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，所以y＝(x＞0)在点P处的切线的斜率为－1，设P(a，b)，则曲线y＝(x＞0)上点P处的切线的斜率为y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y＝上，所以b＝1，故P(1,1)．4．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．解 (1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.设切点为(x0，y0)，∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①f′(x0)＝1－＝k，②①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.5．[2018·苏州十校联考]设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，故解得故f(x)＝x－.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.12。