昆明市2019届高三复习诊断测试文科数学一、选择题：本题共1小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由集合交集的运算求解即可.【详解】由集合，，则故选：B.【点睛】此题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】在复平面内，复数21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份123456人均销售额658347利润率（%）12.610.418.53.08.116.3根据表中数据，下列说法正确的是A. 利润率与人均销售额成正比例函数关系B. 利润率与人均销售额成反比例函数关系C. 利润率与人均销售额成正相关关系D. 利润率与人均销售额成负相关关系【答案】C【解析】【分析】由表格中的数据和线性相关关系的定义即可得到.【详解】由表格中的数据显示，随着人均销售额的增加，利润率也随之增加，由变量之间的关系可得人均销售额和利润率成正相关关系.故选：C.【点睛】本题主要考查变量间的相关关系的定义，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题.4.已知a=1334，b=1312，c=π12，则下列不等式正确的是（ ）A. a>b>c B. b>a>c C. c>a>b D. c>b>a【答案】D【解析】【分析】由指数函数的单调性得b>a，与常数‘1’比较得c>b即可得答案.【详解】因为y=13x在R上递减，且0< 12<34，所以1> b>a .又因为y=πx 在R上递增，且12>0 ，所以c>1 .所以c>b>a.故选：D.【点睛】本题考查了指数函数的单调性和与常数‘1’比较大小，属于基础题.5.在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点P(−35,45)，则sin(α+π4)=（ ）A. 210 B. -210 C. 7210 D. -7210【答案】A【解析】【分析】由任意角的三角函数的定义得cosα和sinα，由正弦的两角和计算公式可得sin(α+π4).【详解】根据题意：x轴的非负半轴为始边作角α，其终边与单位圆交于点P(-35,45)，由任意角的三角函数的定义得sinα＝45，cosα=-35 ，则sin(α+π4)= 22sinα+cosα= 210 ．故选：A．【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义和正弦两角和的计算公式，属于基础题.6.如图，先画一个正方形ABCD，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形EFGH.在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自正方形EFGH内的概率是（ ）A. 14 B. 16 C. 18 D. 116【答案】C【解析】【分析】结合图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的12．则四边形的面积构成公比为12的等比数列，由几何概型概率的求法即可得到.【详解】观察图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的12，四边形的面积构成公比为12的等比数列，∴第n个正方形的面积为12n-1 ，即第四个正方形的面积123=18 .∴根据几何概型的概率公式可得所投点落在第四个正方形的概率为P＝181=18 ，故选：C．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出正方形面积之间的关系是解决本题的关键，属于基础题.7.已知P(1,3)是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)渐近线上的点，则双曲线C的离心率是（ ）A. 2 B. 2 C. 5 D. 52【答案】A【解析】【分析】由P(1,3)在双曲线C的渐近线上，得ba =3，由e=1+ba2 计算可得.【详解】因为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=bax ，P(1,3)在渐近线上，所以ba =3 ，则e=1+ba2=2.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，也考查了渐近线方程的应用，属于基础题.8.函数y=sin(2x−π3)图象的一条对称轴方程为（ ）A. x=π12 B. x=π6C. x=π3 D. x=5π12【答案】D【解析】【分析】由2x-π3= π2+kπ ，k∈Z 得x，取k值得答案．【详解】由2x-π3= π2+kπ ，k∈Z得x＝5π12+kπ2 ， k∈Z．取k＝0，可得x＝5π12．∴函数y＝sin（2x-π3）的图象的一条对称轴方程为x＝5π12．故选：D．【点睛】本题考查了y＝Asin（ωx+φ）型函数的一条对称轴，属于基础题．9.已知F1，F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若ΔBAF2为等腰三角形，则AF1AF2=（ ）A. 13 B. 12 C. 23 D. 3【答案】A【解析】【分析】设|AF1|＝t（t＞0），由已知条件得出|AB|＝|AF2|，结合椭圆的定义得出t=a2 ，可求出|AF1|和|AF2|，即可求出答案．【详解】设|AF1|＝t（t＞0），由椭圆的定义可得|AF2|＝2a﹣t，由题意可知，|AF2|＞|BF2|＝a，由于△BAF2是等腰三角形，则|AB|＝|AF2|，即a+t＝2a﹣t，所以t=a2，所以AF1=a2,AF2=3a2 ，因此AF1AF2=13故选：A．【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，利用椭圆的定义是解决本题的关键，属于中档题．10.在数学历史中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard Euler）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中.任意一个凸多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间，都满足关系式V−E+F=2，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为（ ）A. 10 B. 12 C. 15 D. 20【答案】B【解析】【分析】由题意得面数F=20，32F=E，再由关系式V-E+F=2，可得V.【详解】因为一个凸二十面体的每个面均为三角形，所以面数F=20，顶点数V、棱数E的关系为32F=E，由任意一个凸多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间，都满足关系式V-E+F=2，所以V-32F+20=2,得V=12.故选：B.【点睛】本题考查了利用欧拉公式求顶点数的应用，属于基础题.11.已知函数fx=(x2−m)ex，若函数fx的图象在x=1处切线的斜率为3e，则fx的极大值是（ ）A. 4e−2 B. 4e2C. e−2 D. e2【答案】A【解析】【分析】由函数fx的图象在x=1处切线的斜率为3e，得f(1)=3e，从而得m=0，进而得f（x）的单调性，即可得极大值f-2=4e-2.【详解】因为函数fx=(x2-m)ex，所以f(x)=ex(x2−m+2x) ，由函数fx的图象在x=1处切线的斜率为3e，所以f(1)=e(1−m+2)=e(3−m)=3e，所以m=0. 即f(x)=ex(x2+2x)=0的根-2,0，因为ex>0 ，所以函数fx在 −∞,−2 递增，在−2,0 递减，在0,+∞递增，所以函数fx的极大值f-2=4e-2.故选：A.【点睛】本题考查了函数切线斜率的应用和求函数的极大值的问题，利用导数判断函数的单调性是关键，属于中档题.12.在棱长均为23的四面体ABCD中，点E为CD的中点，点F为BE的中点.若点M，N是平面BCD内的两动点，且MBMF=NBNF=2，MN=2，则ΔMAN的面积为（ ）A. 42 B. 3C. 22 D. 2【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出B,E,F的坐标，设M(x,y,0)的坐标，由MBMF=2，得出M的轨迹，同理得出N的轨迹，由MN=2，即可得到ΔMAN的面积.【详解】建立空间直角坐标系如图所示，AB=AC=AD=23，底面BCD为等边三角形，且BC=23.所以OD=2,B(-3，-1，0)，D(0,2,0),C(3，-1，0),点E为CD的中点，所以E（32，12，0），点F为BE的中点，F（-34 ，-14 ，0），设M（x,y,0）,且MBMF=2，（x+3）2+y+12+0x+342+y+142+0=2 ，化简得x2+y2=1 ，且点M 是平面BCD 内的动点，所以点M在以（0,0）为圆心，以1为半径的圆上，又NBNF=2，且点N 是平面BCD 内的动点，同理N也在这个圆上，且MN=2，所以MN为圆的直径，因为AO⊥面BCD，所以AO⊥MN，且AO=22，SΔAMN=12MNAO=12222=22 .故选：C.【点睛】本题考查了空间向量解决点的轨迹问题，圆的几何性质和三角形的面积的运算，属于中档题.二、填空题：本題共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a=−1,3，b=(1,t)，若(a−2b)⊥a，则t=______.【答案】2【解析】【分析】由(a-2b)⊥a得(a-2b) •a=0，计算可得t的值.【详解】已知向量a=-1,3，b=(1,t)，所以a-2b=−3,3−2t .由(a-2b)⊥a，得(a-2b) •a=−3,3−2t -1,3=3+9-6t=0，所以t=2.故答案为：2.【点睛】本题考查了向量的减法和数量积的运算，属于基础题.14.设m>0，p:00，p:0S甲2，这说明乙选手进步幅度更大，成绩提升趋势更好.【点睛】本题考查了列举法求古典概型的概率问题，也考查了样本的数字特征应用问题，属于基础题．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，AD=BD=6，AB=62，E是棱PC上的一点.（1）证明：BC⊥平面PBD； （2）若PA//平面BDE，求PEPC的值；（3）在（2）的条件下，三棱锥P−BDE的体积是18，求D点到平面PAB的距离.【答案】（1）见解析 ；（2）12 ；（3）23.【解析】【分析】（1）推导出BC⊥PD，BD⊥BC，由此能证明BC⊥平面PBD．（2）连结AC，交BD于O，连结OE，由PA∥平面BDE，得OE∥PA，由此能求出PEPC ．（3）B到平面PCD的距离d＝32，设PD＝a，则SΔPDE=12SΔPDC ＝322a ，由三棱锥P﹣BDE的体积是18，求出PD＝a＝6，设点D到平面PAB的距离为h，由VP﹣ABD＝VD﹣PAB，能求出D点到平面PAB的距离．【详解】（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，∵AD＝BD＝6，AB＝6，BC＝AD，∴BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC，∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD．（2）连结AC交BD于O，连结OE，则O是AC的中点，∵PA∥平面BDE，∴OE∥PA，∴E是PC的中点，∴＝．（3）B到平面PCD的距离d＝＝3，设PD＝a，则＝＝，∵三棱锥P﹣BDE的体积是18，∴VP﹣BDE＝VB﹣PDE＝＝＝18，解得PD＝a＝6，设点D到平面PAB的距离为h，∵PD⊥平面ABCD，AD＝BD＝6，AB＝6，∴PA＝PB＝＝6，∴＝18，＝＝18，∵VP﹣ABD＝VD﹣PAB，∴，∴h＝＝＝2．∴D点到平面PAB的距离为2．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．20.过点E(−1,0)的直线与抛物线C:y2=4x交于A，B两点，F是C的焦点，（1）若线段AB中点的横坐标为3，求AF+BF的值；（2）求AF⋅BF的取值范围.【答案】（1）8 ；（2）(4,+∞).【解析】【分析】（1）设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=6，根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|.（2）由抛物线的定义可知||AF|•|BF|＝(x1+1)(x2+1)＝m2y1y2，再根据韦达定理和判别式即可求出．【详解】（1）设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=6，由抛物线的定义知AF+BF=x1+x2+2=8.（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线的方程为x=my-1.由x=my-1,y2=4x,得y2-4my+4=0即y1+y2=4m，y1y2=4.由Δ=16m2-16>0，得m2>1. 由抛物线的定义知AF=x1+1，BF=x2+1.则AF⋅BF=(x1+1)(x2+1)=m2y1y2=4m2.因为m2>1，所以AF⋅BF>4.故AF⋅BF的取值范围是(4,+∞).【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系和抛物线定义的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.21.已知函数f(x)=2lnx−x+1x.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若a>0，b>0，证明：ab1，转化为2lnt2ab-1ab+1 ，换元x=ab>1，构造函数g(x)=lnx-2x-1x+1 ，通过函数g（x）在区间（1，+∞）的单调性来证明．【详解】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）,，所以，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减；（2）假设a＞b＞0．先证明不等式，即证，即证，令，则原不等式即为，其中t＞1，由（1）知，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当t＞1时，f（t）＜f（1）＝0，即，即，所以，当a＞b＞0时，．下面证明．即证，即，令，即证，其中x＞1，构造函数，其中x＞1，，所以，函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增，所以，g（x）＞g（1）＝0，所以，当x＞1时，，所以，当a＞b＞0时，．综上所述，当a＞0，b＞0时，．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值和最值，解决本题的关键在于构造合适的函数，利用单调性来处理问题，属于中档题．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=3cost,y=sint,（为参数）.以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R).（1）求C1的极坐标方程；（2）若曲线C2的极坐标方程为ρ+8cosθ=0，直线与C1在第一象限的交点为A，与C2的交点为B（异于原点），求AB.【答案】（1）ρ2+8ρ2sin2θ-9=0 ；（2）53.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）由极径的应用求出结果．【详解】（1）曲线C1的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：，转换为极坐标方程为：ρ2+8ρ2sin2θ﹣9＝0．（2）因为，两点在直线上，可设，.把点的极坐标代入的方程得：，解得.由己知点在第一象限，所以.因为异于原点，所以把点的极坐标代入的方程得：，解得.所以，.【点睛】本题考查了参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．。