工程力学（一）资料七主 题：第九章 截面几何性质及梁的应力及强度计算 第一-六节学习时间：2013年11月11日－11月17日内 容：本周我们将学习第九章截面几何性质及梁的应力及强度计算的第1-6节内容，希望通过下面的学习能使同学们加深对截面几何性质的相关知识的理解一、学习要求1、掌握静矩和形心的基本概念；2、掌握静矩和形心的求法；3、掌握惯性矩和惯性积的相关概念及求法；4、掌握惯性矩和惯性积的性质；5、掌握惯性矩和惯性积的平移轴公式和转轴公式；6、掌握主惯性轴和主惯性矩的基本概念；7、掌握梁纯弯曲时横截面上正应力的求法；8、了解纯弯曲理论在横力弯曲中的推广二、主要内容（一）静矩和形心1、基本概念（1）静矩：面积对轴的一次矩2）形心：面积的几何中心2、公式（1）静矩：， ，符号：正、负图1 （2）形心：由重心的公式得均质物体形心的公式，，，注意：截面对形心轴的静矩为零二）惯性矩和惯性积1、基本概念惯性矩：面积对轴的二次矩2、公式（1）惯性矩：，（2）极惯性矩：（3）惯性积：（4）惯性半径：，图23、性质（1）截面对互相垂直的两轴的惯性矩之和等于截面对该两轴交点的极惯性矩2）对通过O点的任意两个互相垂直轴的惯性矩之和相等。
即：（3）惯性矩永远大于零，惯性积可正、负、零4）当截面有一个对称轴时，截面对包含该轴的一对轴的惯性积为零图3（5）圆截面的惯性矩和惯性积：，图4（三）惯性矩和惯性积的平移轴公式和转轴公式1、平移轴公式，，，注意的符号图5 2、组合截面的惯性矩和惯性积，，3、惯性矩和惯性积的转轴公式，图6（四）主惯性轴和主惯性矩1、主惯性轴：惯性积为零的一对轴 2、主惯性矩：截面对主惯性轴的矩，主惯性矩为极值3、形心主轴：主惯性轴过形心 4、形心主矩：截面对形心主轴的矩五）梁纯弯曲时横截面上的正应力1、基本概念纯弯曲：即梁的横截面上只有弯矩而无剪力，此时横截面上只有正应力而无切应力2、纯弯下梁的变形特征图73、平面假设 在纯弯曲下梁变形后，横截面仍保持平面，并与梁轴正交，相邻横截面只作相对转动 各纵向纤维之间无挤压或拉伸作用，此假设称为单向受力假设中性层：下部纵向纤维伸长，上部纵向纤维缩短，且沿梁高度连续变化所以，从伸长区到缩短区，其间必有一层纵向纤维，它既不伸长，也不缩短，这一层称为中性层 中性轴：中性层和横截面的交线 图8 （1）几何方面图9 距中性层为处的任一纵向“纤维”正应变与成正比。
2）物理方面各纵向“纤维”均处于单向受力状态，弹性材料范围内，由单向拉压虎克定律，得出横截面上距中性轴为的各点处正应力图10横截面上任一点处的正应力与成正比 中性轴上的正应力为零，最大正应力发生在距中性轴最远的上下边缘3）静力学方面轴力为零，，得表明横截面面积对z轴的静矩为零，证明了均匀材料梁的中性轴z必过横截面的形心C图11 内力对y轴之矩为零，表明截面对y、z轴的惯性积为零，说明y、z轴是一对形心主轴图12 内力对之矩组成弯矩M，令，则横截面上距中性轴距离为处一点的弯曲正应力公式：其中，为横截面对轴的惯性矩；称为截面抗弯刚度弯截面模量： ；最大正应力公式：表中列出了简单截面的和计算公式表中，为薄壁圆平均半径表14、公式分析 纯弯曲正应力公式：式中是计算之点到中性轴的垂直距离；沿高度线性分布，的方向根据的转向而定（如截面的弯矩为正，则中性轴以上受压，以下受拉相反，如截面的弯矩为负，则中性轴以上受拉，以下受压） 纯弯曲最大正应力发生在距中性轴最远处的上下边缘，中性轴上正应力为零六）纯弯曲理论在横力弯曲中的推广对于细而长的梁（跨高比 ），计算表明：可以将纯弯曲理论推广到横力弯曲中。
此结论将极大地扩展了该公式的使用范围，并确定了它们在工程中的实用价值横力弯曲中的正应力公式为：，此时弯矩为变量三、重要考点（一）选择题1、矩形截面梁发生横力弯曲时，在横截面的中性轴处（ ）A．正应力最大，剪应力为零 B．正应力和剪应力均为零C．正应力和剪应力均最大 D．正应力为零，剪应力最大答案：D2、关于内力与应力的关系中，下列选项正确的是（ ）A．内力是应力的矢量和 B．应力是内力的平均值C．内力是应力的代数和 D．应力是内力的分布集度答案：D（二）判断题1.截面形状尺寸改变得越急剧，应力集中程度就越严重 （ ）答案：正确2.弯曲应力有正应力和剪应力之分一般正应力由弯矩引起，剪应力由剪力引起 （ ）答案：正确（三）计算题1、下图所示工字型梁，已知梁长L=10m，载荷P=50kN，作用在梁的中间位置上，已知IZ=65586cm4，求梁的最大正应力以及最大正应力所在截面上的a点正应力。
解： 。