第八章 交通流理论离散型分布离散型分布 常用于描述一定的时间间隔内事件的发生数如某交叉口引道入口一个周期内到达的车辆数、某路段一年内发生的交通事故数等离散分布离散分布泊松分布泊松分布 二项分布二项分布 负二项分布负二项分布 8.1 交通流的概率统计分布 在计数时间T内，事件X发生x次的概率；单位时间的平均发生的事件次数；T 计数时间，如一个信号周期；e 自然对数的底数，取值为2.718280)()!xTTeP Xxx()P XxmT()()!xmm eP Xxx泊松（泊松（PoissonPoisson）分布）分布 令 0,1,2x 8.1 交通流的概率统计分布2345时间时间T T内到达车辆数小于内到达车辆数小于x x的概率：的概率：时间时间T T内到达车辆数小于等于内到达车辆数小于等于x x的概率：的概率：时间时间T T内到达车辆数大于内到达车辆数大于x x的概率：的概率：时间时间T T内到达车辆数大于等于内到达车辆数大于等于x x的概率：的概率：时间时间T T内到达车辆数大于内到达车辆数大于x x但不超过但不超过y y的概率：的概率：110()!imxim eP Xxi0()!imxim eP Xxi0()1!imxim eP Xxi 10()1!imxim eP Xxi()!imyi xm eP xXyi8.1 交通流的概率统计分布mxemmxemxXExmxxmx110)!1(!)(mxemmxXVarmxx!)()(21!)()(xemxXPmx,2,1,0 x在实际应用中:Nfxffxmniiiniiniii111NinjjjifmxNmxNS11222)(11)(112Sm显著的不等于1时，则意味着泊松分布拟合不合适 均值和方差均值和方差8.1 交通流的概率统计分布常用递推公式常用递推公式 0 xmeXP)0(1x)1()(xXPxmxXP 当交通量不大且没有交通信号干扰时，基本上可用泊松分布拟合观测数据；当交通拥挤时，车辆之间的干扰较大，则应考虑用其他分布。
8.1 交通流的概率统计分布二项分布二项分布 xnxxnppCxXP)1()(,2,1,0 x!()!xnnCx nx,p n二项分布参数，0p1,n为正整数mSmp/)(2)/(/22Smmpmn参数参数p p，n n的一组估计的一组估计npXE)()1()(pnpXVar8.1 交通流的概率统计分布npXE)()1()(pnpXVar1)1()1()()(pnppnpXEXVar10)1()(xiiniinppCxXPxiiniinppCxXP0)1(1)(二项分布二项分布 xnxxnppCxXP)1()(,2,1,0 x!()!xnnCx nx,p n二项分布参数，0p1,n为正整数8.1 交通流的概率统计分布常用递推公式常用递推公式 0 xnpXP)1()0(1x)1(11)(xXPppxxnxXP 对于拥挤的交通流，车辆自由行驶机会减少，可考虑采用二项分布描述车辆到达分布21Sm当观测数据服从二项分布时，应有8.1 交通流的概率统计分布负二项分布负二项分布 xkkkxppCxXP)1()(110,1,2,x,p k负二项分布参数，0p1,k为正整数 ppkXE)1()(2)1()(ppkXVarikkkixippCxXP)1()(1111ikkkixippCxXP)1(1)(1118.1 交通流的概率统计分布常用递推公式常用递推公式 0 xkpXP)0(1x)1()1(1)(xXPpxkxxXP 到达车辆数据方差很大时，可用负二项分布描述车辆的到达。
计数间隔较小时，也会出现大流量时段与小流量时段，可用负二项分布拟合观测数据21Sm时，可考虑使用负二项分布拟合观测数据8.1 交通流的概率统计分布连续型分布连续型分布 交通工程中，车头时距的分布也可被作为描述车辆到达随机特性的度量连续型分布连续型分布负指数分布负指数分布 移位的负指数分布移位的负指数分布 M3M3分布分布 爱尔兰分布爱尔兰分布 8.1 交通流的概率统计分布负指数分布负指数分布 tetf)(tetF1)(tetHP)()(1HETtetHP/)(00.20.40.60.8101234567891000.20.40.60.81012345678910TtetHP/)(TtetHP/1)()(tP)(tPTt/Tt/车头时距车头时距HtHt的概率曲线的概率曲线(T=1)(T=1)车头时距车头时距HtHt的概率曲线的概率曲线(T=1)(T=1)8.1 交通流的概率统计分布 负指数分布广泛地被应用于描述车头时距分布但其往往适用于车流密度不大，车辆到达随机性较大的情况当车辆到达服从泊松分布时，车头时距则服从负指数分布；反之结论也成立8.1 交通流的概率统计分布移位的负指数分布移位的负指数分布 负指数分布拟合单车道交通流车头时距分布时，理论上会得到车头时距在01.0秒的概率较大，与实际情况不符。
为了克服负指数分布的这种局限性，引入了移位的负指数分布，即假设最小车头时距不应小于一个给定的值 .)(1)(tetFt)()(tetft1)(HE21)(HVar8.1 交通流的概率统计分布M3分布分布 假设车辆处于两种行驶状态：一部分是车队状态行驶，另一部分车辆按自由流状态行驶)F t 1exp()0ttt按自由流状态行驶车辆所占的比例；车辆处于车队状态行驶时保持的最小车头时距，s；特征参数)E H2(2)()Var H该模型不能刻画很小的车头时距分布 8.1 交通流的概率统计分布厄兰（厄兰（Erlang）分布）分布 1()()(1)!kttf tek1,2,3,k 当k=1时，上式对应车头时距为负指数分布的情形；当k为无穷大时，上式对应车头时距为均匀分布的情形；随着k值的增大，说明交通越拥挤，驾驶员行为的随机程度越小8.1 交通流的概率统计分布分布的拟合优度检验分布的拟合优度检验 2检验的具体步骤：1、建立原假设0H2、构造统计量22211()()ggiiiiiiifFfNFF3、确定统计量的临界值4、判断假设是否成立22则接受原假设 8.1 交通流的概率统计分布1、样本量应足够大；2、对样本分组应连续，并且通常要求分组数g不小于5；3、各组的理论频数Fi不得少于5；4、统计量的自由度DF的确定；5、显著性水平 的取值，通常 =0.05。
拟合优度检验的注意事项拟合优度检验的注意事项28.1 交通流的概率统计分布 跟驰理论是运用动力学的方法，研究在无法超车的单一车道上车辆列队行驶时，后车跟随前车行驶状态的一种理论跟驰模型的研究对于交通安全、交通管理、通行能力、服务水平等方面都有着重要的意义8.2 跟驰理论车辆跟驰特性分析车辆跟驰特性分析 自由流：自由流：当交通流密度小时，驾驶员能根据自己的驾驶特性和车辆条件、道路条件进行驾驶，基本不受或少受道路上的其他使用者的影响，保持期望车速的交通流状态非自由流：非自由流：当交通流密度加大时，车间距较小，车队中车辆的车速会受到前车车速的制约驾驶员为了避免发生碰撞和节省行车时间，根据前车的速度变化信息而采取相应的车速车辆跟驰理论只研究非自由行驶状态下车队的行驶特性8.2 跟驰理论非自由行驶状态跟驰车辆的行驶特性：非自由行驶状态跟驰车辆的行驶特性：制约性制约性 紧随要求、车速条件和间距条件构成了一队汽车跟驰行驶的制约性，即前车的车速制约着后车的车速和两车间距延迟性延迟性 感觉阶段、认识阶段、判断阶段、执行阶段所需要的时间称为反应时间，从而产生延迟性传递性传递性 第一辆车的运行状态制约着第二辆车的运行状态，第二辆车的又制约着第三辆车，第n辆车制约着第n+1辆，即为传递性。
传递性由于具有延迟性，所以信息沿车队向后传递不是平滑连续而是象脉冲一样间断连续的8.2 跟驰理论 L xn（t）xn+1（t）n 后车开始减速的位置 完全制动后两车的位置 车 n 开始减速的位置 n+1 n+1 n S（t）d 3 d1 d2 d4 n+1 跟驰关系图跟驰关系图 线性跟驰模型线性跟驰模型 8.2 跟驰理论8.2 跟驰理论反应（t+T）=灵敏度刺激（t）安全车头间距车头间距 车辆的速度 t+T时刻，后车加速度 1123()()()nns tx txtddLd()()()dx tv tx tdt 车辆的加速度 22()()()d x ta tx tdt 221111()()()()()()2()2()nnsnnnnnxtTx th tx txtTxtLxtTx t假定两车停下来所需的加速度和距离都相等 11()()()nnnx txtTxtTL111()()()nnnxtTx txtT11()()()nnnxtTx txt线性跟驰模型线性跟驰模型 模型的稳定性模型的稳定性 TCC 表示车间距摆动特性的数值该值越大表示车间距 的摆动越大；反应强度系数，其值大，表示反应强烈；T 反应时间，s。
局部稳定性渐进稳定性8.2 跟驰理论局部稳定性：局部稳定性：是指前后两车之间的距离变化是否稳定，例如车间距的摆动，若摆动大则不稳定，摆动小则稳定C值车间距摆动情况 ，（0.368）不摆动，基本稳定衰减摆动非衰减摆动摆动幅度增大线性跟驰模型的车间距摆动情况 10Ce12Ce2C2C8.2 跟驰理论时 间车头间距的变化C=0.50C=0.80C=1.57C=1.60前后相邻两车间的车头间距变化 C=1.57为线性跟驰模型中车头间距从稳定到非稳定的临界值 8.2 跟驰理论渐进稳定性：渐进稳定性：是前车向后面各车传播速度的变化，如扩大其速度振幅，则不稳定，如振幅逐渐衰弱，则稳定0510152025303540时间（s）车头间距（m）21181521181527242118151212345678C=1/e=0.36812345678C=0.50123456C=0.75不同C值时车队内的车头间距变化 一列处于跟驰状态的车队仅当C0.5时，才是渐近稳定的 8.2 跟驰理论 从微观的跟驰理论建立的运动规律，通过积分运算可得到宏观的交通流方程l值交通流状态方程 m=0宏观模型0线性1对数模型3/2德留模型2格林希尔兹模型M=12伊迪模型3钟形模型从跟驰理论到交通流模型从跟驰理论到交通流模型微观跟驰模型与宏观交通流模型对应表(1/)jqK Kmqln(/)jqKKKmv1/21(/)jqKK Kfv(1/)jqKK Kfv(/)mK KqKefvfv21(/)2mK KqKe8.2 跟驰理论 排队论又称随机服务系统理论，是研究系统由于随机因素的干扰而出现排队（或堵塞）现象规律性的一门学科。
交通工程中，排队论被广泛用于车辆延误、通行能力、信号灯配时以及停车场、收费亭、加油站等交通设施的设计与管理等方面的研究中8.3 排队论 排队 服务窗 输出 输入 排队规则 服务规则 顾客源 排队模型框图 8.3 排队论排队系统特征或组成排队系统特征或组成 输入过程输入过程 就是指各种类型的“顾客”（车辆或行人）按怎样的规律到来，可分为确定型输入、泊松输入、厄兰输入三种方式排队规则排队规则 就是指到来的顾客按怎样的次序接受服务，主要有损失制、等待制、混合制三种方式日常中，我们经常遇到的是先到先服务的等待制系统服务窗服务窗 指同一时刻有多少服务设施可接纳顾客，为每一顾客服务多少时间系统可以没有服务窗，也可以有一个或多个服务窗8.3 排队论 M代表负指数分布或泊松输入，D代表确定型输入或服务，EK为厄兰分布M/M/N:泊松输入、负指数服务、N个服务窗的排队系统M/D/1:泊松输入、确定型服务、单个服务窗的服务系统如果不附加说明，则一般表示先到先服务的等待制系统8.3 排队论排队系统的运行指标排队系统的运行指标 服务率：单位时间内被服务的顾客均值交通强度：单位时间内被服务的顾客数和请求服务顾客数之比。
系统排队长度：分为系统内顾客数和排队等待服务顾客数等待时间：从顾客到达时起到他开始接受服务时止这段时间如车辆在交叉口入口引道上的排队时间忙期：即服务台连续繁忙的时间长度8.3 排队论系统中无顾客的概率系统中无顾客的概率系统有系统有n n个顾客的概率个顾客的概率系统中顾客的平均数系统中顾客的平均数系统中车顾客数的方差系统中车顾客数的方差平均排队长度平均排队长度平均非零排队长度平均非零排队长度系统中平均消耗时间系统中平均消耗时间.(0)1P()(1)(0)nnP nP1n22(1)排队中的平均等待时间排队中的平均等待时间21qn11E1d1()wd M/M/1系统系统8.3 排队论 1 2 N 1 2 N 单路排队多通道服务单路排队多通道服务 多路排队多通道服务多路排队多通道服务 等候服务的顾客排成一队等待数条通道服务的情况排队中第一个顾客可视哪个通道有空就到哪里去接受服务每个通道的顾客各排一队，每个通道只为其相对应的一队顾客服务，排队顾客不能随意换队M/M/N系统系统8.3 排队论系统中无顾客的概率系统中无顾客的概率系统有系统有n n个顾客的概率个顾客的概率系统中顾客的平均数系统中顾客的平均数平均排队长度平均排队长度系统中平均消耗时间系统中平均消耗时间排队中的平均等待时间排队中的平均等待时间101(0)!(1/)nNNnPnNN()(0)/!nP nPn()(0)!nn NP nPN NnNnN12(0)1!(1/)NPnN NN12(0)1!(1/)NPqnN NN2()(0)1(1)!()NPndNN2()(0)(1)!()NPqwNN单路排队多通道服务系统关系式：单路排队多通道服务系统关系式：8.3 排队论 英国学者莱特希尔（Lighthill）和惠特汉（Whitham）将交通流比拟为流体流，在一条较长的公路隧道里，对密度较大交通流的规律进行研究，提出了流体力学模拟理论。
该理论运用流体力学的基本原理，模拟流体的连续性方程，建立车流的连续性方程8.4 流体力学模拟理论车流连续性方程的建立车流连续性方程的建立()()dq dtkkdk dx0dqdtdkdxdkdqdtdxqkv()0dkd kVdtdx根据质量守恒定律：流入量-流出量=数量变化车流量随距离而降低时，车流密度则随时间而增大车流量随距离而降低时，车流密度则随时间而增大 8.4 流体力学模拟理论车流波动理论车流波动理论 四车道 拥堵段 过渡段 三车道 S K1 V1 Vw A B V2 K2 x 瓶颈处的车流波瓶颈处的车流波 紊流紊流 8.4 流体力学模拟理论 S K1 V1 Vw A B V2 K2 x 时间t内横穿S分界线的车数N：1122()()wwNkVV tkVV t1122()wwVVkVVk1 12212()wVkV kVkk11 1,qkV222qk V1212wVkk两种密度的车流运行状况两种密度的车流运行状况 8.4 流体力学模拟理论若A、B两区车流量与交通密度大致相等，则：12q 12kkk wqdqVkdk传播小紊流的速度 (1)ifijVVkkiijk k11(1)fVV22(1)fVV112212(1)(1)ffwkVk VVkk121()WfVV假设:即:8.4 流体力学模拟理论交通密度大致相同的情况:1,201201()1(2)1 2 Vw S(+0)x 交通密度微小的不连续性 (12)wfVV8.4 流体力学模拟理论停车产生的波:1 Vw S 2=1 x X0 停车停车1221111(1)wffVVV 121()WfVV8.4 流体力学模拟理论发车产生的波:1=1 S Vw 2 X0 X 1122(1)fVV221fVV 2221(1)()wfffVVVVV 8.4 流体力学模拟理论。