3 2函数模型及其应用 3 2 1几类不同增长的函数模型 1 我们常见的几种函数模型为 一次函数模型 正比例函数和反比例函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 分段函数模型 2 对于函数y ax a 1 y xn n 0 y logax a 1 在 0 上随着x的增大 增长速度从大到小的函数依次为 因此总存在一个x0 当x x0时就有 y ax y xn y logax ax xn logax 本节重点 常见函数模型及其增长速度 本节难点 函数模型的应用 在现实生活中有许多问题 往往隐含着量与量之间的关系 可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究 使问题得到解决 数学模型方法是把实际问题加以抽象概括 建立相应的数学模型 利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法 数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述 数学模型来源于实际 它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物 它又要回到实际中去检验 因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型 不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述 数学应用题的建模过程就是信息的获取 存储 处理 综合 输出的过程 熟悉一些基本的数学模型 有助于提高我们解决实际问题的能力 在区间 0 上 尽管函数y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是增函数 但它们的增长速度不同 而且不在同一个 档次 上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越快 会超过并远远大于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度则会越来越慢 因此 总会存在一个x0 当x x0时 就有logax xn ax 例1 一等腰三角形周长为20 则底边长y关于腰长x的函数解析式是 A y 20 2x x 10 B y 20 2x x 10 C y 20 2x 5 x 10 D y 20 2x 5 x 10 点评 本题关键的环节是不要忘记三角形两边之和大于第三边 A市和B市分别有某种库存机器12台和6台 现决定支援C村10台 D村8台 已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别为400元和800元 从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元 1 设B市运往C村机器x台 求总运费y关于x的函数关系式 2 若要求总运费不超过9000元 共有几种调运方案 分别说明 3 求出总运费最低的调运方案 最低运费是多少元 解析 由已知条件列出下表 1 y 300 x 500 6 x 400 10 x 800 8 6 x 200 x 8600 0 x 6 x N 2 由y 9000即200 x 8600 9000得x 2 x 0 1 2 共有三种调运方案 第一种方案 x 0时 从B市调运6台到D村 从A市调运10台到C村 2台到D村 第二种方案 x 1时 从B市调运5台到D村 1台到C村 从A市调运9台到C村 3台到D村 第三种方案 x 2时 从B市调运2台到C村 4台到D村 从A市调运8台到C村 4台到D村 3 由y 200 x 8600 0 x 6 x N 知当x 0时 y取最小值8600 故采用第一种方案总运费最低为8600元 在所给的实际问题中 数量关系比较多时 常采用列表的方法来突显问题 例2 用一根长为12米的铁丝折成一个矩形的铁框架 则能折成的框架的最大面积是 A 9米2B 36米2C 4 5米2D 最大面积不存在 某种商品原来定价为每件a元时 每天可售出m件 现在把定价降低x个百分点 即x 后 售出数量增加了y个百分点 且每天的销售额是原来的k倍 1 设y nx 其中n是大于1的常数 试将k写成x的函数 2 求销售额最大时x的值 结果可用含n的式子表示 3 当n 2时 要使销售额比原来有所增加 求x的取值范围 例3 为了尽快改善职工住房困难 鼓励个人购房和积累建房基金 决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房积金 办法如下 设职工每月工资为x元 交纳公积金后实得数为y元 求y与x之间的关系式 分析 由于交纳公积金的数目随每月工资的变化而变化 因此交纳公积金后实得数y也因每月工资x的不同而不同 y与x间的关系应该用一个分段函数来表示 解析 当0 x 1000时 y x 当1000 x 2000时 y 1000 x 1000 1 5 0 95x 50 当2000 x 3000时 y 1000 1000 1 5 x 2000 1 10 0 9x 150 当x 3000时 y 1000 1000 1 5 1000 1 10 x 3000 1 15 0 85x 300 因此y与x的关系可用分段函数表示如下 上海大学附中2009 2010高一期末 某服装厂生产一种服装 每件服装的成本为40元 出厂单价定为60元 该厂为鼓励销售商订购 决定当一次订购量超过100件时 每多订购一件 订购的全部服装的出厂单价就降低0 02元 根据市场调查 销售商一次订购量不会超过500件 1 设一次订购量为x件 服装的实际出厂单价为P元 写出函数P f x 的表达式 2 当销售商一次订购450件服装时 该服装厂获得的利润是多少元 服装厂售出一件服装的利润 实际出厂单价 成本 2 设销售商的一次订购量为x件时 工厂获得的利润为L元 则L P 40 x 当x 450时 L 5850 因此 当销售商一次订购450件服装时 该厂获得的利润是5850元 例4 1 某种储蓄的月利率是0 36 今存入本金100元 求本金与利息的和 即本息和 y 元 与所存月数x之间的函数关系式 并计算5个月后的本息和 不计复利 2 按复利计算利息的一种储蓄 本金为a元 每期利率为r 设本利和为y 存期为x 写出本利和y随存期x变化的函数式 如果存入本金1000元 每期利率2 25 试计算5期后的本利和是多少 解析 1 利息 本金 月利率 月数 y 100 100 0 36 x 100 0 36x 当x 5时 y 101 8 5个月后的本息和为101 8元 2 已知本金为a元 1期后的本利和为y1 a a r a 1 r 2期后的本利和为y2 a 1 r a 1 r r a 1 r 2 3期后的本利和为y3 a 1 r 3 x期后的本利和为y a 1 r x 将a 1000 r 2 25 x 5代入上式得y 1000 1 2 25 5 1000 1 02255 由计算器算得y 1117 68 元 答 复利函数式为y a 1 r x 5期后的本利和为1117 68元 总结评述 在实际问题中 常常遇到有关平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N 平均增长率为p 则对时间x的总产值y 可用公式y N 1 p x表示 解决平均增长率的问题 要用到这个函数式 甲 乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄 甲存五年期定期储蓄 年利率为2 88 乙存一年期定期储蓄 年利率为2 25 并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄 按规定每次计息时 储户须交纳利息的20 作为利息税 若存满五年后两人同时从银行取出存款 则甲 乙所得本息之和的差为 元 答案 219 01 解析 甲到期本利和为 10000 1 2 88 1 20 5 11152 元 乙到期本利和为 10000 1 2 25 1 20 5 10932 99 元 甲 乙所得本息之和的差为219 01 元 。